問渠哪得清如許 為有源頭活水來

鄧盛

【摘要】在教學(xué)中，教師如何挖掘教材內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力的教學(xué)情境，增加數(shù)學(xué)課堂教學(xué)趣味性，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與課堂教學(xué)教學(xué)呢？本文通過三個課堂教學(xué)案例，分析研究如何增加課堂教學(xué)的趣味性.只要積極思考，勇于探索，相信你也能找出很多有趣的例子.正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，倘若教師從源頭上增加課堂教學(xué)的趣味性，學(xué)生肯定會樂在其中.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；趣味性

以學(xué)生的發(fā)展為中心，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生主動參與、積極探索、敢于創(chuàng)新的精神得到進(jìn)一步的發(fā)展，這是新時代對數(shù)學(xué)教育的要求.在教學(xué)中，教師如何挖掘教材內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力的教學(xué)情境，增加數(shù)學(xué)課堂教學(xué)趣味性，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與課堂教學(xué)教學(xué)呢？下面，結(jié)合具體案例，談?wù)勅绾卧黾訑?shù)學(xué)課堂教學(xué)趣味性.

案例一 本人在講授“直線與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容時，為了增加課堂教學(xué)趣味性，引起學(xué)生積極參與，原創(chuàng)了一道有趣的例題，當(dāng)這道題在教學(xué)平臺屏幕上出現(xiàn)時，同學(xué)們都驚嘆此題新奇有趣，同學(xué)們的參與熱情也空前高漲.具體如下：

例1 在一間屋子里，屋中擺一張圓臺，圓臺上有一盤剩雞肉，主人忘記放到冰箱中就去睡覺了，一只小老鼠發(fā)現(xiàn)后，就想辦法去偷吃，但由于直接爬不上圓臺，它發(fā)現(xiàn)墻邊平放著一條長木棍，木棍與圓臺同樣高度，于是就爬上木棍上，來回跑動尋求合適點想跳到圓臺上.現(xiàn)假設(shè)圓臺規(guī)格為1米大，邊環(huán)是圓（x-1）2+（y-2）2=14，木棍是直線l ：3x+4y+4=0，若小老鼠跳遠(yuǎn)最遠(yuǎn)距離為1.5米，請你猜猜小老鼠能否跳到圓臺上呢？

同學(xué)們一看到這道例題，頗感新鮮，就立即交頭接耳，積極參與，主動思考問題了.以后筆者再通過適當(dāng)?shù)姆治鳇c評，使學(xué)生很容易的就接受了這個知識點.

分析 此題實質(zhì)是判斷圓心到直線的最短距離，若最短距離d減去圓半徑r所得結(jié)果小于小老鼠跳遠(yuǎn)最遠(yuǎn)距離為1.8米，就表明它可以跳到圓臺上.

解答 圓心到直線的最短距離

d=|Aa+Bb+C|A2+B2=|3×1+4×2+4|32+42=3.

圓的半徑r為12，d-r=3-12=1.5.

則直線到圓臺邊環(huán)最短距離為1.5米，而小老鼠跳遠(yuǎn)最遠(yuǎn)距離為1.8米，所以小老鼠能跳到圓臺上.

點評 此題易錯點為求出圓心到直線的最短距離d=3后，即得出d>1.8，推斷小老鼠不能跳到圓臺上，忽略還要減去圓半徑r.

在本人的引導(dǎo)分析講解過程中，學(xué)生們也聽得津津有味.而講完這道例題以后，我還針對上述材料，趁此機(jī)會和同學(xué)們幽默了一下：“你看小老鼠是不是很聰明呢？正是這樣，它們才能在地球上生存成千上萬年.以后你家的剩菜要放好了，不要浪費呀！”同學(xué)們都哈哈大笑，整節(jié)課都滲透著一種暢快和諧的氣息.

案例二 正、余弦定理應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，里面涉及很多應(yīng)用題.學(xué)習(xí)這個內(nèi)容后，筆者在一節(jié)復(fù)習(xí)課中，對正、余弦定理應(yīng)用做了一個系統(tǒng)歸納復(fù)習(xí)，為了增加趣味性，我把這一節(jié)題的“課題”定為“海陸空大追擊——正、余弦定理應(yīng)用”.從“海、陸、空”三個角度舉例，引導(dǎo)學(xué)生思考.同學(xué)們一聽到“海陸空大追擊”這幾個字，就來勁了，馬上集中精力看題目了.具體如下：

一、海上攔截

例2 我軍巡邏艇在雷達(dá)屏幕上發(fā)現(xiàn)在南偏西20°，20千米的海面上有一條敵方船只，它正以20千米/小時的速度向南偏東40°的方向逃走，已知巡邏艇的最大巡航速度為30千米/小時，并假設(shè)敵船在逃走時不改變它的航向，試問經(jīng)過1小時能否追上敵船？

分析 記巡邏艇的初始位置為A，敵船的初始位置為B，兩者航向均不變，追截處記為C，需要時間為t小時.

