卡普列加數(shù)與實(shí)驗(yàn)公式

【摘要】本文用可構(gòu)造出卡普列加數(shù)的三角形表，構(gòu)造出求以單分子分?jǐn)?shù)的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的卡普列加數(shù)的實(shí)驗(yàn)公式，進(jìn)而構(gòu)造出求以單分子分?jǐn)?shù)的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的乘方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式，最后導(dǎo)出求循環(huán)數(shù)乘方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式，從而說(shuō)明了把循環(huán)數(shù)的m次方的冪分成相等的m部分，每一部分都可以單獨(dú)求出來(lái)，舉例說(shuō)明了實(shí)驗(yàn)公式的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】循環(huán)和；m階卡普列加數(shù)；實(shí)驗(yàn)公式

你也許不會(huì)相信有這樣的事實(shí)：把循環(huán)數(shù)的m次方的冪分成相等的m部分，每一部分都可以單獨(dú)求出來(lái).為研究乘方運(yùn)算這種奇妙的特征，我們先從乘方運(yùn)算中的特例——卡普列加數(shù)說(shuō)起.下面，特給卡普列加數(shù)作出如下定義：

定義 取一個(gè)k（k為正整數(shù)）重循環(huán)數(shù)N，將其m次方Nm切為相等的m部分（每一部分之間用逗號(hào)隔開），求其和N′，并稱N′為循環(huán)和.若N′=N，則N稱為以循環(huán)數(shù)為底數(shù)的m階卡普列加數(shù)（簡(jiǎn)稱為m階卡普列加數(shù)），Nm的冪稱為卡普列加m次方數(shù)，并稱Nm的運(yùn)算表達(dá)式為卡普列加數(shù)表達(dá)式.例如：

[（09）5]2=0082644628，0826446281（1），其循環(huán)和N′=0082644628+0826446281=（09）5=N，等式（1）是二階卡普列加數(shù)表達(dá)式；[（09）5]3=0007513148，0067618332，0833959429（2），

其循環(huán)和經(jīng)過(guò)計(jì)算為N′=（09）5=N，等式（2）是三階卡普列加數(shù)表達(dá)式；……這里要注意的是（09）5（09是1/11的2位循環(huán)數(shù)）與循環(huán)數(shù)909090909（這個(gè)數(shù)是101010101/（1）9的9位循環(huán)數(shù)）是不一樣的，所以等式（1）、（2）的右邊前面的零不能省略.等式（1）、（2）也可分別記為{[（1/11）λ=2]5}2=[（1/112）i=10]，[（10/112）i=10+1] （1）′，其中105λ≡12（mod112），循環(huán)和為N′=[（1/112+10/112）λ=2]5=[（1/11）λ=2]5=N，其中符號(hào)（1/11）λ=2表示1/11的2位循環(huán)數(shù)（其中λ表示循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度） （以下同），符號(hào)（1/112）i=10表示1/112的循環(huán)數(shù)的前10位數(shù)，符號(hào)（10/112）i=10表示10/112的循環(huán)數(shù)的前10位數(shù)（以下同）；{[（1/11）λ=2]5}3=[（1/113）i=10]，[（9/113）i=10]，[（111/113）i=10]（2）′，其中105λ≡12（mod113），循環(huán)和為N′=[（1/113+9/113+111/113）λ=2]5=[（1/11）λ=2]5=N.

不妨，把等式（1）、（2）稱為卡普列加數(shù)的一般表達(dá)式（以下同），把等式（1）′、（2）′稱為卡普列加數(shù)的循環(huán)數(shù)表達(dá)式（以下同）.等式（1）′、（2）′可由下面的實(shí)驗(yàn)公式（本文指用此公式計(jì)算出來(lái)的結(jié)果經(jīng)檢驗(yàn)是正確的，但公式本身卻未經(jīng)證明成立的公式，以下同）分別求出.

