微粒群算法速度與位置更新的穩(wěn)定性分析

張成興

【摘要】微粒群算法已經(jīng)成為一種高效容易實(shí)現(xiàn)的方法.微粒群算法根據(jù)鳥群捕食行為抽象而來(lái)，但是目前很少有文獻(xiàn)分析該算法在循環(huán)中改變速度和位置的穩(wěn)定性.本文以基本微粒群算法為例，利用差分方程，常微分方程和線性系統(tǒng)控制理論對(duì)算法的更新公式進(jìn)行了分析，給出了算法穩(wěn)定的條件.

1.引 言

微粒群算法（Particle Swarm Optimization），利用當(dāng)前個(gè)體適應(yīng)度最優(yōu)值和全局個(gè)體適應(yīng)度最優(yōu)值對(duì)更新過(guò)程施加影響，利用兩個(gè)加速因子調(diào)節(jié)種群中社會(huì)性和自身性的比例，和兩個(gè)隨機(jī)因子增大個(gè)體的多樣性.

自從1995年基本的微粒群算法提出以來(lái)，經(jīng)過(guò)近20多年的發(fā)展，衍生出了很多微粒群算法的改進(jìn)算法，比較著名的有帶有壓縮因子的微粒群算法（Constrict Factor Particle Swarm Optimization CFPSO），模擬退火的微粒群算法 （Simulating Annealing Particle Swarm Optimization SAPSO），混沌微粒群算法（Chaos Particle Swarm Optimization CPSO），全信息的微粒群算法 （Fully Informed Particle Swarm Optimization FIPS），綜合學(xué)習(xí)的微粒群算法 （Comprehensive Learning Particle Swarm Optimization CLSPO），自適應(yīng)微粒群算法（Adaptive Particle Swarm Optimization APSO），基于文化基因進(jìn)化的微粒群算法（ Particle Swarm Optimization based on Memetic Algorithm POMA）和自我學(xué)習(xí)的微粒群算法 （SelfLearning Particle Swarm Optimization SLPSO）.CFPSO利用壓縮因子代替基本PSO中的慣性權(quán)重，在Benchmark測(cè)試函數(shù)中取得了較好的精度；CPSO，SAPSO和POMA利用PSO結(jié)合其他具有一定局部搜索能力的算法來(lái)求解最優(yōu)值.CLPSO采用綜合學(xué)習(xí)的機(jī)制，能夠維持種群的多樣性，使得算法不會(huì)發(fā)生早熟.APSO是典型的自適應(yīng)算法，根據(jù)種群當(dāng)前情況，調(diào)節(jié)慣性權(quán)重和加速因子，加快了收斂速度.SLPSO可以根據(jù)當(dāng)前個(gè)體的搜索區(qū)域狀態(tài)，自主選擇適合的進(jìn)化方式.

但是PSO的核心速度位置更新公式?jīng)]有發(fā)生較大的變化，所以本文通過(guò)分析PSO位置和速度的更新方式來(lái)討論算法穩(wěn)定的條件.

2.穩(wěn)定性分析

PSO的速度更新公式如下：

Vi（t+1）=ωVi（t）+λ1[P-Xi（t）]+λ2[G-Xi（t）].（1）

（1）為中P為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體位置，G為種群最優(yōu)位置，ω是慣性權(quán)重.

Xi（t+1）=Xi（t）+Vi（t+1）.（2）

根據(jù)（1）和（2）可得：

-（λ1+λ2）Xi（t）=Vi（t+1）-ωVi（t）-λ1P-λ2G.（3）

Vi（t+2）+（λ1+λ2-ω-1）Vi（t+1）+ωVi（t）=0.（4）

根據(jù)（3）和（4）可以得到個(gè)體位置變化的方程：

Xi（t+2）=（1+ω-λ1-λ2）Xi（t+1）-ωXi（t）+λ1P+λ2G.（5）

（5）是一個(gè)典型的二階差分方程.

假設(shè)個(gè)體變化過(guò)程連續(xù)，根據(jù)（4）可以得到速度的二階常微分方程：

d2Vdt2+ln（αβ）dvdt+ln（α）ln（β）V=0.（6）

根據(jù)二階常微分方程的理論，可知α和β是φ2+（λ1+λ2+ω-1）φ+ω的兩個(gè)根.所以（5）的解的一般形式如下：

V（t）=eαt（C1sinβt+C2cosβt）.（7）

從（7）中分析可知，個(gè)體時(shí)刻的速度存在震蕩，而且α>0的情況下不收斂，需要具體分析速度更新公式中的參數(shù).

對(duì)（4）進(jìn)行Z變換，得到：

Vi（Z）=z2Vi（0）+zVi（1）+Z～（λ1+λ2-ω-1）Vi（0）z2+z（λ1+λ2-ω-1）+ω.（8）

因?yàn)棣?和λ2是常數(shù)，利用控制系統(tǒng)理論，得知（8）是一個(gè)線性系統(tǒng)，所以特征方程為（8）的分母.

利用雙線性變換，令z=μ+1μ-1，帶入（8）得到：

（λ1+λ2）μ2+（2-2ω）μ+（2ω+2-λ1-λ2）=0.（9）

利用控制理論中的Routh判據(jù)，可知系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系數(shù)大于0.

（λ1+λ2）μ2+（2-2ω）μ+（2ω+2-λ1-λ2）=0.（9）

λ1+λ2>0

2ω+2-λ1-λ2>0

1-ω>0（10）

3.結(jié) 論

通過(guò)對(duì)PSO算法更新公式的分析，利用常微分方程和控制理論，得出算法中個(gè)體速度收斂的約束條件，得到了基本的結(jié)論.

【參考文獻(xiàn)】

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