交錯級數(shù)的實質(zhì)是無窮項n到2n的調(diào)和級數(shù)

吳合法

【摘要】交錯級數(shù) 1-12+13-14+15-16+…+（-1）（n-1）n=ln2= 1n+1+…+12n-1， 這一科學(xué)成果是依據(jù)調(diào)和級數(shù)的數(shù)頻理論得出的，它揭示了交錯級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的一種聯(lián)系.這一數(shù)頻理論的原理是等式或等價，有別于經(jīng)典的近似理論.它是數(shù)學(xué)發(fā)展的未來趨勢.

【關(guān)鍵詞】交錯級數(shù)；調(diào)和級數(shù)；數(shù)頻公式；無窮大；ln2； 歐拉系數(shù)

1.調(diào)和級數(shù)的數(shù)頻公式

先來研究調(diào)和級數(shù)的直接數(shù)頻公式，這是沒有先例的，盡管之前有一些間接的，但都不是依據(jù)等式得來的，不足為憑.

n≥3，設(shè)S3=1+12+13，12·S3=12+14+16，（1）

12· S3=S3-12·S3=1+12+13-12+14+16=1+13-14+16=12+14+16.（2）

∵（1）=（2），可得交錯級數(shù)數(shù)列，

∴1-12+13=214+16=12+13.

再設(shè) S5=1+12+13+14+15，

12·S5=12+14+16+18+110=S5-12·S5， （3）

S5-12·S5=1+12+13+14+15-12+14+16+18+110=1+13+15-（16+18+110），（4）

∵（3）=（4），

∴1+13+15-16+18+110=12+14+16+18+110，

可得交錯級數(shù)數(shù)列，1-12+13-14+15=216+18+110.

再設(shè)S7=1+12+13+14+15+16+17，

12·S7=12+14+16+18+110+112+114=S7-12·S7，

可得1-12+13-14+15-16+17=14+15+16+17 ；

同理可得交錯級數(shù)數(shù)列 1-12+13-14+15-16+17-18+19=15+16+17+18+19；…

當(dāng)n為奇數(shù)時，n→∞，

1-12+13-14+…+12n-1=1n+1+1n+2+…+12n-1 ；（5）

當(dāng)n為偶數(shù)時， n→∞，

∑[（-1）（n-1）]·12n=∑[（-1）（n-1）]·12n-1 -12=1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n. （6）

以上（5）、（6）公式就是調(diào)和級數(shù)的數(shù)頻公式.

這一數(shù)頻公式首次突破了調(diào)和級數(shù)沒有直接的完整的公式的表達(dá)的歷史空白，突破了調(diào)和級數(shù)至今只有近似的理論向完整理論轉(zhuǎn)變的局限，無疑，這奠定了數(shù)頻理論的正確的發(fā)展基礎(chǔ).

如果在假設(shè)的條件下，認(rèn)可歐拉的結(jié)論是正確的，即早在1665年，牛頓在他的《流數(shù)法》中推導(dǎo)出第一個冪級數(shù)：

ln（1+x）=1-x22+x33-…+[（-1）（n-1）·xnn ].

歐拉在1734年利用牛頓的成果，首先獲得了：

1-12+13-14+…+（-1）（n-1）n=ln2，n→∞. （7）

比較 （5）、（6）、（7）這三個表達(dá)式，在n→∞時，可以認(rèn)為它們是等價的，從而有1-12+13-14+…=ln2，

ln2=1n+1+1n+2+…+12n-1，或者ln2=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n.

在n到2n的調(diào)和級數(shù)∑1n=1n+1+1n+2+…+12n-1或者∑1n=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n=ln2是收斂的.<完畢>

公式（5）或（6）與（7）的關(guān)系表明，交錯級數(shù)的確是無窮大n到2n的調(diào)和級數(shù).

2.調(diào)和級數(shù)發(fā)散的條件

明白了在1 到n無窮大項的交錯級數(shù)是n到2n的調(diào)和級數(shù)，它是收斂的，由此可以繼續(xù)證明n2到n的調(diào)和級數(shù)也是收斂的；n2到n4，n4到n8……如此往復(fù)直到1，它們都是收斂于ln2，所以調(diào)和級數(shù)：1+12+13+14+ …+1n=1+12+ 14 +18+…nln2=nln2.（8） 其中n為無窮大. 事實上，根據(jù)歐拉的調(diào)和級數(shù)表達(dá)式1+12 +13+14+15+…+1n=ln（n+1）+r，r為歐拉系數(shù)，同樣可以來證明，在n到2n的無窮大調(diào)和級數(shù)是收斂于ln2.

1n+1+1n+2+…+12n=1+12+13+…+12n -1+12+ +13+…+1n=ln（2n+1）+r2-ln（n+1）-r1=ln2n+1n+1+r2-r1=ln2-1n+1+0.

可依次證明n到n2，n2到n4，n4到n8……它們之間的調(diào)和級數(shù)都收斂于ln2.將它們依次相加起來，nln2=n2+n4+n8+n16+…ln2，可得（8）式.總之，調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性是指1到1n充分小時而言的，在1n充分小到12n且1n→0之間的調(diào)和級數(shù)收斂于ln2，即交錯級數(shù)的實質(zhì)是n到2n的調(diào)和級數(shù)的收斂于ln2這一結(jié)論在理論上否定了調(diào)和級數(shù)在無窮大n時繼續(xù)無限增加的可能.

3.調(diào)和級數(shù)的數(shù)頻表達(dá)式2

確切地講，調(diào)和級數(shù)至今還沒有一個科學(xué)的表達(dá)式，即使歐拉的表達(dá)式也不例外.1+12+ 13+14+…+1n=ln（n+1）+r就完全不符合所有有限的n值，例如 1 ≠ln（1+1）+r，1+12≠ln（2+1）+r，1+12+13≠ln（3+1）+r，……

這在事實上，歐拉的表達(dá)式就完全脫離了實踐基礎(chǔ)而不能作為完全的科學(xué)理論.下面給出調(diào)和級數(shù)的數(shù)頻表達(dá)式2， 完整地反應(yīng)了這一級數(shù)的規(guī)律.

根據(jù)1=將此等式按指數(shù)相同的重新合并排列，有 （2）式：

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué).第六版.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析.第二冊.北京大學(xué)出版社.