為學(xué)生自主建構(gòu)知識提供空間

謝曉霞

【摘要】傳統(tǒng)的定理教學(xué)，教師更多是把數(shù)學(xué)定理直接呈現(xiàn)給學(xué)生，重結(jié)論、輕過程，導(dǎo)致學(xué)生沒有經(jīng)歷和體驗知識的研究過程，不利于學(xué)習(xí)能力的自然生成，不能培養(yǎng)“會學(xué)”的能力.如何在定理教學(xué)上為學(xué)生自主建構(gòu)知識提供足夠的空間，讓學(xué)生真正通過自己的思維活動主動地建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，享受發(fā)現(xiàn)的快樂？這使我在進行“余弦定理”的教學(xué)時面臨挑戰(zhàn).

【關(guān)鍵詞】余弦定理；教學(xué)評價

2011年陜西省高考文理科都有一道解答題 “敘述并證明余弦定理”.余弦定理的應(yīng)用對學(xué)生來說并不陌生，但是，如何規(guī)范地敘述并證明余弦定理，難住了一些學(xué)生.為了充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體性，本課的教學(xué)采用探究式的教學(xué)方式，即沿著“創(chuàng)設(shè)情境，提出問題——構(gòu)建模型，解決問題——追蹤成果，提出猜想——驗證猜想，歸納定理——鞏固深化，應(yīng)用知識”的主線，使學(xué)生真正成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”.下面筆者分幾個方面談?wù)劚救藢Α坝嘞叶ɡ怼钡慕虒W(xué)評析.

（1）精心設(shè)置問題情境，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)

教材在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題：如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角？這樣的探究性問題太直白，無法激發(fā)學(xué)生的激情.為此筆者將這個探究性問題賦予生命力，從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了數(shù)學(xué)情境.該情境取材于教材24頁解三角形應(yīng)用舉例的習(xí)題.修改成情境問題為：福廈高鐵路線規(guī)劃要經(jīng)過一座小山丘，就需要挖隧洞.挖隧洞就涉及一個問題，就是要測量出山腳的長度.而兩山腳之間的距離是沒有辦法直接測量的，那要怎樣才能知道山腳的長度呢？工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B，C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC.若測得AB=300 m，AC=400 m，張角A=60°，則BC等于多少？

（2）給足空間，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率

首先，給足學(xué)生思考的時間.現(xiàn)實教學(xué)中許多教師過高地估計學(xué)生，不愿給學(xué)生留有過多的思考時間，當(dāng)學(xué)生回答不出來時，教師也沒有思考如何去啟發(fā)學(xué)生，這種“老師講，學(xué)生聽”的灌輸式教學(xué)，其結(jié)果必然是學(xué)生“只知其一，不知其二”.

新課標(biāo)提出要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)效率，就需要努力培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的能力.預(yù)習(xí)就是培養(yǎng)學(xué)生自覺主動學(xué)習(xí)、提高教學(xué)效果的有效途徑之一，是學(xué)生感知新知識、發(fā)展思維的重要手段，有助于了解下一節(jié)要學(xué)習(xí)的知識點，為上課掃除部分知識障礙，通過補缺，建立新舊知識間聯(lián)系，從而有利于知識系統(tǒng)化，有助于提高課堂學(xué)習(xí)的效果.對于本節(jié)課情境問題的解決，筆者設(shè)計成課前作業(yè)，讓學(xué)生不僅有充足的時間進行獨立思考或合作探究，也有助于合理安排課堂時間.

其次，給足學(xué)生思維的空間.在具體解斜三角形的過程中鼓勵學(xué)生“一題多解”，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強烈欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的運用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和創(chuàng)造性；同時使學(xué)生有一種成就感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯(lián)系，在比較各種證法后體會向量方法的優(yōu)美簡捷、知識交融、方法熟練、能力提升.大部分同學(xué)都是先用正弦定理進行嘗試，在解題過程中發(fā)現(xiàn)無法一步到位解決問題，就放棄應(yīng)用正弦定理，而思考其余解題思路.

思路一（幾何法）

過C點作AB的高CD，則CD=2003，AD=200，BD=AB-AD=100，所以BC=CD2+BD2=（2003）2+1002=130000≈360.6（m）.

第一種解法，是將一般的三角形轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形，是學(xué)生初中時常用的解題思路，學(xué)生大部分采用幾何法，熟門熟路.