以1/（x-1）（本文中分母x-1均為不含2及5的素因數(shù)） 的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的二階卡普列加數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)公式：{[（1/（x-1））λ]n}2=[（1/（x-1）2）i=nλ]，[（（x-2）/（x-1）2）i=nλ+1] （公式1），其中10nλ≡x[mod（x-1）2]，循環(huán)和為[（1/（x-1））λ]n；三階卡普列加數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)公式：{[（1/（x-1））λ]n}3=[（1/（x-1）3）i=nλ]，[（（x-3）/（x-1）3）i=nλ]， [（（x2-3x+3）/（x-1）3）i=nλ]（公式2），其中10nλ≡x[mod（x-1）3]，循環(huán)和為[（1/（x-1））λ]n.那么，是否有以1/（x-1）的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的四階、五階……卡普列加數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)公式呢？從下面的可構(gòu)造出卡普列加數(shù)的三角形表，可以看出不但存在而且可以得到x階以1/（x-1）的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的卡普列加數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)公式.

可構(gòu)造出卡普列加數(shù)的三角形表：

說(shuō)明：（1）此表只能構(gòu)造到第（x+1）行，因?yàn)榇吮碇械臄?shù)（每個(gè)多項(xiàng)式都代表一個(gè)數(shù)）都必須是非負(fù)數(shù).（2）此表與楊輝三角形有類似之處，楊輝三角形中間的數(shù)等于與上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和，而此表中間的數(shù)，則等于與上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的差（后數(shù)減前數(shù)），每一行第一個(gè)數(shù)都是1，從第二行開始，每一行最后一個(gè)數(shù)分別是x-1、（x-1）2、……的值，并且從第三行開始，以最后一個(gè)數(shù)作為前面各數(shù)的分母求和，其和都等于1/（x-1）.如，由第三行可得等式一：1/（x-1）2+（x-2）/（x-1）2=1/（x-1），由第四行可得等式二：1/（x-1）3+（x-3）/（x-1）3+（x2-3x+3）/（x-1）3=1/（x-1），…….（3）利用此表可構(gòu)造出m階卡普列加數(shù)[（1/（x-1））λ]n的循環(huán)數(shù)表達(dá)式即實(shí)驗(yàn)公式，其中λ為1/（x-1）的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度，x均滿足10nλ≡x[mod（x-1）m].實(shí)驗(yàn)公式1、2中的分?jǐn)?shù)分別是等式一、二中的分?jǐn)?shù)，即實(shí)驗(yàn)公式1、2可以由此表構(gòu)造出來(lái).

同理，由第五行、第六行……分別可得下面的四階、五階……卡普列加數(shù)表達(dá)式（實(shí)驗(yàn)公式）：

{[（1/（x-1））λ]n}4=[（1/（x-1）4）i=nλ]，[（（x-4）/（x-1）4）i=nλ]，[（（x2-4x+6）/（x-1）4）i=nλ]，[（（x3-4x2+6x-4）/（x-1）4）i=nλ+1]（公式3）（偶次方運(yùn)算表達(dá)式的最后一個(gè)數(shù)都必須加上定值1），其中10nλ≡x[mod （x-1）4]，循環(huán)和為[（1/（x-1））λ]n；{[（1/（x-1））λ]n}5=[（1/（x-1）5）i=nλ]，[（（x-5）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x2-5x+10）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x3-5x2+10x-10）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x4-5x3+10x2-10x+5）/（x-1）5）i=nλ]（公式4），其中10nλ≡x[mod（x-1）5]，循環(huán)和為[（1/（x-1））λ]n……

當(dāng)x=12時(shí)，1/（x-1）的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為λ=2，且10973λ≡12（mod114），1114283λ≡12（mod115），所以分別由公式3、公式4可得：{[（1/11）λ=2]973}4=[（1/114）i=1946]，[（8/114）i=1946]，[（102/114）i=1946]，[（1220/114）i=1946+1]；{[（1/11）λ=2]14283}5=[（1/115）i=28566]，[（7/115）i=28566]，[（94/115）i=28566]，[（1118/115）i=28566]，[（13421/115）i=28566].

