談解析函數(shù)中有限孤立奇點(diǎn)的判定方法

張繼兵

【摘要】有限孤立奇點(diǎn)是解析函數(shù)的奇點(diǎn)中最重要的內(nèi)容，是求復(fù)數(shù)積分的重要工具.下面給出判定有限孤立奇點(diǎn)的類型有三種方法，即定義法、定理法、復(fù)合法.

【關(guān)鍵詞】可去奇點(diǎn)；極點(diǎn)；本質(zhì)奇點(diǎn)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對象，孤立奇點(diǎn)是解析函數(shù)的奇點(diǎn)中最重要的內(nèi)容，它是判定整函數(shù)、有理函數(shù)、亞純函數(shù)等的依據(jù)，也是求復(fù)數(shù)積分的重要工具.下面談?wù)劷馕龊瘮?shù)孤立奇點(diǎn)的判定方法.

一、定義法

孤立奇點(diǎn)分三類，它們是可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本質(zhì)奇點(diǎn).定義如下：

1.設(shè)a≠∞（以下的a均滿足為a≠∞）是函數(shù)f（z）的孤立奇點(diǎn)，如果在點(diǎn)a處展成洛朗級數(shù)，展式含z-a的主要部分為零.稱點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn).

例1 判定z=0是函數(shù)f（z）=1-coszz2的哪類孤立奇點(diǎn).

解 f（z）=1-coszz2=1z2（1-∑∞n=0（-1）nz2n（2n）?。?∑∞n=1（-1）n+1z2n-2（2n）！ ，n∈N*.

由定義知z=0是函數(shù)f（z）=1-coszz2的可去奇點(diǎn).

2.設(shè)a為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，如果在點(diǎn)a處展成洛朗級數(shù)，展式含z-a的主要部分為有限項，即f（z）=c-1z-a+c-2（z-a）2+…+c-m（z-a）m+∑∞n=0cn（z-a）n，其中m∈N*，n∈N*.稱點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的m階極點(diǎn).

二、定理法

有些函數(shù)在有限的孤立奇點(diǎn)處不易展成洛朗級數(shù)，便可以利用下面的定理來判定解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型.

定理1.1 如果孤立奇點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn)，則下列兩條是等價的：

（1）limz→af（z）=b≠∞；

（2）f（z）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界.

定理1.2 如果孤立奇點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的極點(diǎn)，則下列三條是等價的：

（1）limz→af（z）=∞；

（2）f（z）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成f（z）=λ（z）（z-a）m，其中λ（z）在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析，且λ（a）≠0，則a為f（z）的m階極點(diǎn)；

（3）g（z）=1f（z）以點(diǎn)a為m階零點(diǎn).

定理1.3 如果孤立奇點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的本質(zhì)奇點(diǎn)，則下列兩條是等價的

（1）limz→af（z）不存在；

（2） 點(diǎn)a為函數(shù)1f（z）的本質(zhì)奇點(diǎn).

例2 判定z=0是函數(shù)f（z）=sinzz的哪類孤立奇點(diǎn).

解 f（z）=limz→0sinzz=1.

由定理1.1知z=0是函數(shù)f（z）=sinzz的可去奇點(diǎn).

例3 判定z=1是函數(shù)f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的哪類孤立奇點(diǎn).

解 令λ（z）=（z-5）cosz，因?yàn)棣耍▃）在復(fù)平面上解析，λ（1）=-4cos1≠0.

由定理1.2（2）知z=1是函數(shù)f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的2階極點(diǎn).

三、復(fù)合法

對于由兩個或兩個以上的函數(shù)組成的新的函數(shù)判定孤立奇點(diǎn)類型可用復(fù)合法來判定，準(zhǔn)確又快.具體方法如下：

定理2.1 函數(shù)f（z），g（z）分別以點(diǎn)a為m階極點(diǎn)及n階極點(diǎn)，則：

（1）當(dāng)m≠n時，點(diǎn)a為f（z）+g（z）的max{m，n}的極點(diǎn)；當(dāng)m=n時，點(diǎn)a是f（z）+g（z）的極點(diǎn)，其階數(shù)不高于m，點(diǎn)a也可能是f（z）+g（z）的可去奇點(diǎn).

（2）點(diǎn)a為f（z）·g（z）的m+n階極點(diǎn).

（3） 當(dāng)mn時，點(diǎn)a為f（z）g（z）的m-n階的極點(diǎn).

定理2.2 函數(shù)f（z）不恒為零且以點(diǎn)a為解析點(diǎn)或極點(diǎn)，函數(shù)g（z）以點(diǎn)a為本質(zhì)奇點(diǎn)，則點(diǎn)a為函數(shù)f（z）±g（z），f（z）·g（z），f（z）g（z）的本質(zhì)奇點(diǎn).

例4 判定z=0是函數(shù)f（z）=sin1z+1z2的哪類孤立奇點(diǎn).

解 因?yàn)閦=0是sin1z的本質(zhì)奇點(diǎn)，z=0是1z2的2階極點(diǎn).

所以由定理2.2知z=0是函數(shù)f（z）=sin1z+1z2的本質(zhì)奇點(diǎn).

總之，掌握了解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的判定方法，為之后的復(fù)數(shù)積分的計算奠定了良好的基礎(chǔ)，也是學(xué)好復(fù)變函數(shù)重要基礎(chǔ).