讓學(xué)生的思想在“數(shù)”與“形”的世界里自由穿梭

曾勤

【摘要】 數(shù)形結(jié)合不僅是解題的工具，更應(yīng)上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí)和科學(xué)意識(shí).深層探索數(shù)學(xué)新課教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，把數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想的有機(jī)整體進(jìn)行闡釋.“形”中覓“數(shù)”，在變化中實(shí)現(xiàn)概念的發(fā)展；“數(shù)”中思“形”，在探究中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的發(fā)展；數(shù)形結(jié)合，在拓展中實(shí)現(xiàn)方法的發(fā)展；提煉升華，在反思中實(shí)現(xiàn)思想的發(fā)展.課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想使用的有序性、層次性和過(guò)程性，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想幫助下正確理解函數(shù)極值的概念，學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)極值的方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)

眾所周知，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.而數(shù)與形是同一事物的兩個(gè)屬性，數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微，由數(shù)思形，由形想數(shù)，相互推進(jìn)，層層深入，易于揭露本質(zhì)與規(guī)律.數(shù)形結(jié)合的思想便是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想之一.數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)價(jià)值和解題功用也早已得到廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的認(rèn)可，其理論研究和實(shí)踐探索也日趨深入.而筆者在教學(xué)實(shí)際中常常遇到這樣的現(xiàn)狀：一些能用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目，在學(xué)生自己做題時(shí)卻想不到用“數(shù)形結(jié)合”的方法，等老師提示后才恍然大悟，但下次再碰到其他類(lèi)似情景卻還是不能主動(dòng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.究其原因是在平時(shí)的課堂中教師更多的只是把它視為解題的手段，只在使用時(shí)一帶而過(guò)，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)過(guò)程不深入，課堂教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想使用不完善，未能更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)意識(shí).

作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合不僅是解題的工具，可以上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí)，甚至是一種科學(xué)意識(shí).如何使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握和運(yùn)用這種思想？這就需要教師在新課的教學(xué)中有意識(shí)、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，把融合在知識(shí)、技能之中的數(shù)形結(jié)合思想方法提煉出來(lái)，再通過(guò)訓(xùn)練逐步滲透，在“滲透—積累—重復(fù)—內(nèi)化”的過(guò)程中轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)思想素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.筆者在區(qū)級(jí)公開(kāi)課中開(kāi)設(shè)了本節(jié)內(nèi)容的新課教學(xué)，得到了專(zhuān)家的指導(dǎo)，在教學(xué)實(shí)踐后對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了一些膚淺的看法，現(xiàn)形成以下觀點(diǎn)就教于方家.

1.“形”中覓“數(shù)”，在變化中實(shí)現(xiàn)概念的發(fā)展

人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)·選修2-2》第1.3.2節(jié)“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”給出了如下三個(gè)函數(shù)圖像：

觀察1：圖1.3.8 表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖像.

圖138

觀察2和觀察3：圖1.39和圖1.310，函數(shù)y=f（x）在a，b，c，d，e，f，g，h等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？函數(shù)y=f（x）在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？

圖139 圖1310

如何運(yùn)用教材中的上述情境才能達(dá)到較好的教學(xué)效果呢？下面請(qǐng)看課堂實(shí)錄片段.

教師：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性有什么關(guān)系？

學(xué)生1：函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)大于零；函數(shù)單調(diào)遞減，導(dǎo)數(shù)小于零.

教師：大家觀察圖1.3.8，回答這樣一些問(wèn)題.

（教師展示問(wèn)題）（1）在點(diǎn)t=a附近的圖像有什么特點(diǎn)？（2）點(diǎn)t=a附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有什么變化規(guī)律？（3）當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h（t）在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少呢？

學(xué)生2：在t=a左邊的圖像單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)大于零，右邊的圖像單調(diào)遞減，導(dǎo)數(shù)小于零，在t=a處導(dǎo)數(shù)等于零.

教師：你是如何判斷在t=a處導(dǎo)數(shù)等于零呢？

學(xué)生2回答預(yù)習(xí)過(guò).其他有同學(xué)補(bǔ)充導(dǎo)數(shù)有大于零的有小于零的，中間肯定是等于零.

教師：很好.那對(duì)其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢？那我們?cè)賮?lái)觀察分析函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在x=0，x=2附近的函數(shù)值分別與f（0），f（2）的關(guān)系.在這兩個(gè)點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有什么規(guī)律？

學(xué)生3：f（0）比周?chē)暮瘮?shù)值大，f（2）比周?chē)暮瘮?shù)值小.當(dāng)x<0時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零，x>0時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零，x<2時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零，x>2時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零，在x=0和x=2時(shí)導(dǎo)數(shù)等于零.