由于卡普列加數(shù)是乘方運(yùn)算中的特例，實(shí)驗(yàn)公式1～4的實(shí)用性是有限的，所以要把實(shí)驗(yàn)公式1～4加以推廣.如把公式3分母和模中的x-1用a（本文中分母a均為不含2及5的素因數(shù)）替代，可得到求以1/a的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的4次方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式：

當(dāng)10nλ≡x（moda4）時(shí)，{[（1/a）λ]n}4=[（1/a4）i=nλ]，[（（x-4）/a4）i=nλ]，[（（x2-4x+6）/a4）i=nλ]，[（（x3-4x2+6x-4）/a4）i=nλ+1]（公式5），用公式5時(shí)要注意：（1）如果等式右邊分?jǐn)?shù)中所有分子的值均小于a4時(shí)，可直接用公式5計(jì)算；（2） 如果等式右邊有的分?jǐn)?shù)中分子的值大于a4時(shí)，分子的值對(duì)模a4求簡(jiǎn)化同余數(shù)，并且把該分子的值換成簡(jiǎn)化同余數(shù)；（3）當(dāng)x=1時(shí)，由公式5可得：{[（1/a）λ]n}4=[（1/a4）i=nλ]，[（（a4-3）/a4）i=nλ]，[（3/a4）i=nλ]，[（（a4-1）/a4）i=nλ+1]（公式6），其循環(huán)和為“2”，也可寫成[（2a/a）λ]n，即循環(huán)和為2×[a×（1/a）λ]n.

例1 計(jì)算：[（1/37）λ=3]44.

解 由10nλ=104×3≡166908，得x=166908，所以x-4≡166904，x2-4x+6≡83734，x3-4x2+6x-4≡255891（mod374），所以由公式5得：[（1/37）λ=3]44=[（1/374）i=12]，[（166904/374）i=12]，[（83734/374）i=12]，[（255891/374）i=12+1] （3）.由等式（3）容易轉(zhuǎn)化為一般表達(dá)式：[（027）4]4=000000533572，089055315952，044678125305，136536295441，這個(gè)等式經(jīng)檢驗(yàn)是正確的.

可見，由公式5、公式6，我們可以快速求出單分子分?jǐn)?shù)的循環(huán)數(shù)4次方的值.那么如何快速求出{[（b/a）λ]n}4（本文中b/a均為既約真分?jǐn)?shù)）的值呢？因?yàn)椋╞/a）4=b4×（1/a）4，所以把公式5中右邊的分子都乘以b4，由模a4求它們的簡(jiǎn)化同余數(shù)，即由b4×1≡b4，b4（x-4）=xb4-4b4≡y1，b4（x2-4x+6）=x×b4（x-4）+6b4≡xy1+6b4≡y2，b4（x3-4x2+6x-4）=x×b4（x2-4x+6）-4b4≡xy2-4b4≡y3（moda4）.整理以上同余式，由公式5并加上修正值，可得實(shí)驗(yàn)公式：

當(dāng)10nλ≡x，xb4-4b4≡y1，xy1+6b4≡y2，xy2-4b4≡y3（moda4）時(shí)，{[（b/a）λ]n}4=[（b4/a4）i=nλ+d1]，[（y1/a4）i=nλ+d2]，[（y2/a4）i=nλ+d3]，[（y3/a4）i=nλ+1]（公式7），其中1為定值，修正值d1 、d2、d3為常數(shù).如果-4b4≡h1，6b4≡h2（moda4），并且h1=-4b4+e1a4，h2=6b4-e2a4（e1、e2為自然數(shù)），那么，當(dāng)y1≥h1時(shí)，d1=-e1，y1

由公式7得到的循環(huán)數(shù)表達(dá)式，其循環(huán)和為[（（b4+y1+y2+y3）/a4）λ]n，當(dāng)x≠1時(shí)，循環(huán)和中的分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后的分母是a的約數(shù)，否則就有可能是y1或y2或y3或x的值是不正確的，并且規(guī)定循環(huán)和[（（ta′+b′）/a′）λ]n=t×[a′×（1/a′）λ]n+[（b′/a′）λ]n（t=1，2，3）.如循環(huán)和[（20/7）λ=6]167表示2×[7×（1/7）λ=6]167+[（6/7）λ=6]167，即循環(huán)和為2×（999999）167+（857142）167.可見，由公式7不但可以求出4次方運(yùn)算的表達(dá)式，還可以求出其循環(huán)和.

