極限理論在太極數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)中的理論位置

武家林

【摘要】問世于五代和北宋之交的太極圖是《周易》中太極理論在數(shù)學(xué)方面的升華版.自此，太極理論不僅有數(shù)學(xué)命題陳述，即“是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”（《周易·系辭》），且有圖像對于太極動態(tài)坐標系的精確揭示和表達.通過長期思考和研究，論者認為它是整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中迄今為止還未被認識到的至簡數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，簡稱為太極公理系統(tǒng).其分析性符合西方數(shù)學(xué)分析的概念，而且表現(xiàn)更為通透，貫穿整個系統(tǒng).反言之，這個系統(tǒng)具有容納所有的數(shù)學(xué)分支理論的公理完備性.每個數(shù)學(xué)分支理論都可以在其中找到自己所處的體系位置.本文不可能就整個太極公理系統(tǒng)進行論述.因此，本文選取了數(shù)學(xué)論域中具有經(jīng)緯貫穿性的基礎(chǔ)分支理論—極限做為本文的論題.可收見微知著之功效.極限是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性概念.可以說沒有極限就沒有變量數(shù)學(xué).然而，迄今數(shù)學(xué)的極限理論源自和定型于西方數(shù)學(xué)知識體系.它側(cè)重于極限視域和論域中推理技術(shù)方面的推理連續(xù)性和表達精確性，而在數(shù)學(xué)總體視角下對于數(shù)學(xué)整體性的思考卻明顯先天不足.在這一方面，太極公理系統(tǒng)則可以起到歐氏幾何公理系統(tǒng)所不具備的重要功能.因為太極公理系統(tǒng)的圖像太極圖本身就具有整體性.只有整體性加上分析性，分析才具有體系性和貫穿性.總而言之，太極公理系統(tǒng)可以為包括極限在內(nèi)的各分支理論作出分析性的明源清流的解釋和說明.

【關(guān)鍵詞】太極公理系統(tǒng)；歐氏幾何公理系統(tǒng)；極限；牛頓二項式及其展開式；圓點轉(zhuǎn)化公式；對于兩個重要極限的公理化解釋

題解 本文主題是極限理論在太極公理系統(tǒng)中的理論位置.因此，有必要對于太極公理系統(tǒng)以及極限理論這兩個概念及其相互關(guān)系稍作必要的解釋.太極公理系統(tǒng)符合西方數(shù)學(xué)界對于公理系統(tǒng)的四項要求，并不另搞一套規(guī)則.這四項要求分別是，自洽性，獨立性，完備性，和初始公理的自明性.前三項要求在目前通行的公理系統(tǒng)中都具備，而第四項要求則不都具備.第四項要求為亞里士多德在《工具篇》中提出.論者認為它很重要.它是為一個公理系統(tǒng)的正當(dāng)性和合法性進行辯護的基礎(chǔ).太極公理系統(tǒng)是以太極圖為本，通過后續(xù)的連續(xù)和分門別類的分析，而發(fā)展成為分析體系.太極圖具有不證自明性和整體性.這是太極圖和其他數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)包括歐氏幾何公理系統(tǒng)相比所具備的獨有性質(zhì).在接踵的分析過程中太極圖的豐富內(nèi)涵得以形式化地展開，并且通過樞紐的方式和現(xiàn)有各分支數(shù)學(xué)理論相匯通.極限理論就是樞紐的組成部分.其定義在這里不必重述和做過多的解釋.現(xiàn)在需要明確的是，極限理論處于太極公理系統(tǒng)的哪個具體位置上.在太極圖的自明性之后隨之而來的是以數(shù)學(xué)術(shù)語所陳述和呈現(xiàn)出來的初始公理.太極公理系統(tǒng)初始公理內(nèi)涵有形和數(shù)兩個元素.形和數(shù)的關(guān)系就構(gòu)成了太極公理系統(tǒng)初始公理的內(nèi)容.其內(nèi)容是形數(shù)相互為根（樹形之根），形數(shù)相互分別自立，和形數(shù)相互為對方作出解釋，可簡化為形數(shù)互根、分立、和互釋.在形的方面有兩個基本元素，即圓和點.圓和點具有相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.極限理論所反映的和表述的正是圓和點相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.圓和點的相互轉(zhuǎn)化現(xiàn)象滲透在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中.剛才提到極限在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有貫穿性就是指的這個特征.下面就對于極限理論在太極公理系統(tǒng)中的理論位置進行證明.