教師：很好.（同時(shí)利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示圖形，并用具體的數(shù)字對(duì)學(xué)生回答證明）

教師：大家再觀察1.3.9圖所表示的y=f（x）的圖像，想一想函數(shù)y=f（x）在a，b點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù) 值有什么關(guān)系？函數(shù)y=f（x）在a，b點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在a，b點(diǎn)附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分別是什么，并且有什么關(guān)系呢？

學(xué)生歸納：函數(shù)f（t）在a點(diǎn)處h′（a）=0，在t=a附近，當(dāng)t0；當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，f′（x）<0，即當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過(guò)a時(shí)，f′（x）先正后負(fù)，且f′（x）連續(xù)變化，于是f′（x）=0.

教師：那對(duì)于有這樣性質(zhì)的點(diǎn)我們給它們一個(gè)總的名稱(chēng)吧——引出概念.（學(xué)生一起學(xué)習(xí)概念）

教師：那大家再思考一下函數(shù)的極值點(diǎn)唯一嗎？極大值一定大于極小值嗎？

教師展示圖1.3.10，通過(guò)圖像學(xué)生能得到統(tǒng)一的答案.

分析：數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念都有其原始的直觀的模型，都有其來(lái)龍去脈，教科書(shū)給出了大量的函數(shù)圖像，讓學(xué)生觀察圖像，直觀感受函數(shù)在某些點(diǎn)（極值點(diǎn)）的函數(shù)值與附近點(diǎn)函數(shù)值大小之間的關(guān)系，并直觀感受函數(shù)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值以及在這些點(diǎn)附近函數(shù)的增減情況.從圖像上看非常直觀，學(xué)生有“眼見(jiàn)為實(shí)”的感受，為學(xué)生自我探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系搭好了橋梁.同時(shí)以圖1.3.10為例進(jìn)行了具體說(shuō)明.在此基礎(chǔ)上，給出了函數(shù)的極大值和極小值概念，學(xué)生對(duì)函數(shù)極值的概念能有清晰圖像的記憶和理解.

2.“數(shù)”中思“形”，在探究中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的發(fā)展

作為導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用的第二節(jié)課，本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)放在求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值.那么如何自然地建構(gòu)出其解決的步驟呢？下面請(qǐng)看教學(xué)片段.

教師：那我們現(xiàn)在一起總結(jié)函數(shù)極值的特點(diǎn).

（教師再次通過(guò)圖形和表格圖像對(duì)函數(shù)極值的特點(diǎn)進(jìn)行了回顧，表格圖像得到了學(xué)生的認(rèn)同，也為后面求三次函數(shù)極值打下了伏筆，引導(dǎo)學(xué)生可以用表格圖像來(lái)確定函數(shù)的極大值和極小值）

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和（2，0），如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（）.

A.當(dāng)x=1時(shí)取得極大值B.當(dāng)x=2時(shí)取得極小值

C.當(dāng)x=1.5時(shí)取得極大值D.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

解析 略.

提煉：通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的圖像求極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)極值的定義先看導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，再由此點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

例1 求函數(shù)f（x）= 1[]3 x3-4x+4的極值.

解析 略.

師生一起完成例1的解答，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)作出表格更清楚地判斷極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)的便利.同時(shí)學(xué)生根據(jù)計(jì)算作出三次函數(shù)的草圖.

分析：例題教學(xué)除了有強(qiáng)化概念理解、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能外，更為重要的是能從中提煉出解決問(wèn)題的一般方法.為了突破求函數(shù)極值的難點(diǎn)，在例1學(xué)習(xí)前先表格圖像再次總結(jié)了函數(shù)極值的概念，表格直觀清楚，容易看出具體的變化情況，并且判斷極大值還是極小值，合理過(guò)渡，同時(shí)又設(shè)置了一個(gè)用導(dǎo)數(shù)圖像求函數(shù)的極值的練習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)使得學(xué)生的思維實(shí)際化、具體化，有意識(shí)地運(yùn)用和揭示了數(shù)形結(jié)合的思想，化解了難點(diǎn)，幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題.

3.數(shù)形結(jié)合，在拓展中實(shí)現(xiàn)方法的發(fā)展

知識(shí)的應(yīng)用和適度引申更是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，能更好地幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵及外延.本節(jié)課設(shè)置了例2來(lái)強(qiáng)化概念的理解，在數(shù)形結(jié)合思想的使用中更深地感受到其方法之巧妙，問(wèn)題的某些數(shù)量特征往往能給人們有關(guān)構(gòu)建圖形的提示，反過(guò)來(lái)，利用圖形的結(jié)構(gòu)特征又能夠幫助人們找到解決問(wèn)題的思路.

例2 若關(guān)于x的方程x3+4x2+5x+2=k有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

學(xué)生思考了2分鐘后，基本上都比較迷茫，不知解決出路在哪里.

教師：大家覺(jué)得有點(diǎn)無(wú)從下手是嗎？

眾生：是.