例2 計(jì)算： {[（26/33）λ=2]5}4.

解 題目中的a=33，b=26.對(duì)模a4來(lái)說(shuō)，由10nλ=105×2≡314128，得x=314128；由xb4-4b4=314128×264-4×264≡879342，得y1=879342；由xy1+6b4=314128×879342+6×264≡408549，得y2=408549；由xy2-4b4=314128×408549-4×264≡411353，得y3=411353.容易求出d1=-2，d2=2，d3=-1.所以，{[（26/33）λ=2]5}4=[（264/334）i=10-2]，[（879342/334）i=10+2]，[（408549/334）i=10-1]，[（411353/334）i=10+1] （4），其循環(huán)和為：[（（264+879342+408549+411353）/334）λ=2]5=[（20/11）λ=2]5=[11×（1/11）λ=2]5+[（9/11）λ=2]5，即循環(huán)和為（99）5+（81）5.由等式（4）容易轉(zhuǎn)化為一般表達(dá)式：[（78）5]4=3853342674，7414844667，3444993383，3468637456，這個(gè)等式經(jīng)檢驗(yàn)是正確的，其循環(huán)和為（99）5+（81）5，即循環(huán)和為[（20/11）λ=2]5.

仿照從公式3到公式5到公式7，構(gòu)造出求循環(huán)數(shù)4次方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式的方法，從公式1、公式2出發(fā)，容易分別構(gòu)造出求循環(huán)數(shù)平方運(yùn)算、立方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式.求循環(huán)數(shù)平方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式，在“速求卡普列加數(shù)”一文中介紹過(guò)；求循環(huán)數(shù)立方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式，在“立方運(yùn)算與卡普列加數(shù)”一文中介紹過(guò).當(dāng)然，從公式4出發(fā)，也可以構(gòu)造出求循環(huán)數(shù)5次方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式.那么，有其他方法能直接構(gòu)造出求循環(huán)數(shù)5次方或m次方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式嗎？有！可根據(jù)（x-1）m展開式按x降冪排列中間項(xiàng)的系數(shù)：-m、m（m-1）/2、-m（m-1）（m-2）/6、…、（-1）m-2m（m-1）/2、（-1）m-1m，直接根據(jù)公式7的特征，可快速構(gòu)造出求循環(huán)數(shù)m次方運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)公式：

當(dāng)10nλ≡x，xbm-mbm≡y1，xy1+[m（m-1）/2]bm≡y2，xy2-[m（m-1）（m-2）/6]bm≡y3，…，xym-3+[（-1）m-2m（m-1）/2]bm≡ym-2，xym-2+（-1）m-1mbm≡ym-1（modam）時(shí)，{[（b/a）λ]n}m=[（bm/am）i=nλ+d1]，[（y1/am）i=nλ+d2]，[（y2/am）i=nλ+d3]，…，[（ym-2/am）i=nλ+dm-1]，[（ym-1/am）i=nλ+dm]（當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，dm=0；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，dm=1）（公式8），或{[（b/a）λ]n}m=[（bm/am）i=nλ+d1]×10（m-1）nλ+[（y1/am）i=nλ+d2]×10（m-2）nλ+…+[（ym-1/am）i=nλ+dm]（當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，dm=0；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，dm=1）（公式8′），其中修正值d1 、d2、…、dm-1為常數(shù).如果-mbm≡h1，[m（m-1）/2]bm≡h2，…，（-1）m-1mbm≡hm-1 （modam），并且h1=-mbm+e1am，h2=[m（m-1）/2]bm-e2am，…，hm-1=（-1）m-1mbm+（-1）mem-1am（e1、e2、…、em-1為自然數(shù)），那么，當(dāng)y1≥h1時(shí)，d1=-e1，y1

