微積分教學中數(shù)學理論和哲學思想的聯(lián)系

【摘要】數(shù)學與哲學是密切聯(lián)系、相輔相成的.數(shù)學理論中蘊含了豐富的哲學思想，哲學思想又指導著數(shù)學理論的發(fā)展.研究哲學思想和數(shù)學理論的聯(lián)系，是認識數(shù)學的需要，也是研究數(shù)學，發(fā)展數(shù)學的需要.以微積分為例，探討微積分中豐富、典型、深刻的辯證法思想，用哲學思想來指導教學和學習，可以使學生站在較高的角度認識數(shù)學、理解數(shù)學，提高學生的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力.

【關鍵詞】哲學；思想；微積分；理論；聯(lián)系

一、 哲學與數(shù)學

數(shù)學是研究客觀世界數(shù)量關系和空間形式的科學，哲學是研究客觀世界的本質(zhì)及規(guī)律的科學，是自然科學和社會科學的概括和總結(jié)，是理論化、系統(tǒng)化的世界觀和方法論.

數(shù)學從量的角度分析問題，哲學從質(zhì)的角度分析問題.質(zhì)與量是表征事物基本規(guī)定性的哲學范疇，量是質(zhì)的等級、規(guī)模、范圍、排列次序和結(jié)構的表現(xiàn)，是事物可以由數(shù)和形來表示的規(guī)定性.事物是質(zhì)與量的統(tǒng)一體，質(zhì)的內(nèi)容必須借助于一定的量來表現(xiàn).數(shù)學是研究量的科學，通過量的分析，揭示事物的性質(zhì)特征.哲學是人類思維的結(jié)晶和提煉，浩瀚星云，蒼茫大地，蕓蕓眾生，陰陽和諧，無一不在其視野中，無一不被其包羅收容.

數(shù)學和哲學具有共同的特點，即高度的抽象性、廣泛的應用性和邏輯的嚴密性.

數(shù)學與哲學聯(lián)系緊密、交相輝映、齊驅(qū)并進.數(shù)學中蘊含著哲學，并以其成果推動著人類哲學思想的發(fā)展，同時哲學作為世界觀，為數(shù)學發(fā)展提供指導作用，哲學作為方法論，為數(shù)學提供認識工具和探索工具.

哲學與數(shù)學的關系源遠流長，數(shù)學家B.Demollins說過：“沒有數(shù)學，我們就無法看穿哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看穿數(shù)學的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透.”迪卡爾說：“哲學與數(shù)學的統(tǒng)一：美麗的夢.”

二、哲學家與數(shù)學家

縱觀數(shù)學和哲學的發(fā)展歷史可以看到，推動數(shù)學發(fā)展的巨匠往往是哲學家，又有好多哲學家精通數(shù)學.弗雷格說過：“一個好的數(shù)學家，至少是半個哲學家；一個好的哲學家，至少是半個數(shù)學家.”在他們眼里，數(shù)學與哲學是同宗同源的.

西方第一位哲學家古希臘的泰勒斯是希臘幾何學的鼻祖.古希臘的畢達哥拉斯，發(fā)現(xiàn)了勾股定理，得出了“萬物皆數(shù)”的著名哲學命題.柏拉圖對嚴密定義和邏輯證明的堅持，促進了數(shù)學的科學化，他相信數(shù)是一種獨特的客觀存在，由此產(chǎn)生了數(shù)學上的“柏拉圖主義”.亞里士多德，是邏輯學的創(chuàng)始人，為幾何學奠定了鞏固的基礎，他的公理化思想促進了幾何學的誕生和發(fā)展.哲學家赫拉克利特提出的樸素的辯證法思想促進了數(shù)學的發(fā)展.笛卡兒于17世紀上半葉劃時代地在數(shù)學中引進了變量概念和運動的觀點，被譽為是“數(shù)學的轉(zhuǎn)折點”，導致了微積分的誕生，進而推動了自然科學的發(fā)展.萊布尼茨創(chuàng)建了微積分，并發(fā)明了優(yōu)越的微積分符號，他在哲學上是客觀唯心主義者，“單子論”是他的著名哲學觀點.哥白尼的日心說揭開了現(xiàn)代科學的序幕，支撐他信念的是畢達哥拉斯的數(shù)學化哲學：萬物皆數(shù)，天體是永恒神圣的，必然按照最完美和最和諧的圓周做勻速運動.希爾伯特直言不諱，他關于無限的形式主義思想來自康德的哲學觀念.羅素從分析哲學的基本立場出發(fā)，堅持邏輯即數(shù)學的青年時代，數(shù)學即邏輯的壯年時代的觀點.