正文

太極圖圖形.自北宋（960—1127）之后太極圖圖形因其簡單易記已經(jīng)逐漸通俗到廣為人知，甚至近世達到以符號方式廣泛流播域外的程度.為了節(jié)省篇幅，本文沒有必要呈現(xiàn)出其圖形.因為，知之者腦中已經(jīng)有之，而不知者亦易從互聯(lián)網(wǎng)中按詞索驥得到.

本文以下分為四步進行證明.第一步，證明一個基礎(chǔ)命題，圓至大仍為圓，而圓至小則為點.在此步提出圓點轉(zhuǎn)化公式.它是其他三步證明的基礎(chǔ).第二步，證明變量數(shù)學(xué)函數(shù)重要極限之一，limx→0sinxx=1是圓點轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)向補充.第三步，證明變量數(shù)學(xué)重要函數(shù)極限之二，limn→∞1+1nn=e是圓點轉(zhuǎn)化公式的外向擴展.第四步，證明牛頓二項式展開式中蘊含著命題：無窮大點集的極限為圓是通往非歐幾何、級數(shù)理論、和拓撲學(xué)的基礎(chǔ).下面逐步陳述之.

第一步.證明命題：圓至大仍為圓，而圓至小則為點.此命題源自《莊子·天下》‘至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一.圓和點都是太極公理系統(tǒng)中的初始概念.它們鮮明醒目地標識在太極圖上.太極圖上有三個圓，一大兩小.大圓在太極圖的最外緣，是顯性的，而兩小則是陰陽魚的魚頭部分，是隱性的.太極圖上的點分別是陰陽魚的兩顆眼睛.太極公理系統(tǒng)中最基本的元素就是圓和點.而太極圖中間分別開陰陽魚的曲線則是點集的一種形態(tài).

從證明的第一步，就開始顯現(xiàn)出中西數(shù)學(xué)在起步和基礎(chǔ)層次上的分野.圓在中西數(shù)學(xué)理論中的公理性地位具有鮮明的反差.在以歐氏幾何為代表的西方數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)中，是以點線面體為序進行逐步定義展開的邏輯程序.在這個程序中，顯然缺乏基于視覺產(chǎn)生出的整體性和自明性，所以圓不在初始公理的位置上.與此不同的是，太極圖中的圓處于初始公理的位置上.順便說一下，西學(xué)中的公理，在中學(xué)傳統(tǒng)中的對應(yīng)概念是天理.顯然，因為沒有抓住圓在初始公理中的地位，歐氏幾何公理系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間具有離散性，所謂系統(tǒng)二字對于它自身而言就是皇帝的新衣，而太極公理系統(tǒng)才真正具有系統(tǒng)性，且是動態(tài)性的系統(tǒng)性.

以圓為中介，圓至大和點之間必有關(guān)系.從圓至大到點的變化規(guī)律由太極圖中陰陽魚的動態(tài)變化可以揭示出來.當(dāng)然，這個動態(tài)變化需要借助于思想者的推理活動來實現(xiàn)和完成.

其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式為，以牛頓二項式為基礎(chǔ)加以適當(dāng)變化而成的等式，1（a+b）n=點，（n→∞）.此表達式稱為圓點轉(zhuǎn)化公式.這個公式可以用求極限的方式來表達，即limn→∞1（a+b）n=點.

圓點轉(zhuǎn)化公式中左邊分式中的分子數(shù)值1的所指是圓至大.這符合《莊子·天下》‘至大無外，謂之大一的觀點.但是它也可以置換為任意圓.這是因為圓的大小和其性質(zhì)無關(guān).分母是牛頓二項式.為了解釋清楚牛頓二項式在此處的理論功能，在這里必須插入一個新概念，賦義.