思路二（向量法）

如圖，設(shè)CB=a，CA=b，AB=c，b=400，c=300，A=60°.

由三角形法則有a=b+c.

|a|2=a?；a

=b+c?；b+c

=b?；b+c?；c+2b?；c

=b2+c2+2bccos（180°-A）

=160000+90000+2×400×300×（-12）

=130000.

所以BC=130000≈360.6（m）.

第二種解法，是利用向量從形的角度構(gòu)造向量等式，再將向量等式數(shù)量化.向量是必修4剛學(xué)的知識，在應(yīng)用向量解決三角形的實際應(yīng)用中學(xué)生也應(yīng)用自如.

思路三（坐標(biāo)法）

以AB所在直線建x軸，A為原點建立坐標(biāo)系，則A（0，0），B（300，0），C（200，2003）.所以

BC=（300-200）2+（0-2003）2=10013≈360.6（m）.

第三種解法，是在建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系的條件下，利用兩點間的距離公式，從而將問題解決.解析法的解題思路是個別學(xué)生想到了，因為提議一題多解，對于常規(guī)思路避開后，部分學(xué)生積極思考，合作探究出思路.

出乎我意料之外的是有名學(xué)生舉手，他應(yīng)用的是正弦定理，解題過程比較煩瑣. 思路四（正弦定理）

∵BCsinA=ABsinC=ACsinB.

即BCsin60°=300sinC=400sin（120°-C）（大部分學(xué)生不用正弦定理是在解決這步的時候沒有將B角轉(zhuǎn)化為120°-C，而不能繼續(xù)往下解題），

∴30032cosC+12sinC=400sinC.

∴332cosC=52sinC.

∴tanC=335.展開解得sinC=33213 .

所以BC=sin60°×300sinC=10013≈360.6（m）.

教師在此時及時對該生學(xué)生加以表揚，肯定他解決問題的成效，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)的成功和樂趣并產(chǎn)生濃厚的興趣，這是推動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的一種有效的內(nèi)驅(qū)力，是影響學(xué)生學(xué)習(xí)活動效率的一個重要因素.

學(xué)生在原先解決實際問題的基礎(chǔ)上，輕車熟路的將特殊結(jié)論推廣至一般結(jié)論，并證明之.遵循由特殊到一般的規(guī)律進行探究活動是這節(jié)課設(shè)計的主要特點之一，在情境問題解決思路的基礎(chǔ)上類比出一般三角形已知兩邊一夾角的問題，學(xué)生很自然地發(fā)現(xiàn)“余弦定理”，證明“余弦定理”.發(fā)現(xiàn)余弦定理的來龍去脈的親身經(jīng)歷，對于證明的多種思路自然深深地刻在學(xué)生的腦海里，讓學(xué)生知其然更知其所以然，培養(yǎng)了學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，掌握余弦定理的多種證明方法，理解余弦定理與其他知識的密切聯(lián)系，應(yīng)用余弦定理解決其他問題.

再次，給足知識的延伸空間.如過說一節(jié)課是一個人體的話，那么這堂課的知識點就是心臟，而這堂課的練習(xí)則是肝臟.巧妙設(shè)計練習(xí)題，較好地促進數(shù)學(xué)教學(xué)，取得較好的教學(xué)效果.找準(zhǔn)練習(xí)的切入點新授課時，通過設(shè)計一些練習(xí)題來進行新舊知識的聯(lián)系和過渡，會起到承上啟下的過渡作用.筆者在課堂變式題中設(shè)計：“在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求B.”讓學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)余弦定理的推論.而課后練習(xí)中設(shè)計些選作題如：

1.在△ABC中，若三邊a，b，c滿足a2=b2+c2+bc，則A=

________________________________________

.

2.若三角形ABC的三條邊長分別為a=2，b=3，c=4，則2bccosA+2cacosB+2abcosC=

________________________________________

.

3.△ABC中，已知sinA∶ sinB∶ sinC=3∶ 4∶ 5，這個三角形是

________________________________________

（填銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）.

4.銳角△ABC中，b=1，c=2，則a取值為

________________________________________

.

5.已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）.

這些選做題，不僅能滿足不同層次學(xué)生的知識需求，也為下節(jié)課余弦定理的應(yīng)用與拓展提供了足夠的發(fā)展空間.

總之，本課中教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了落實，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒.