高中數(shù)學(xué)概率易錯(cuò)問題淺析

巫如來

【摘要】概率知識(shí)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)難點(diǎn)，而許多基本事件的計(jì)算又與排列組合有關(guān)，有些事件的發(fā)生沒有很清晰的界線，若沒有認(rèn)清它們之間的內(nèi)在特點(diǎn)，特別是對(duì)于那些在實(shí)際運(yùn)用中不易察覺的事件，學(xué)生想要掌握好它，并不是一件很容易的事情，做起題目來常常會(huì)模棱兩可.通過典型例子對(duì)概率易錯(cuò)問題進(jìn)行辨析，能夠讓學(xué)生正確地理解并掌握運(yùn)用，同時(shí)對(duì)教師的課堂教學(xué)也能起到一定的幫助作用.

【關(guān)鍵詞】概率；易錯(cuò)問題；典型例子

概率知識(shí)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)難點(diǎn)，而許多基本事件的計(jì)算又與排列組合有關(guān)，有些事件的發(fā)生沒有很清晰的界線，若沒有認(rèn)清它們之間的內(nèi)在特點(diǎn)，特別是對(duì)于那些在實(shí)際運(yùn)用中不易察覺的事件，學(xué)生想要掌握好它，并不是一件很容易的事情，做起題目來常常會(huì)模棱兩可.通過典型例子對(duì)概率易錯(cuò)問題進(jìn)行辨析，能夠讓學(xué)生正確地理解并掌握運(yùn)用，同時(shí)對(duì)教師的課堂教學(xué)也能起到一定的幫助作用.

我們先從以下的這一道例題開始吧！

一、引 例

例1 從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，若每次取出的產(chǎn)品都不放回該產(chǎn)品中，試求取到合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)ξ的分布列.

錯(cuò)解 設(shè)取到合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù)ξ，則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ=1，2，3，4.

P（ξ=1）=C110C113=1013=10×12×1113×12×11=13201716，

P（ξ=2）=C13C110C213=3×1013×122×1=6×10×1113×12×11=6601716，

P（ξ=3）=C23C110C313=3×1013×12×113×2×1=18×1013×12×11=1801716，

P（ξ=4）=C33C110C413=1×1013×12×11×104×3×2×1=2413×12×11=241716.

分析 這是初學(xué)者普遍的一種錯(cuò)誤做法，有兩種錯(cuò)誤的理解，一是認(rèn)為：這是一個(gè)條件概率的問題，而不是一個(gè)積事件的概率；二是認(rèn)為：因這是不放回抽取，而且13件產(chǎn)品中含有兩種不同的事物，那么任取ξ（ξ>1）件產(chǎn)品時(shí)，其中恰好有ξ-1件次品和1件正品，所以具有超幾何分布列的形式.實(shí)際上，他沒有注意到在基本事件的總數(shù)的計(jì)算時(shí)，要考慮按兩次先后的順序抽取完成.

二、問題分析

那么，我們先找找這一解法錯(cuò)誤的根本原因，請(qǐng)思考以下這一問題：

（1）從5個(gè)不同元素選出3個(gè)元素有多少種選法？

（2）從5個(gè)不同元素選出2個(gè)元素，再從剩下的3個(gè)元素選出1個(gè)元素有多少種選法？

以上兩種選法有何不同？為什么？

點(diǎn)評(píng) 從表面上看，該問題都是從5個(gè)不同元素選出3個(gè)元素，但從排列與組合的角度認(rèn)真分析下，它們的實(shí)際結(jié)果確完全不一樣：問題（1）中只有C35=10種選法，問題（2）中有C25C13=30種選法.兩種選法不同的原因就是：問題（2）中選出的3個(gè)不同元素要分兩步才能完成，而問題（1）中只需一步就可以完成.

那么，今天要解決類似的問題，只要我們先分析它們是屬于以下四類問題中的哪一類，就可以采取相應(yīng)的策略了.

三、問題解決方案

（一）有放回且有序抽樣概率

例2 從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，若每次取出的產(chǎn)品都放回該產(chǎn)品中，試求3次抽取中，前2次取到次品，第3次取到合格品的概率.

分析 這是有放回且有序抽樣，它們的概率就是一個(gè)積事件的概率.

解 P=C13C113×C13C113×C110C113=313×313×1013=3×3×1013×13×13=902197.

（二）有放回且無序抽樣概率

例3 從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，若每次取出的產(chǎn)品都放回該產(chǎn)品中，試求3次抽取中，有2次取到次品，1次取到合格品的概率.

分析 這是有放回且無序抽樣，它們的概率就是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，而且可以用二項(xiàng)分布求其概率.

解 P=C23×C13C113×C13C113×C110C113=C23×3132×1013=3×3×3×1013×13×13=2702197.

（三）不放回且無序抽樣概率

例4 從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，若每次取出的產(chǎn)品不放回該產(chǎn)品中，試求3次抽取中，有2次取到次品，1次取到合格品的概率.