當(dāng)公式8右邊的每一部分都不發(fā)生“進(jìn)位”時(shí)，可用公式8直接計(jì)算循環(huán)數(shù)的m次方.由公式8得到的循環(huán)數(shù)表達(dá)式，其循環(huán)和為[（（bm+y1+y2+…+ym-1）/am）λ]n，當(dāng)x≠1時(shí)，循環(huán)和中的分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后的分母是a的約數(shù)，還可以推導(dǎo)出ym-1滿足xym-1+（-1）mbm≡0（modam），并且規(guī)定循環(huán)和[（（ta′+b′）/a′）λ]n=t×[a′×（1/a′）λ]n+[（b′/a′）λ]n（t=1，2，…，m-1）.如循環(huán)和[（25/7）λ=6]450表示3×[7×（1/7）λ=6]450+[（4/7）λ=6]450，即循環(huán)和為3×（999999）450+（571428）450.可見，由公式8不但可以求出m次方運(yùn)算的表達(dá)式，還可以求出其循環(huán)和.當(dāng)公式8右邊的個(gè)別部分發(fā)生“進(jìn)位”時(shí)，可用公式8′直接計(jì)算循環(huán)數(shù)的m次方.此時(shí)，由于“進(jìn)位”的原因，會(huì)出現(xiàn)循環(huán)周期變化規(guī)律變化前后的循環(huán)和中的循環(huán)數(shù)底數(shù)不相同的情況（變化前的循環(huán)和可用一般表達(dá)式計(jì)算，變化后的循環(huán)和則可用循環(huán)數(shù)表達(dá)式計(jì)算）.如{[（10/11）λ=2]1}2=[（100/112）i=2-2]×102+[（120/112）i=2 +1][其中（120/112）i=2=99表示兩位數(shù)，而（120/112）i=2+1=99+1卻表示三位數(shù)，說(shuō)明第二部分發(fā)生了“進(jìn)位”]，即902=（82-2）×102+（99+1）=8100，其變化前的循環(huán)和為81即（9/11）λ=2；由于一個(gè)循環(huán)周期為11，所以{[（10/11）λ=2]11+1}2=[（100/112）i=2×12-2]×1024+[（120/112）i=2×12 +1]=[（100/112）i=24-2]，[（120/112）i=24+1] （5），其變化后的循環(huán)和為[（（100+120）/112）λ=2]12=[（20/11）λ=2]12=[11×（1/11）λ=2]12+[（9/11）λ=2]12，即循環(huán)和為（99）12+（81）12.由等式（5）可化為一般表達(dá)式：[（90）12]2=826446 280991 735537 190080，991735 537190 082644 628100，這個(gè)等式經(jīng)檢驗(yàn)是正確的.

例3 計(jì)算：{[（2/7）λ=6]4}5.

解 題目中的a=7，b=2.對(duì)模a5來(lái)說(shuō)，由10nλ=104×6≡16346，得x=16346；由xb5-5b5=16346×25-5×25≡1895，得y1=1895；由xy1+10b5=16346×1895+10×25≡689，得y2=689；由xy2-10b5=16346×689-10×25≡1384，得y3=1384；由xy3+5b5=16346×1384+5×25≡802，得y4=802.容易求出d1=d2=d3=d4=0.所以，{[（2/7）λ=6]4}5=[（25/75）i=24]，[（1895/75）i=24]，[（689/75）i=24]，[（1384/75）i=24]，[（802/75）i=24] （6），其循環(huán)和為N′=[（（25+1895+689+1384+802）/75）λ=6]4=[（2/7）λ=6]4=N.可見，等式（6）是5階卡普列加數(shù)的循環(huán)數(shù)表達(dá)式，它轉(zhuǎn)化為一般表達(dá)式后，經(jīng)檢驗(yàn)是正確的.

把公式8中的a用x-1替代、b用1替代，此時(shí)容易求出d1=d2=…=dm-1=0.這樣，由公式8可得到求以1/（x-1）的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的m階卡普列加數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)公式（公式略）.

我們已經(jīng)知道，當(dāng)1/a的循環(huán)數(shù)與a互質(zhì)時(shí)，[（b/a）λ]n（n

【參考文獻(xiàn)】

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[2]曾俊雄.速求卡普列加數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（13）.

[3]曾俊雄.立方運(yùn)算與卡普列加數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（17）.