高等數學背景下的高考數學試題分析

金玉琳 侯成敏 樸青松

摘 要：關注研究高考數學中的高等數學背景試題，對高三數學復習教學具有重要的意義，因此，探討并提出了一些教學思路與方法，期望為同行提供可行的參考。

關鍵詞：高等數學；基本概念；高考試題

實施高中新課程以來，初中數學與高等數學的聯系越來越緊密，高考試題中經常出現以高等數學知識為背景的命題。這種試題起點高落點低，試題的設計來源于高等數學，但解決的方法是中學所學的初等數學知識，具有很強的研究性和探究性，對學生的創(chuàng)新意識有很好的檢測功能，下面就舉一些具有高等數學背景的高考試題來分析與探討，揭示解題方法，起到拋磚引玉的作用。

一、以群、環(huán)、域的概念為背景的高考試題

群、環(huán)、域是近似代數中的基本知識，近年來的高考數學中以群、環(huán)、域的概念為背景的高考試題已開始出現，其考查內容并不超越高中數學教學大綱，但應用到了高等數學中的群、環(huán)、域概念。如：

例1.（2011年廣東卷8）設S是整數集S的非空子集，如果？坌a，b∈S，則稱S關于數的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V且？坌a，b，c∈T有abc∈T，？坌x，y，z∈V，有xyz∈V則下列結論恒成立的是（ ）

A.T，V中至少有一個關于乘法是封閉

B.T，V中至多有一個關于乘法是封閉

C.T，V中有且只有一個關于乘法是封閉

D.T，V中每一個關于乘法是封閉

“封閉”是大學近似代數中的內容，以此出題，旨在考查考生接受和處理新信息的能力。作為新定義問題，如能準確理解定義，難度并不大，但容易考慮不全。因此在充分理解題目的含義之后，需全面深入地分析，方能準確地得出結果。

二、以凹凸函數概念為背景編制的高考試題

新課程改革下的高中數學教學，強調培養(yǎng)學生自主創(chuàng)新能力和自主探究能力，因而近年來許多高考數學題目強化了對學生學習能力和創(chuàng)新能力的考查。如：

例2.（2012年福建卷10）函數f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a，b]，有f（■）≤■[f（x1）+f（x2）]則稱f（x）在[a，b]上具有性質P。設f（x）在[1，3]上具有性質P，現給出如下命題

①f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；②f（x2）在[1，■]上具有性質P；③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；④對任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]有f（■）≤■[f（x1）+

f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命題的序號是（ ）

A.①② B.①③

C.②④ D.③④

這道題是以高等數學中的《數學分析》中凹、凸函數的定義為背景編制的高考試題。函數凹凸性問題是近幾年高考中的一種新題型。這種題形式新穎、背景公平，能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數學素質，體現“高考命題范圍遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的改革精神。但由于函數曲線的凹凸性在中學教材中既沒有明確的定義，又沒有專門研究，因此，就多數學生而言對這類凹凸性曲線問題往往束手無策；而教師的“二階導數”理解又不能被學生所接受。所以，對這類非常規(guī)性問題作一探索，并引導學生去得到一般性的解法，無疑對學生數學素質的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及在迅速準確解答高考中出現此類的試題都是十分重要的。凹凸函數定義（根據同濟大學數學教研室主編《高等數學》第201頁）：設函數f（x）為定義在區(qū)間I上的函數，若對（a，b）上任意兩點x1，x2，恒有：

f（■）<■，則稱f（x）為（a，b）上的凹函數；反之，則稱f（x）為（a，b）上的凸函數。

三、以高等數學中的基本概念為背景編制的高考試題

高等數學中的許多基本概念與高中數學課程有著緊密的聯系，其中的許多內容是高中數學知識的延續(xù)，因而設置高等數學基本概念為背景的高考數學試題，能夠有效考查學生掌握知識的深度和靈活度，如：

例3.（2013年福建卷10）設S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數滿足；

（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）對任意的x1，x2∈S，當x1

f（x1）

該題涉及的高等數學基本概念是康托爾當年所發(fā)現的“基數”—只要能建立起一一對應的集合，就說這兩個集合的基數相

同。對于一般的，有下面這些結論成立：①[a，b]，（a，b]，（a，b）等實數區(qū)間于R基數相同；②N，Q，Z，N+的基數相同。

但是N與R，（a，b）等的基數就不相同，你可以形象化地理解為一個離散，而一個連續(xù)，對于應付往后的類似高考題已經足夠。

以高等數學知識為背景的試題多次現身于高考之中，這種高等數學與初等數學“上連下靠”型的試題將是考查學生學習潛能的重要陣地。高等數學背景的高考試題對于考生來說是前言的尖端課題，也是高考的新動向。我們不僅要掌握歷年全國各省市高考中的高等數學背景的試題，以把握高考整體規(guī)律，需要從數學本質出發(fā)，研究高等數學背景的試題與解題規(guī)律，預見高考新

動向。

參考文獻：

[1]克萊茵.高觀點下的高等數學[M].舒湘芹，譯.上海：復旦大學出版社，2008-09.

[2]劉轉玲.高考命題中初等數學知識與高等數學思想的融合[J].數學教學研究，2013（9）.

[3]魏瑩.一道高考題引發(fā)的思考：“打包”思想的應用[J].高中數學教育學，2013（19）.

（作者單位 延邊大學理學院）

編輯 楊兆東