教師：那以往我們都是用什么辦法來(lái)解決根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的？

學(xué)生：用判別式，但是這里是三次函數(shù)沒(méi)有判別式.

教師：哦.那我們只能把判別式的方法先暫時(shí)擱置一旁.對(duì)于三次函數(shù)我們能做什么呢？

學(xué)生：剛剛學(xué)會(huì)求三次函數(shù)極值和作出草圖.

教師：那草圖能幫我們解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

學(xué)生：求函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

教師：很好.

分析：用函數(shù)的圖像討論方程的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答.加深數(shù)形結(jié)合的思想的理解和運(yùn)用.而對(duì)于不熟悉的函數(shù)的圖形可以通過(guò)求函數(shù)的極值勾勒函數(shù)圖像，以數(shù)解形，感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.教學(xué)中緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識(shí)聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的思維能力.只有這樣，數(shù)形結(jié)合才能不斷深化提高.

4.提煉升華，在反思中實(shí)現(xiàn)思想的發(fā)展

在課堂小結(jié)中，學(xué)生一起提煉本節(jié)課的主要思想，不足之處教師補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)思想的突破與發(fā)展.

教師：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容及研究思想，我們首先通過(guò)觀察大量的圖像發(fā)現(xiàn)了一些點(diǎn)有著共同的特殊性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了概念的生成；同時(shí)求函數(shù)極值可以畫(huà)函數(shù)的大致圖形來(lái)研究函數(shù)的更多性質(zhì)，這些都是數(shù)形結(jié)合的思想.最后一道含參數(shù)問(wèn)題，本來(lái)很棘手的問(wèn)題在用了數(shù)形結(jié)合的方法后迎刃而解.以后同學(xué)們見(jiàn)到數(shù)量就要考慮它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就要考慮它的代數(shù)關(guān)系，找出問(wèn)題的關(guān)鍵.在思考和解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)和形兩個(gè)方面往往不能截然分開(kāi).尤其是一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，需要兩個(gè)方面的互相轉(zhuǎn)化，相互利用.

分析：加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可以讓學(xué)生從簡(jiǎn)單盲目的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到有意義的學(xué)習(xí)狀態(tài)，縮短學(xué)生在學(xué)習(xí)中盲目探索的過(guò)程.數(shù)形結(jié)合則是具體與抽象、感知與思維的結(jié)合，是發(fā)展形象思維與抽象思維并使之相互轉(zhuǎn)化的有力“杠桿” 教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中盡量發(fā)掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”，探索分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，變學(xué)生學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育.

5.數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思維的思考

數(shù)形結(jié)合的思想堪稱(chēng)數(shù)學(xué)界的經(jīng)典思維，但是僅憑復(fù)習(xí)時(shí)數(shù)形結(jié)合方法的專(zhuān)題學(xué)習(xí)還太片面，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).思維始于問(wèn)題，設(shè)計(jì)適宜的問(wèn)題、好的問(wèn)題、能引起學(xué)生積極思維的問(wèn)題，是有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的 前提.如在新課的知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的呈現(xiàn)中，教師的一些啟發(fā)性思考問(wèn)題是適宜的，如“大家觀察圖1.3.8，選擇什么工具可以量化圖形的變化？”“能否通過(guò)圖像在點(diǎn)A附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化來(lái)探究點(diǎn)A處導(dǎo)數(shù)值？”“這是偶然還是可以推廣的結(jié)論？”等等.問(wèn)題的設(shè)置一定是符合學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，有一定的引導(dǎo)性和思維量，同時(shí)也有適當(dāng)?shù)膯l(fā)性，啟發(fā)性可以“由遠(yuǎn)及近”“由弱及強(qiáng)”逐步給出.

課堂教學(xué)注重學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”思維培養(yǎng)當(dāng)然要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，關(guān)注學(xué)生對(duì)問(wèn)題是怎么樣思考的，設(shè)身處地地了解學(xué)生的思維障礙在哪里.首先要給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，不但讓他們表達(dá)自己的思維結(jié)果，還要表達(dá)思維過(guò)程，可以用書(shū)面表達(dá)，也可以直接口頭表達(dá).其次，教師對(duì)學(xué)生的表達(dá)可進(jìn)行追問(wèn)，以進(jìn)一步挖掘?qū)W生的思維過(guò)程，或者將問(wèn)題通過(guò)圖形呈現(xiàn)讓學(xué)生來(lái)量化，或?qū)?wèn)題以代數(shù)呈現(xiàn)讓學(xué)生通過(guò)圖像來(lái)形象化，變換的形式來(lái)深入學(xué)生的思維活動(dòng)，推向高潮，從而更好地提高思維層次，發(fā)展思維，讓“數(shù)形結(jié)合”的思想在學(xué)生的頭腦中逐漸生根發(fā)芽，自由地將此思想運(yùn)用到平時(shí)的學(xué)習(xí)或生活中.

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