解答 由圖可知：

在△ABC中，AB=20，AC=30t，BC=20t，

∠ABC=180°-20°-40°=120°，

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2?；AB?；BC?；cos∠ABC，

即（30t）2=202+（20t）2-2×5×20t×cos120°，

即5t2-t-4=0，得正數(shù)根t=1（小時）.

∴大約經(jīng)過1小時能追上敵船.

點評 要解決這樣一個問題，我們首先要把語言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.此題關(guān)鍵是會畫方位角.

二、陸地出擊

例3 如圖，我陸軍炮兵連在A處發(fā)現(xiàn)正北方向上有一敵軍裝甲車在B處以每小時30公里的速度朝它的正東北方向行駛，此時立刻發(fā)射遠(yuǎn)程追擊炮，遠(yuǎn)程追擊炮速度每小時50海里，且經(jīng)過t小時后在C處擊中敵軍裝甲車，求遠(yuǎn)程追擊炮發(fā)射方向與正北方向夾角α的余弦值.

分析 根據(jù)圖像，夾角α的正弦值可用正弦定理求出，進(jìn)而可求出其余弦值.

解答 在△ABC中，∠ABC=135°，AC=50t，BC=30t，

利用正弦定理，得30tsinα=50tsin135°sinα=3210.

又∵α∈0，π2，∴cosα=8210.

點評 形數(shù)結(jié)合是解題常用方法，要懂得從圖形中找出有用數(shù)據(jù).

三、空中摧毀

例4 據(jù)可靠情報資料，敵軍在我境內(nèi)某高山頂處建立一個聯(lián)絡(luò)站，我空軍馬上派一戰(zhàn)斗機(jī)去摧毀它.已知戰(zhàn)機(jī)的飛行線路和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?0°，山頂高度為海拔10003m（如圖），此時飛機(jī)高度為海拔30003 m，飛行速度為1440 km/h，若飛行員10秒后發(fā)射炮彈，問發(fā)射時飛行員與敵聯(lián)絡(luò)部的距離為多遠(yuǎn)？

分析 畫出示意圖，由圖可知，若飛機(jī)飛到E處時發(fā)射，即求從E到C的距離.

解答 由題意得，AH=30003 m，CD=10003 m，HB=20003 m，HC=40003 m，而飛機(jī)的速度為1440 km/h，即400 m/s，10 s后飛行距離為4000 m，可得HE=4000 m.

由余弦定理得： EC2=HE2+HC2-2HE?；HC?；cos30°.=40002+（40003）2-2×4000×40003×32.

解得EC=4000.

答： 發(fā)射時飛行員與敵聯(lián)絡(luò)部的距離為4000 m.

點評 此題關(guān)鍵是弄清俯角的含義，另要注意要化成同一單位制來處理問題.

講解例題后，我還對以上材料做了一個簡短的愛國教育：同學(xué)們，你看我們的軍隊是不是英勇善戰(zhàn)之師呢？愛軍擁軍、熱愛祖國是我們每個人應(yīng)盡的義務(wù)，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)努力學(xué)習(xí)科學(xué)知識，振興祖國.想不到數(shù)學(xué)課堂上也能接受適當(dāng)?shù)膼蹏髁x教育，學(xué)生們都樂翻天了.