賦義概念為論者原創(chuàng)，是迄今數(shù)學(xué)中所沒有的.所謂賦義是指，對于代數(shù)式中的字母給予確定的形的含義，或者所指之形.它和邏輯學(xué)的賦值功能異曲同工.但是，不能把賦義和賦值合并.因為賦義專門指對于代數(shù)式中字母含義中有關(guān)形的所指.這和值的概念中蘊含數(shù)的性質(zhì)或者邏輯真值的性質(zhì)不同.在本步驟中，括號中的a和b分別賦義為太極圖中的兩個包含著次生圓的陰陽魚.而在其他情況下，a和b賦義會產(chǎn)生變化，后文中會出現(xiàn).隨著太極圓從原單位圓衍生出n次生陰陽魚的過程不斷反復(fù)進行，乃至無窮，此分式的極限就是所有的無窮大次生陰陽魚轉(zhuǎn)化為點，用極限公式表達就是，limn→∞1（a+b）n=點.其運算過程如下.

將圓點轉(zhuǎn)化公式兩邊均除以點，變形為，1（a+b）np=1，分母中的p是點的英文詞匯point的詞頭p，使用這種方法是和通行做法接軌，指代概念點，然后求，當(dāng)n→∞時此式的極限，于是得1∞p=1，從這個公式可以分析出，分母∞p是無窮大點集，因為此分式的分子和分母的比值等于1.無窮大點集在太極圖解析中是很重要的基本概念，整理后，得∞p=1，注意！這里的1是分式的分子，不要把等式左右兩邊的1弄混，雖然數(shù)值都為1，但是，它們處于等式的不同位置，所以含義不同.根據(jù)圓點轉(zhuǎn)化公式中的規(guī)定分子1就是圓至大，即∞p=圓.到此，運算證明完畢.

這是從單位圓順遂太極圖中圓中有圓之圖義而求極限的過程.這個過程顯示出太極圖中的太極圓是動態(tài)的，而不是靜態(tài)的.但是不幸的是，太極圖長期以來被靜態(tài)化了.其靜態(tài)化就是一把大鎖，鎖住了橫亙在太極圖表象和深湛數(shù)理蘊含之間的大鐵門.太極理論不被世界數(shù)學(xué)界重視，即使據(jù)說丹麥量子物理學(xué)家尼爾斯·玻爾對于《易經(jīng)》有所感悟1，就是源于靜態(tài)化地看待太極圖.牛頓二項式就是打開這把大鎖的鑰匙，可以點石成金.對此，世人更是難以認識到.

這里對于點的概念有三個解釋.其一，公式中的點符合歐氏幾何對于點的定義，點只有位置而無大小.做為圓至小無內(nèi)的極限，只留下了個位置在圓中.位置這個概念具有時空的蘊含.其二，如剛才上面所說，必須把太極圖視為動態(tài)的，才具有從圓到點轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).其三，只有存在著圓至大和圓至小兩個概念，點作為極限才能夠存在.這是踐行語言哲學(xué)中的基本原理，只有體系性地定義概念，概念的定義才會有效.

牛頓二項式，通過賦義的中介，它在太極圖演化中的描述和解釋具有形式化中樞的功能.它體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)功能理論的精髓.它也是辯證規(guī)律，‘太極分兩儀的數(shù)字化的體現(xiàn).這一點揭示出辯證規(guī)律隱匿在數(shù)學(xué)之中的端倪.這也是對于中國綴文形式中對仗和駢文現(xiàn)象豐富和突出的最終解釋.

牛頓二項式的問世并非牛頓一人之功.其中有中國人，阿拉伯人，和其他歐洲同仁的功勞.而最早作出在這項貢獻的中國人賈憲（生卒年不詳，大約生活于十一世紀的北宋）和楊輝（生卒年亦不詳，大約生活于十三世紀）已經(jīng)被載入數(shù)學(xué)史中.此處特別提到這他們并不是為了爭奪二項式的發(fā)明權(quán).這樣做沒有任何意義.提到他們是因為論者有一個猜測：他們的三角理論如果有所本，或者受到什么啟迪，和有什么深厚思想傳承，那么就非太極理論和太極圖莫屬.

以上所求極限可稱為從圓至點的極限.這個極限可以把微積分學(xué)中的現(xiàn)有的兩個常識性重要函數(shù)極限整合統(tǒng)一起來.統(tǒng)一的線索是，在從圓至點的極限過程中，直徑和圓周扮演著重要的角色.而在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)分析中，它們的角色遠沒有這么重要.

第二步，先證明推導(dǎo)過程簡單些的重要極限一，limx→0sinxx.這個極限可以說是圓點轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)向補充.在以下的陳述中必須提到上文中已經(jīng)提到的形和數(shù)兩個初始概念.在圓點轉(zhuǎn)化公式中，數(shù)學(xué)公式起著臺前作用，而形隱匿在臺后，通過賦義后才為人所知.兩者處于分立狀態(tài).在目前這個極限中，sinx使形走到臺前來，直接顯示出太極圖中所蘊含的形數(shù)互釋原理.sinx的構(gòu)成要素就有直徑和圓周.只不過，這種現(xiàn)象為人熟視無睹而已.

依據(jù)一般教科書中的講義，這個分式中的分子sinx在三角函數(shù)中其對邊變量值由y軸的數(shù)值顯示，即sinx=y.進行等式變換，則可得sinxy=1.這個等式實際上已經(jīng)預(yù)示著limx→0sinxx=1這個結(jié)果.但是由于分母x被定義為和sinx的圓周角相對的圓周長度，而并非對邊變量本身，因此就存在著證明的必要.根據(jù)這個解釋，可以把問題在本質(zhì)不變而現(xiàn)象改變的情況下變成正弦曲線中的極值和π2長的圓周之間的比值.這樣就可以提供另外一條證明的思路.它是這樣的.

在圓中從無窮條直徑中取任一直徑，圍繞直徑有條以2π為周期的正弦曲線.這條正弦曲線上存在著兩個極值，均在π2處，現(xiàn)在只觀察其中一個足夠.這意味著只觀察半徑和半個曲線之間的聯(lián)動變化關(guān)系.令正弦曲線極值逐漸變小，趨向于零，伴隨現(xiàn)象是原初僅有2π周期的正弦曲線變?yōu)?nπ（n→∞）周期的正弦曲線，這意味著所有數(shù)量以幾何級數(shù)遞增的正弦曲線的所有極值同時不斷縮短和直徑間的距離，在到達極限時，曲線不成其為曲線，成為和直徑一樣長短的線段.這個結(jié)果用極限公式表達就是：limx→0sinxx=1，這里的1是正弦曲線在到達極限時與直徑的比值.對于這個結(jié)論還要做進一步的解釋.否則因為其中有了置換，因而產(chǎn)生出是否增加了變元的疑問.如果是，就使剛才的證明歸于無效.

在這個證明中，π2長的圓周實際上處于以曲線為形式的圓周上，因此沒有實質(zhì)性的改變，仍然是分母x.被置換了的是分子sinx.置換過程推導(dǎo)如下.sinx=y.正弦曲線的極值是y值在π2弧度角時的特殊值.這里的置換沒有增加變元的問題.問題是，在直徑處是否增加了變元？首先直接給出答案.直徑是從極值趨向無窮小時的極限現(xiàn)象.如果說在直徑處有變元，那么也是極值變化的結(jié)果，和圓至大可以轉(zhuǎn)化為點同理，這是內(nèi)生性變元，而非外生性變元.理解內(nèi)生變元的正當(dāng)性需要上面圓點轉(zhuǎn)化公式的內(nèi)涵來解釋.

上面指出圓點轉(zhuǎn)化公式的背景是陰陽魚幾何倍數(shù)的遞增.如果仔細觀察，這個遞增過程是在直徑上發(fā)生的.這是因為，最初的兩只陰陽魚的魚眼處在一條直徑之上，所以所有遞增的陰陽魚都處在同一直徑上.陰陽魚隨著數(shù)量增多而個頭梯次縮小.圓中并非只有一條直徑，而是有無窮條直徑，所以圓點轉(zhuǎn)化共時性地發(fā)生在每條直徑上.只不過，我們的研究專注在一條直徑上，且為任意一條直徑而已.以上過程實際上就是正弦曲線圍繞直徑所發(fā)生的事件.

回到相關(guān)極限的話題.從極值縮短而產(chǎn)生的直徑不是由一個點產(chǎn)生的，而是由無窮個點共同構(gòu)成的.因為上面提到正弦曲線隨著極值的縮小變?yōu)?nπ（n→∞）周期的長度.也就是說所有極值不但和直徑縮小距離而且它們之間的距離也在不斷縮小.當(dāng)極值到達其極限，極值就變?yōu)辄c，而且所有由極值化成的點因為相距密切而連成一線，即產(chǎn)生了和圓至大直徑相重合的新直徑.或者更準確地說，極值的極限就坐落在直徑上.當(dāng)然，這里必須分辨開由正弦曲線轉(zhuǎn)化而來的直徑和圓本原的直徑，它們不是同一的，是因為重合關(guān)系而難以在視覺中分開.內(nèi)生變元只有曲線極值數(shù)量的增加，而無外生變元那樣質(zhì)的變化.所以運算中的內(nèi)生變元具有正當(dāng)性.概而言之，上面的命題說：‘limx→0sinxx=1，這里的1是正弦曲線在極限時與直徑的比值現(xiàn)在可以判斷為沒有疑問的結(jié)論.

