例談裂項(xiàng)相消法在數(shù)列不等式證明中的常見應(yīng)用

胡宗興

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)數(shù)列不等式證明在歷年的高考中時(shí)有出現(xiàn)，而裂項(xiàng)相消法則在其中扮演重要角色，所以筆者從近年的高考試題和一些典型的例子來剖析裂項(xiàng)相消法在數(shù)列證明中的常見應(yīng)用.

1.利用等差數(shù)列裂項(xiàng)相消

例1 （2013廣東）.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.

（1）、（2）略

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1a1+1a2+1a3+…+1an<74.

解 （3）由（2）可知an=n2（n∈N*），

∴1an=1n2<1n2-1=1（n-1）（n+1）=121n-1-1n+1.

即1a1+…+1an=1+…+1n2<1+121-13+1212-14+…+121n-1-1n+1=1+121+12-1n-1n+1=74-121n+1n+1<74.

2.利用對(duì)數(shù)性質(zhì)裂項(xiàng)相消

例2 （2013全國大綱）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時(shí)，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

剖析 若k>0時(shí)，則lnk+1k=ln（k+1）-lnk，利用它來達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的.

解 （Ⅰ）略 （Ⅱ）令λ=12，由（Ⅰ）知，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）.取x=1k，則2k+12k（k+1）>lnk+1k.于是a2n-an+14n=∑2n-1k=n12k+12（k+1）=∑2n-1k=n2k+12k（k+1）>∑2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=lnn.所以a2n-an+14n>ln2.

3.利用根式裂項(xiàng)

例3 求證：1+222+332+…+nn2<3.

證明 因?yàn)閚n2=1nn=2nn+nn

<2（n-1）n+nn-1=2n（n-1）（n+n-1）=2（n-n-1）n（n-1）=21n-1-1n（n≥2），

故不等式右邊<1+211-12+…+21n-1-1n=1+21-1n=3-2n<3，即原不等式成立.

評(píng)注 將不等式中各項(xiàng)放縮后進(jìn)行裂項(xiàng)求和，最后在進(jìn)行放縮，使之成立.

4.利用排列組合裂項(xiàng)

例4 對(duì)于n∈N，求證：（1+1n）n<3.

剖析 因?yàn)椴坏仁阶筮呌衝次方，故想用二項(xiàng)式定理來展開，再放縮通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消.

證明 當(dāng)n=1時(shí)，2<3，結(jié)論顯然成立，

當(dāng)n≥2時(shí)，有

Ckn（1n）k=n（n-1）（n-2）…（n-k+1）nkk！<1k！<1k（k-1）=1k-1-1k（k≥2）.

∴1+1nn=1+C1n1n+…+Ckn1nk+…+Cnn1nn<2+1-12+…+1k-1-1k+…+1n-1-1n=3-1n<3.

5.利用三角函數(shù)裂項(xiàng)

例5 （2011·安徽卷） 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=tanan·tanan-1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解答 （1）略.

（2）由題意和（1）中知bn=tan（n+2）·tan（n+3），n≥1，

另一方面，利用

tan1=tan[（k+1）-k]=tan（k+1）-tank1+tan（k+1）·tank，

得tan（k+1）·tank=tan（k+1）-tanktan1-1.

所以Sn=∑nk=1bk=∑n+2k=3tan（k+1）·tank

=∑n+2k=3tan（k+1=tank）tan1-1

=tan（n+3）-tan3tan1-n.

以上是筆者在教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)，從中我們可以發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)相消在數(shù)列不等式證明中應(yīng)用的頻率很高，它可以和很多知識(shí)和內(nèi)容結(jié)合，對(duì)學(xué)生應(yīng)變能力有較高的要求，可培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，故在今后的教學(xué)中應(yīng)加以重視.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 夏正勇.不等式證明中對(duì)“放縮”的幾點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012，11.

[2]胡文，秦偉偉.感受“裂項(xiàng)相消”的數(shù)學(xué)美[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009，5.