案例三 對于“統(tǒng)計”這一章的內(nèi)容，很多學(xué)生都感到陌生，不知如何是好.為了增加學(xué)生對此內(nèi)容的認(rèn)識，我設(shè)計了一個“課題”——如何“貨比貨”？具體如下：

同學(xué)們，有這樣一句諺語：“不怕不識貨，最怕貨比貨.”我們很多同學(xué)都喜歡“網(wǎng)購”，（同學(xué)們一聽“網(wǎng)購”兩字，覺得與自己生活息息相關(guān)，也就有興趣了）在選擇商品貨物時，常常用“貨比三家”來挑揀出較好的物品.很多貨物通過對比觀測就可知其好壞或優(yōu)劣，但有時有些事物僅憑表面現(xiàn)象不能比較其優(yōu)劣，還要深入研究分析才可以判斷出優(yōu)劣.如何進(jìn)行分析比較？如何作出科學(xué)的“貨比貨”呢？下面就通過兩個事例來分析：

例5 某養(yǎng)殖場為了了解其所養(yǎng)的長白型豬和大白型豬兩種母豬（以下分別簡稱長白、大白）的產(chǎn)仔數(shù)的情況，分別隨機(jī)抽測10頭經(jīng)產(chǎn)母豬的產(chǎn)仔數(shù)，資料如下：

長白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13

大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7

根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，比較哪個品種母豬產(chǎn)仔平均數(shù)較高？

分析 通過所給樣本數(shù)據(jù)，直接計算樣本平均數(shù)，由樣本估計總體.

解答 長白的樣本平均數(shù)為：x-1=（11+11+9+…+10+13）÷10=11.

大白的樣本平均數(shù)為：x-2=（8+11+12+…+10+7）÷10=9.2.

通過計算兩個樣本的平均數(shù)，可知長白型母豬產(chǎn)仔數(shù)稍高.

點評 用樣本平均數(shù)估計總體，有時會有偏差的.造成偏差原因之一是試驗誤差（或抽樣誤差）所引起的，為減少誤差，可適當(dāng)增加樣本容量.

例6 （2007寧夏、海南文科卷12題改編）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚?/p>

甲的成績

環(huán)數(shù) 7 8 9 10

頻數(shù) 5 5 5 5

乙的成績

環(huán)數(shù) 7 8 9 10

頻數(shù) 6 4 4 6

丙的成績

環(huán)數(shù) 7 8 9 10

頻數(shù) 4 6 6 4

從這次測試成績來看，哪個選手發(fā)揮較穩(wěn)定呢？（注：高考試卷開頭已給標(biāo)準(zhǔn)差公式）

分析 要比較三名運動員射箭發(fā)揮的穩(wěn)定性，應(yīng)先比較平均數(shù)，若平均數(shù)一樣，再比較標(biāo)準(zhǔn)差或方差，表中的頻數(shù)是指出現(xiàn)的次數(shù).

解答 ∵x-甲=（7+8+9+10）×520=8.5，

x-乙=（7+10）×6+（8+9）×420=8.5，

x-丙=（7+10）×4+（8+9）×620=8.5，

此時三名運動員的射箭平均環(huán)數(shù)一樣，則要通過計算方差來比較了，計算如下：

s21=5×[（7-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+（10-8.5）2]20

=1.25，

s22=6×[（7-8.5）2+（10-8.5）2]+4×[（8-8.5）2+（9-8.5）2]20

=1.45，

s23=4×[（7-8.5）2+（10-8.5）2]+6×[（8-8.5）2+（9-8.5）2]20

=1.05，

由s22>s21>s23得s2>s1>s3.

由上式可知，丙的方差最小，也就是說運動員丙射箭成績最穩(wěn)定.

點評 當(dāng)樣本平均數(shù)相同或較接近時，可以用樣本的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來比較，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則說明越穩(wěn)定.

最后，我用了這樣一些結(jié)束語來激勵大家：同學(xué)們，根據(jù)以上例子，你學(xué)會分析事物的本質(zhì)了嗎？努力學(xué)習(xí)吧，你會成為一個優(yōu)秀的分析師的，退一步來說，當(dāng)不了分析師，也略懂養(yǎng)豬方面是長白型母豬較好一點，說不定以后養(yǎng)殖致富，會成為一個土豪呀.同學(xué)們哈哈大笑，課堂氣氛也頓時活躍起來了.

以上三個案例是筆者在平常的教學(xué)中，根據(jù)教材內(nèi)容，深挖教材內(nèi)涵，增加數(shù)學(xué)趣味性的例子.同一個教學(xué)內(nèi)容，只不過換一個方式呈現(xiàn)出來，或通過三言兩語的調(diào)侃，就可以增加數(shù)學(xué)課堂的趣味性.只要積極思考，勇于探索，相信你也能找出很多有趣的例子.正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，倘若教師從源頭上增加課堂教學(xué)的趣味性，學(xué)生肯定會樂在其中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會大大地增加.學(xué)習(xí)興趣增加了，數(shù)學(xué)成績自然會提高的.