以上對于limx→0sinxx=1極限的證明方法和教科書上的相比有兩個優(yōu)點.其一，具有整體直觀性，而非部分，不必利用其他的定理和規(guī)則進行抽象推理.其二，和其他兩個圓到點的極限形成內(nèi)在的統(tǒng)一，使人有圓點轉(zhuǎn)化機制的大局觀和整體觀.

這樣完成了第二步的證明.

第三步，再看證明推導(dǎo)過程復(fù)雜些的極限二，limn→∞1+1nn=e.根據(jù)它，還有四個重要的推論隨后衍生.這個極限可以說是圓點轉(zhuǎn)化公式的外向性擴展，并且體用兼?zhèn)?e從形來解釋，它處于直徑的延長線上.這是因為括號中兩個數(shù)字1分別指代同一條直徑上的兩個半徑，各自絕對值當(dāng)然是1，其和應(yīng)是2.

賦義的問題在這里的解釋中又產(chǎn)生了.眾所周知，代數(shù)式（1+1n）n是牛頓二項式的變形.其中字母a和b為什么可以變形為數(shù)值，并且都是1，必須給予交代.否則欠缺推理嚴密.不能僅以同構(gòu)作為借口.本文對于a和b的賦義是，它們都是半徑，不是第一個步驟中的陰陽魚.

賦義后的情況應(yīng)該這樣解釋，后一個半徑被n分解，其不定值在和前個半徑1相加之后，它們的和被n次方.雖然，n值無法確定，但是兩個n在代數(shù)式中的不同位置上，起到相互制約作用，因此在不用確定n值和只要在n趨向無窮大的約束條件下，相互制約的結(jié)果竟然是其值等于無理數(shù)2.71828…數(shù)學(xué)界名之為超越數(shù)，即一種無理數(shù)，以符號e指代.它是自然對數(shù)的底.到此我們的思考不能算完.需要乘勢向前.

顯然根據(jù)賦義，e值大于直徑數(shù)2.如果以取整數(shù)方式用大于e值的數(shù)值，比如說3，為直徑再做一個圓，那么e就被排列在圓內(nèi)的直徑上了.根據(jù)這一點，上面才說這個極限是圓點轉(zhuǎn)化公式外向性擴展.在這個擴展中，圓點轉(zhuǎn)化公式中的圓至大必須置換為一般圓.因為一般圓允許圓外有圓或者圓內(nèi)有圓，而非至大無外和至小無內(nèi).這一切都未脫離太極圖圖像的蘊含.

從對于e的擴展性解釋，可以產(chǎn)生兩個重要推論.其一，π是超越數(shù)的命題可以得到解釋.其中道理很簡單，以e長為直徑做圓，那么，因為e為超越數(shù)，所以圓周和直徑比值依據(jù)運算規(guī)則必定是超越數(shù).其二，圓心位置測不準定律.其理也簡單.依幾何常識，圓心當(dāng)在直徑之中央，那么以e長為直徑做圓，顯然無法測準其直徑e，即圓心的所在.這如同無法準確找到磁極兩端的中央所在同理.保證這兩個推理成立的重要根據(jù)是e的導(dǎo)數(shù)衡為e，即e的不變性和恒定性.這里需要注意，測不準不等于畫不出.解釋如下.

測出是用數(shù)字表達出的測量結(jié)果.畫出是以直尺和圓規(guī)畫出準確的位置.任意畫條水平直線段，以直線段兩端為圓心與小于直線段總長和大于直線段半長的線段為半徑各畫一個等圓，兩圓必定相交，產(chǎn)生上下兩點，兩交點的連線和直線段垂直相交之處即是以直線段為直徑做圓的準確圓心.

從以上兩個推論還可以得到第三個推論.那就是π和e同時刻畫了圓所具有的無理數(shù)性質(zhì)，它們之間具有內(nèi)在的統(tǒng)一性.至于統(tǒng)一性是什么，只能在以后的系列論文中再予交代了.