牛頓和萊布尼茨建立了微積分，找到了描述無限和運動的數(shù)學語言和方式.牛頓的微積分概念本身就是一種哲學觀念，通過從幾何切線、瞬時速度等直觀問題的抽象提煉，牛頓完全從哲學高度把握住了無限小的零和非零的辯證關系.這是一種高屋建瓴的概括，入木三分的洞察.牛頓的思想是思辨哲學的高峰，不僅是在數(shù)學上發(fā)展了一種學說，形成一整套行之有效的算法，如極限、導數(shù)、微分、積分計算等，而且從哲學范疇上講，無限變動問題借助于強有力的分析數(shù)學思想得以在有限的范圍內(nèi)表述.恩格斯把微積分的發(fā)明看成是人類精神的最高勝利，至今還沒有其他一門學科能像數(shù)學那樣精確辯證地處理運動和靜止這對哲學范疇.進入20世紀，圍繞著數(shù)學基礎研究所產(chǎn)生的三大流派更是把兩者的關系推向了巔峰.

在我國歷史上，數(shù)學成果往往帶有一種哲學思辨的色彩，而哲學觀點又借助于數(shù)學語言來表述.如惠施提出的“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”，可以說是中國數(shù)學史上關于“無窮大”和“無窮小”這兩個數(shù)學概念的最早表述，然而這一命題，卻是為論證他“泛愛萬物，天地一體”的哲學觀.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，揭示了一個趨于無限的分數(shù)系列，是中國數(shù)學史上最早的極限概念的萌芽，但這一思想的提出，也是哲學思辨的產(chǎn)物.《周易》的整個體系是“生于數(shù)，積于數(shù)，成于數(shù)，變通于數(shù)”，提出了一種運用數(shù)學手段去范圍天地、曲成萬物的觀點，鼓勵人們?nèi)ジF極數(shù)的變化規(guī)律，這對于以后傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展，也是有推動和促進作用的.《管子》可以稱為古代數(shù)學與哲學相結(jié)合的范例，在他的一整套法家理論中，哲學和計算卻是一個重要的部分和基本的原則.

哲學家芝諾于公元前5世紀提出了幾個著名的悖論，加上無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，使人們對于數(shù)學能否成為一門科學產(chǎn)生了懷疑，這就是第一次數(shù)學危機；由于初期的微積分邏輯上的缺陷，圍繞微積分基礎開始了大論戰(zhàn)，英國的唯心主義者大主教貝克萊的攻擊最為激烈，數(shù)學家、哲學家都紛紛介入，引起了第二次數(shù)學危機；哲學家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論”，震動了整個數(shù)學界，引起了數(shù)學界、哲學界激烈的爭論，為第三次數(shù)學危機.這三次數(shù)學危機，都和哲學家及其哲學思想相聯(lián)系，伴隨著哲學家、數(shù)學家之間激烈的論戰(zhàn)，反映了尖銳的哲學思想斗爭.

三、哲學思想與數(shù)學理論

哲學的觀點決定了數(shù)學的思想，哲學思想指導著數(shù)學理論的發(fā)展.哲學以博大的胸懷容納了數(shù)學的理論，數(shù)學以廣泛而深奧的知識豐富了哲學寶庫.

對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實質(zhì)和核心，是唯物辯證法的最基本的規(guī)律.任何事物自身都包含既相互聯(lián)系又相互排斥的兩個方面，兩者共處于矛盾的統(tǒng)一體中.運用對立統(tǒng)一規(guī)律，人們可以從有限認識無限，從部分認識整體，從近似認識精確.

