實(shí)數(shù)與數(shù)軸

趙密密

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，因此，可以利用數(shù)軸將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，這不僅對(duì)理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算很有幫助，而且對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至研究數(shù)學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.

例1 （2014·寧夏）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，以下說法正確的是（ ）.

A. a+b=0 B. b

C. ab>0 D. b

【解析】根據(jù)圖形可知，a是一個(gè)負(fù)數(shù)，并且它的絕對(duì)值大于1且小于2，b是一個(gè)正數(shù)，并且它的絕對(duì)值大于0且小于1，即可得出b

【答案】D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解答此題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上任意兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)中，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對(duì)值等于本身.

例2 （2014·東昌模擬）如圖2，實(shí)數(shù)-3在數(shù)軸上表示的點(diǎn)大致位置是（ ）.

A. 點(diǎn)A B. 點(diǎn)B

C. 點(diǎn)C D. 點(diǎn)D

【解析】先估算出的取值范圍，再得出-3的取值范圍即可.

【答案】C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

例3 （2013·淮安市）如圖3，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和5.1，則A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有（ ）.

A. 6個(gè) B. 5個(gè)

C. 4個(gè) D. 3個(gè)

【解析】根據(jù)比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)及無理數(shù)的近似值. 找兩個(gè)無理數(shù)或分?jǐn)?shù)（小數(shù)）之間的整數(shù)，關(guān)鍵是知道這個(gè)數(shù)在哪兩個(gè)整數(shù)之間.根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例4 如圖4，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（ ）.

A. -2- B. -1-

C. -2+ D. 1+

【解析】設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，根據(jù)對(duì)稱性可知，AC=AB，即-（-1）=（-1）-x，解得x=-2-.

【答案】A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，同時(shí)也考查利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)及利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

例5 直徑為1個(gè)單位長度的圓上有一點(diǎn)A，與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)一周，點(diǎn)A與數(shù)軸上的點(diǎn)B重合，則B表示的實(shí)數(shù)是（ ）.

A. 2π-1 B. π-1

C. 1-π D. 1-2π

【解析】因?yàn)閳A從A點(diǎn)（與表示1的點(diǎn)重合）沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周，可知AB=π，再根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及π的值即可解答.

∵直徑為1個(gè)單位長度的圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周，

∴AB之間的距離為圓的周長=π，B點(diǎn)在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)的左邊.

∴B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1-π.

【答案】C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)及圓的周長公式. 圓的周長公式是：l=2πr.

例6 （2014·啟東市一模）已知x2=3，那么在數(shù)軸上與實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是（ ）.

A. P1 B. P4

C. P2或P3 D. P1或P4

【解析】本題需先解出x等于多少，然后再根據(jù)在數(shù)軸上的表示方法即可求出答案.

【答案】D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，在解出得數(shù)的同時(shí)要會(huì)在數(shù)軸上表示出來.

例7 （2013·漳州市）如圖5，在正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是______.

【解析】利用正方形的性質(zhì)，根據(jù)“勾股定理”，得到OB=，把OB截取到數(shù)軸上得到答案.

∵四邊形ODBC為正方形，∴CB=OC=1.

∠BCO=90°，根據(jù)“勾股定理”，得到OB=，以O(shè)為圓心，對(duì)角線OB的長為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)就是-.

【答案】-.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無理數(shù)在數(shù)軸上也有相對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）