分析 這是不放回且無序抽樣，它們的概率就是一個(gè)超幾何分布類型的概率.

解 P=C23C110C313=3×1013×12×113×2×1=18×1013×12×11=1801716，

或P=C23A23A110A313=3×6×1013×12×11=1801716.

（四）不放回且有序抽樣概率

下面我們?cè)賮矸治隼?的正確解法，這是不放回且有序抽樣，它們的概率可以用以下方法來求.

方法一：用組合計(jì)數(shù)法

設(shè)取到合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù)ξ，則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ=1，2，3，4.

P（ξ=1）=C110C113=1013=10×12×1113×12×11=13201716，

P（ξ=2）=C13C110C113×C112=3×1013×12=3×10×1113×12×11=3301716，

P（ξ=3）=C23C110C213C111=3×1013×122×1×11=6×1013×12×11=601716，

P（ξ=4）=C33C110C313C110=1×1013×12×113×2×1×10=613×12×11=61716.

方法二：用分步計(jì)數(shù)法積事件概率

設(shè)取到合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù)ξ，則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ=1，2，3，4.記選出的前ξ-1次產(chǎn)品都是次品的事件為A，第ξ次選出的產(chǎn)品是正品的事件為B，則：

P（ξ=1）=C110C113=1013=10×12×1113×12×11=13201716，

P（ξ=2）=P（AB）=C13C113×C110C112=3×1013×12=3×10×1113×12×11=3301716，

P（ξ=3）=P（AB）=C23C213×C110C111=3×1013×122×1×11=6×1013×12×11=601716，

P（ξ=4）=P（AB）=C33C313×C110C110=1×1013×12×113×2×1×10=613×12×11=61716.

點(diǎn)評(píng) 有些學(xué)生會(huì)認(rèn)為“直到取到合格品”的事件是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，實(shí)際上，這并不是條件概率問題，而是積事件概率，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率，因?yàn)榍唉?1（ξ=2，3）次取到次品的事件并不是已經(jīng)發(fā)生.

方法三：用排列計(jì)數(shù)法

設(shè)取到合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù)ξ，則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ=1，2，3，4.

P（ξ=1）=A110A113=1013=10×12×1113×12×11=13201716，

P（ξ=2）=A13A110A213=3×1013×12=3×10×1113×12×11=3301716，

P（ξ=3）=A23A110A313=3×2×1013×12×11=6×1013×12×11=601716，

P（ξ=4）=A33A110A413=3×2×1×1013×12×11×10=613×12×11=61716.

最后，我們來分析下人教版選修2-3課本上第53頁的一道例題（改編）：

例5 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，試求任意按最后一位數(shù)字，按對(duì)次數(shù)的分布列.

錯(cuò)解 設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai（i=1，2，…，10），則：

P（ξ=1）=P（A1）=C11C110=110，

P（ξ=2）=P（A2）=C11C19=19，

……

P（ξ=9）=P（A9）=C11C12=12，

P（ξ=10）=P（A10）=C11C11=1.

很顯然，這是一種錯(cuò)誤的解法，看看下面正確的解法，因?yàn)樗遣环呕厍矣行虺闃痈怕?，所以正確的解法應(yīng)該如下.

解法一：

P（ξ=1）=P（A1）=A11A110=110，

P（ξ=2）=P（A1A2）=A19×A11A210=9×110×9=110，

P（ξ=3）=P（A1A2A3）=A29×A11A310=9×8×110×9×8=110，

……

P（ξ=10）=P（A1A2…A9A10）=A99×A11A1010=9×8×…×2×1×110×9×…×2×1=110.

點(diǎn)評(píng) 將0～9中任意取出的ξ個(gè)數(shù)的排列看成是基本事件，其排列中第一個(gè)數(shù)看成是第一次試的密碼的最后一位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)看成是第二次試的密碼的最后一位數(shù)字……這樣，基本事件全體Ω，就有n（Ω）=Ai10=10×9×…×（11-i）.

解法二：P（ξ=1）=P（A1）=C11C110=110，

P（ξ=2）=P（A1A2）=C19×A11C110×C19=9×110×9=110，

P（ξ=3）=P（A1A2A3）=C29×C11C210×C18=9×82×110×92×8=110，

……

P（ξ=10）=P（A1A2…A9A10）=C99×C11C910×C11=9×8×…×2×1×110×9×…×2×1=110.

總之，通過排列與組合的計(jì)數(shù)方法就可以比較好地理解各個(gè)基本事件所包含的個(gè)數(shù)，這樣也就可以更加準(zhǔn)確地理解相應(yīng)的事件的概率了，甚至還可以區(qū)分出這一事件是一個(gè)積事件的概率還是條件概率，否則會(huì)一直纏繞于某一事件到底是否發(fā)生而糾結(jié)于是不是條件概率的問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 普通高中課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版選修2-3）[M].人民教育出版社，2006.

[2] 數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版選修2-3）教師教學(xué)用書[M].人民教育出版社，2007.