羅素?cái)?shù)學(xué)哲學(xué)“映射”概念分析綱要

施經(jīng)

【摘要】羅素在一系列數(shù)學(xué)哲學(xué)論著中，特別是他的《數(shù)學(xué)哲學(xué)導(dǎo)論》中，通過論述映射問題，試圖解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中存在著的在處理數(shù)和數(shù)序時(shí)“無限”和“有限”的矛盾.本文分析羅素解決這一問題的方式及在哲學(xué)上這種解決方式可能帶來的影響.

【關(guān)鍵詞】映射；數(shù)學(xué)；羅素

對羅素的關(guān)注，在我國是比較早的.但在某種程度上筆者認(rèn)為，這種關(guān)注在我國學(xué)界正在走著一種退步的路.相較于早期最先引進(jìn)羅素的數(shù)理邏輯演講，現(xiàn)在的研究者，越來越關(guān)注的是羅素作為一名社會活動家，作為一名和平主義者的較為新鮮活潑的一面.哪怕是專業(yè)的哲學(xué)研究者，也越來越多將羅素簡單視為一名暢銷書作者和一個(gè)哲學(xué)史的過渡性人物.僅僅滿足于此，我們就能夠想見國內(nèi)學(xué)界對羅素的研究是多么蒼白和貧陋.國外對羅素的研究，同樣是不能夠令人充分滿意的.但從事數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的專業(yè)人員，無疑充分認(rèn)識到了羅素及其著作的重要性.這里囿于篇幅和主題，就不涉及國外的研究情況.我在此主要評判的是國內(nèi)的哲學(xué)及哲學(xué)史和思想史研究者，他們忘記了，羅素首先是作為一名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家而成就自己的學(xué)術(shù)和聲名的.并且基于這種確信，我認(rèn)為，羅素的分析工具是科學(xué)主義的.

映射概念（姑且相信這樣的說法是正確的），并非羅素提出的.相反的，這是源于數(shù)學(xué)上長久以來就有的一個(gè)地圖問題.大家知道，我們在繪畫地圖的時(shí)候必須使用比例尺相應(yīng)地放大或者縮小地圖，以使一定較小容量的紙張能夠容納繪畫對象縮放后表征的內(nèi)容.任何人，在現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中，都不會去描繪一幅和實(shí)物一一對應(yīng)，完全一般大小的地圖.這樣的地圖，圖中之物的每一天都和現(xiàn)實(shí)對象的每一天對應(yīng)相等，自然是最為理想最為精確的地圖，可是一般而言就失去了自己的實(shí)用價(jià)值了.

但是縮小的地圖中似乎存在著一個(gè)悖論.因?yàn)榈貓D要繪畫出來（如果它是準(zhǔn)確的地圖），它就必須和實(shí)物存在一一對應(yīng)的關(guān)系.這種關(guān)系，是基于一種比例收縮或擴(kuò)大的結(jié)果，這就是映射.所以我們完全可以說，地圖是實(shí)物的映射產(chǎn)物.換句話說，地圖如果是完全映射的話，實(shí)物的每一個(gè)點(diǎn)都能在地圖上找到對應(yīng)的點(diǎn).那么，實(shí)物中存在的無數(shù)點(diǎn)，就映射于地圖的無限點(diǎn)之中.所以地圖中的點(diǎn)和實(shí)物的點(diǎn)是一樣多的.可是，地圖畢竟是無限縮小或擴(kuò)大了的實(shí)物，明顯的二者間的面積差距，很難說服人們相信二者的點(diǎn)是相等同的.這就是地圖悖論.也是映射問題很難解釋清楚的.

羅素相信這個(gè)問題的非凡意義.他的分析方式是，我們不能由于這種悖論而回到傳統(tǒng)黑格爾哲學(xué)對無限和有限的混亂分析之中.黑格爾面對這樣的問題，他會怎么說呢？須知，黑格爾是一向輕視數(shù)學(xué)的，他無疑會將其作為數(shù)學(xué)自身混亂的依據(jù)，作為無限和有限相互辯證轉(zhuǎn)換的依據(jù)，但這只是掩蓋了問題，并無助于我們問題的分析和解決.