第四個推論是圓心測不準定律和量子力學(xué)中的測不準定理具有形而上和形而下相互參照和印證的功能.數(shù)學(xué)和力學(xué)之間的緊密關(guān)系超過了現(xiàn)在對于其程度的認識.

第四步.在上面三步的證明中，證明的核心是圓和點的動態(tài)關(guān)系.而在第四步中，核心則是圍繞圓形和非圓形之間的動態(tài)關(guān)系展開.

雖然證明步驟中的核心有所改變，但是牛頓二項式的形式化解析中樞功能依舊.

在第一步中，在圓點轉(zhuǎn)化公式的推理中得到等式，∞p=1，即無窮大點集的極限是圓.這個等式從習(xí)慣來看有些奇怪.這恰恰說明在習(xí)慣中漠視了形數(shù)之間互根的緊密關(guān)系.只重視了數(shù)，而漠視了形.在本步驟中對于牛頓二項式展開式的分析就能夠進一步揭示形數(shù)互根的原理.

來看牛頓二項式展開式標準式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i.標準式的左邊是牛頓二項式，右邊是二項式展開式.式中所有系數(shù)的組合形成帕斯卡三角.從太極公理系統(tǒng)的視角看，這個等式的蘊含就是圓形和內(nèi)接三角形相等.這個判斷太奇怪了！有無這種可能？有.首先是有據(jù)可查.等號是明證.其中的奧秘需要揭示.那么，就請看下面的解密.

圓形等于三角形這個判斷需要加以精確化.需要在兩個地方精確化.其一，只有在式中的n趨向無窮大時的約束條件下，其二，圓的周長和圓內(nèi)接三角形的三邊和等長，而并非模糊地相等.其證明推理過程如下.

把牛頓二項式展開式標準式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i，變換為，（a+b）n∑ni=0cinaibn-i=1，?。╪→∞）時的極限，這是∞∞型不定式.可以看出，它是圓點轉(zhuǎn)化公式進一步的擴展.現(xiàn)在需要對于牛頓二項式進行第三次賦義.在做為分子的牛頓二項式括號中的a和b是直徑兩端與圓周相交的兩個偶序點；分母中的a和b賦義同于分子的.每點數(shù)值為1.進行化簡，得到分式2n∑ni=0cin.在n→∞的條件下，分子和分母都是無窮大，根據(jù)∞∞不定式運算規(guī)則，就有2n∑ni=0cin=1.

代數(shù)方面的證明完畢.下面需要證明其形釋.

從形的方面來理解牛頓二項式展開式，就是它以數(shù)的方式來證明歐氏幾何中三點定一圓的公理.證明過程中，首先需要無窮大點集的存在，其次把圓周和圓內(nèi)接三角形都看作點集，最后求這兩個點集在趨向無窮大時，它們所形成的比值極限.從上面的分子和分母可以分別看到，分子根據(jù)對于（a+b）的賦義都是點，注意，點是形的種類之一，而非是數(shù)，然后再賦值，都是1，而2n在n→∞時就是無窮大點集.而分母也是無窮大點集.兩個無窮大點集的比值自然是1.要解釋清楚為何內(nèi)接三角形的無窮大點集可以與圓周相等需要非歐幾何基礎(chǔ)觀點和集合論中無窮比較的知識.

先說非歐幾何基礎(chǔ)觀點的解釋作用.在非歐坐標系中，三角形的內(nèi)角和不是1800，可以大于或者小于，這樣三角形的三個角可以同時是鈍角，或者銳角.如果圓內(nèi)接三角形的三個角同時是鈍角，那么其極限就是圓周，如果同時是銳角其極限就是圓心.這是因為在角度變大，或者變小時，邊長也在隨之同向變化，變化的兩個相反結(jié)果必然其極限是圓周和圓心.從非歐幾何的觀念，牛頓二項式展開式等式的兩邊在無窮大的變化條件下它們之間的極限是1，這個命題可以算作功德圓滿證明完畢.但是這個命題還可以進一步伸說.

再說集合論中無窮比較的解釋作用.其實即使不使用非歐幾何工具，圓內(nèi)接三角形和圓周之間也可以通過集合論中無窮比較方法得到同勢的結(jié)論.因為不論圓周還是內(nèi)接三角形三邊之和都是無窮大點集.做為無窮大點集，它們之間就具有同勢的性質(zhì).兩個同勢的點集自然其比值等于1.

還可以進一步擴大圓內(nèi)其他構(gòu)件同勢的范圍.除了剛才已經(jīng)提到的兩個之外，即圓周和內(nèi)接三角形三邊之和，在同勢的名單中，還可以加入直徑無窮大點集和陰陽魚無窮大集.這樣圓就有四個同勢的無窮大點集.

對于牛頓二項式展開式的形釋可以對于級數(shù)理論的完善有所幫助.牛頓二項式展開式其實就是級數(shù)的基礎(chǔ)理論.對比一下，牛頓二項式展開式的系數(shù)求和極限式中的∑ni=0cin和常數(shù)項級數(shù)的通項式∑∞n=1un，兩者十分近似，只要對于其中的字母和數(shù)值加以改動，那么兩者完全可以被統(tǒng)一進一個體系中.但是僅憑上面兩個式子中數(shù)的相似性就斷定它們可以被統(tǒng)一進一個體系中未免沒有什么說服力.確實如此.不過，如果從形釋的視角來理解，那么說服力就很強了.這是因為級數(shù)理論的形的基礎(chǔ)也是割圓術(shù).而割圓術(shù)的起始點應(yīng)該是點和點集，是點集形成直徑，其次是直徑一分為二，形成正負兩個半徑.這兩步都是準備階段.真正的級數(shù)起點是圓內(nèi)接三角形，它把圓周一分為三.然后，依次分割圓周的次序是遞增自然數(shù)串中的每一項.在分割中形成規(guī)則性多邊形.從多邊形角度而言，三角形是其直接基礎(chǔ)，任意多邊形都可以還原為n個三角形的和數(shù).從這一點看，牛頓二項式展開式完全可以把級數(shù)理論統(tǒng)一起來.

另外，它同樣可以通向拓撲學(xué).這里只能點到為止，不再詳論.

戊.結(jié)論和知識論方面的意義：

結(jié)論有兩點.

其一，通過以上對于極限理論在太極公理系統(tǒng)中位置的形式化推理性分析的陳述，可以得出結(jié)論：極限理論處于太極公理系統(tǒng)中的基礎(chǔ)分析位置上并且貫穿整個太極公理系統(tǒng).

其二，太極公理系統(tǒng)確實是圓融通透的數(shù)學(xué)分析公理系統(tǒng).它具備統(tǒng)一極限理論的能力，因此符合公理系統(tǒng)的完備性，而非歐氏幾何系統(tǒng)不具備.從這個結(jié)論可以判斷出，太極公理系統(tǒng)比歐氏幾何公理系統(tǒng)更基礎(chǔ)，同時具有至簡的優(yōu)良品質(zhì).

最后，提示一點，從太極公理系統(tǒng)還可以直接分析出其他基礎(chǔ)分支理論，例如坐標系理論.其實，只要稍加留意，就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的圖像中存在著圓包裹著笛氏坐標系的現(xiàn)象.對于太極公理系統(tǒng)的分析潛力的全面認識需要系列論文或者專著一一揭示出來.

知識論方面的意義：上個世紀在西學(xué)東漸的大潮中，中國原型知識體系在世界知識領(lǐng)域中的話語權(quán)處于風(fēng)雨飄搖的下滑慘境.太極理論和太極圖中的深刻數(shù)理蘊含在本論文中的揭示，則將徹底改變中學(xué)在近世界一體化進程中的軟實力方面的歷史頹勢.整個文明史證明和證實，數(shù)學(xué)是所有門類知識的基礎(chǔ).套用和翻新弗蘭西斯·培根的名言，我們可以這樣斷言，數(shù)學(xué)知識就是最偉大的力量.當(dāng)今的中國知識界應(yīng)該全身心擁抱被自己百年前棄之如敝屣的自家珍貴數(shù)理資源，太極和八卦.八卦已經(jīng)在兩百余年前被萊布尼茲發(fā)掘出其知識價值，那么太極呢？站在高端和深邃的八卦太極數(shù)理平臺上，中國和世界就會迎來更美好的明天.

【參考文獻】

[1]見《百術(shù)吧》丹麥物理學(xué)家玻爾和《易經(jīng)》條目.