在微積分中，有些概念既對立又統(tǒng)一，比如常量與變量、有限與無限、微分與積分等，可以說對立統(tǒng)一規(guī)律是貫穿于微積分的一條根本規(guī)律.極限概念是微積分的重要的概念，極限思想蘊含著豐富的辯證思想，是變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確以及否定與肯定的對立統(tǒng)一.如數(shù)列極限limn→∞an=aε>0，N>0，n>Nan-a<ε，其中正數(shù)ε一方面具有絕對的任意性，這樣才能有an無限趨近于a，另一方面，正數(shù)ε又具有相對固定性，從而an-a<ε表明an無限趨近于a的漸近過程的不同階段，ε的絕對任意性是通過無限多個相對固定性的ε表現(xiàn)出來的，ε的這個兩重性質(zhì)既對立又統(tǒng)一，從而使數(shù)列極限的ε-N定義，從近似轉(zhuǎn)化到精確，又能從精確轉(zhuǎn)化到近似，它是極限定義的精髓.極限是數(shù)學中體現(xiàn)哲學觀點和方法的極具代表性的概念，它是人類從有限到無限認識上的一次飛躍，使我們充分認識到有限到無限的過程，近似與精確的關系.

微分和積分是矛盾的兩個方面，是對立的，又是統(tǒng)一的，矛盾的雙方各以對立的一方為自己存在的條件，牛頓—萊布尼茲公式∫baf（x）dx=F（x）ba，F(xiàn)′（x）=f（x），x∈[a，b]，又進一步揭示了積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，由此可見，這個基本公式是微分與積分對立統(tǒng)一關系的數(shù)學表達式，其內(nèi)容是十分深刻的，被稱為微積分的基本公式.

運動與靜止之間的對立統(tǒng)一關系，在微積分中通過連續(xù)與離散間相互轉(zhuǎn)化得到了淋漓盡致的揭示.數(shù)學是一門充滿了對立統(tǒng)一規(guī)律的學科.對立統(tǒng)一規(guī)律是指導我們進行數(shù)學研究和數(shù)學教學的重要思想武器.

在唯物辯證法中，任何事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體.量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關系.量變是質(zhì)變的準備，量的變化達到一定的度，就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化.微積分中從一元函數(shù)到二元函數(shù)，由于自變量的一個增加到二個，這個量變引起了質(zhì)變，首先表現(xiàn)在自變量的變化方式上，由原來的二種到現(xiàn)在的無窮多種更確切的說是不可數(shù)種，使得二元函數(shù)許多性質(zhì)與一元函數(shù)有本質(zhì)的不同.

否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過程是經(jīng)歷兩次否定、三個階段，即由肯定達到對自身的否定，并再由否定進到新的肯定——否定之否定.每一個數(shù)學理論的發(fā)展都符合否定之否定規(guī)律.在理論最初形成時，該理論得到肯定，隨著實踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定，進而數(shù)學家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結(jié)論，達到新的肯定.任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對立統(tǒng)一.任何事物的內(nèi)在矛盾都可以歸結(jié)為肯定和否定兩個方面，唯物辯證法從事物肯定和否定的對立關系中，揭示了事物發(fā)展是辯證否定的過程.微積分中無界、不連續(xù)、不一致連續(xù)等概念的定義都是通過對它的對立面有界、連續(xù)、一致連續(xù)的否定而得到的.

定積分的幾何背景是曲邊梯形的面積，按照化整為零（分割區(qū)間），以直代曲，求近似值，取極限的思想求出面積（積分），這種思想方法應用范圍的推廣便產(chǎn)生了無窮積分、瑕積分、多重積分、曲線積分、曲面積分.計算曲邊梯形的面積，首先將原來曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形中，視曲邊為直邊，以直邊梯形面積之和作為大曲邊梯形面積近似，其次，分割無限加細，取極限，這樣小直邊梯形面積轉(zhuǎn)化為大曲梯形面積，實現(xiàn)了“以曲代直”，這種方法是由曲到直再由直到曲，體現(xiàn)的哲學思想是由變到不變的否定之否定的辯證法思想，這樣“化整為零，積零為整”的方法，是微積分最基本的思想方法之一.

微積分有著豐富、典型、深刻的辯證法思想，因此在微積分教學中，以哲學思想來指導教學和學習，可以使學生站在較高的角度認識數(shù)學、理解數(shù)學，提高學生的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力.

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