羅素認(rèn)為，這問題暗示著我們此前在分析中的一個(gè)問題，就是說，我們盲目的將無限和有限的適用公式或命題一致化.就是說，我們一直錯(cuò)誤地認(rèn)為，適用于我們有限經(jīng)驗(yàn)的公式等等分析原理和工具，勢必同樣適用于無限的事物和問題.而這一前提假設(shè)則是錯(cuò)誤的.

羅素的可貴之處，毋寧說，就是這種堅(jiān)持到底的分析主義作風(fēng).羅素指出，映射所以可能，不是因?yàn)辄c(diǎn)或面積的總數(shù)在發(fā)生映射之后沒有發(fā)生變化，而是由于這種變化并不會影響其他的某種尚未揭示出來的實(shí)質(zhì)之物.映射發(fā)生了，從原來的A，變成僅僅局限于紙上一隅的B.可是，我們依然知道這是原物的對應(yīng)之物，而不會認(rèn)為這是同原物毫無關(guān)系的它物.原物和地圖對照物，二者并非在同一坐標(biāo)上的同一類（如果這里可以使用“類”的話）物.我們假設(shè)原物的外形輪廓的走向和圈圍二層的圖形能夠用一個(gè)函數(shù)F表示.這個(gè)函數(shù)無疑是極為復(fù)雜的，但是我們現(xiàn)在并不涉及這個(gè)函數(shù)涉及的元以及其他的復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)問題.我們相信，這個(gè)函數(shù)存在著一個(gè)可以觀察的變元或者變量a.最初已經(jīng)說過，A與B并不是在一個(gè)坐標(biāo)系中的兩個(gè)函數(shù)，所以它們的變化并不是因?yàn)楹唵蔚奈灰圃斐傻模幢闶俏灰?，對它們形狀的對?yīng)關(guān)系也不造成破壞，所以這個(gè)位移是可以忽略不計(jì)的.那么，發(fā)生變化的就是a.由于a過渡為a′，或者說，a被一個(gè)函數(shù)f定義，這個(gè)f相應(yīng)的值成為新的函數(shù)F的相應(yīng)確值.這樣就發(fā)生了地圖大小的變化，所以這個(gè)大小的調(diào)整可以是隨意的.那么這里涉及無限和有限的關(guān)系嗎？很難說，因?yàn)槲覀儾恢腊l(fā)問者關(guān)注的這個(gè)關(guān)系是哪里的關(guān)系.可是我們現(xiàn)在至少已經(jīng)確知，這里發(fā)生的變化僅僅是變量a的變化.如果由a的每一個(gè)取值組成一個(gè)序列C，那么，這個(gè)序列可能是無限的.而經(jīng)過F取值的a′組成的序列，也可以是無限的.所以某種程度而言，這里并不涉及嚴(yán)格的無限、有限的詰問辯難.

那么，羅素的這一解決，或者更正確地說，數(shù)學(xué)家的這一解決方式，在這么小的一個(gè)方面，能夠給予我們怎樣的啟示呢？我以為，最簡單地說，就是祛除一切的神秘和偏見.老實(shí)說，沒有堅(jiān)實(shí)的科學(xué)主義基礎(chǔ)，一門學(xué)科就會成為神秘主義的巢穴.沉溺于神秘主義的詞匯，不僅僅是滿足于拖沓和不實(shí)際有效地解決問題，更是對自己精神和道德的敗壞.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Bertrand Russell.Introduction to Mathematical Philosophy， DOVER PUBLICATIONS， INC.， New York， 1919.

[2]Bertrand Russell.A History of Western Philosophy， SIMON AND SCHUSTER， NEW YORK， 1945.