基于Excel的層次分析法模型設(shè)計(jì)

基于Excel的層次分析法模型設(shè)計(jì)

潘麗娟

（東北財(cái)經(jīng)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116023）

[摘 要] 層次分析法是美國(guó)學(xué)者T.L.Satty于20世紀(jì)70年代提出了以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析解決問(wèn)題的方法，簡(jiǎn)稱AHP。用手工計(jì)算的層次分析法算法具有構(gòu)造判斷矩陣繁雜、計(jì)算繁多重復(fù)且容易出錯(cuò)、一致性調(diào)整比較麻煩等缺點(diǎn)。本文利用微軟Excel電子表格強(qiáng)大的函數(shù)運(yùn)算功能，建立了簡(jiǎn)明易懂的層次分析法模型，使判斷矩陣的構(gòu)造、層次單排序和層次總排序的計(jì)算以及一致性檢驗(yàn)和檢驗(yàn)之后對(duì)判斷矩陣的調(diào)整變得十分簡(jiǎn)單。

[關(guān)鍵詞] Excel；層次分析法；模型

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 17. 071

[中圖分類號(hào)] TP391 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1673 - 0194（2014）17- 0115- 03

1 層次分析法的基本原理

層次分析法是美國(guó)的運(yùn)籌學(xué)家匹茲堡大學(xué)教授T.L.Satty（薩蒂）于20世紀(jì)70年代初為美國(guó)國(guó)防部研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門對(duì)國(guó)家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評(píng)價(jià)法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）。 該方法于1982年引入中國(guó)。

層次分析法是指將一個(gè)復(fù)雜的多目標(biāo)決策問(wèn)題作為一個(gè)系統(tǒng)，將目標(biāo)分解為多個(gè)目標(biāo)或準(zhǔn)則，進(jìn)而分解為多指標(biāo)或多準(zhǔn)則的若干層次，通過(guò)定性指標(biāo)模糊量化方法算出層次單排序和總排序，是多指標(biāo)、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。它主要是將人們的思維過(guò)程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供較具說(shuō)服力的定量依據(jù)。層次分析法不僅可用于確定評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，而且還可用于直接評(píng)價(jià)決策問(wèn)題，對(duì)研究對(duì)象排序，實(shí)施評(píng)價(jià)排序的評(píng)價(jià)內(nèi)容。其優(yōu)點(diǎn)是既采用具有適應(yīng)環(huán)境靈活性的“相對(duì)標(biāo)度”，同時(shí)又充分利用了專家的經(jīng)驗(yàn)和判斷，并能對(duì)誤差作出估計(jì)，能較好地解決公共決策系統(tǒng)中的問(wèn)題。其缺點(diǎn)就是對(duì)目標(biāo)準(zhǔn)則難以保證互斥性和完備性。

用AHP分析問(wèn)題大體要經(jīng)過(guò)以下5個(gè)步驟：

1.1 明確問(wèn)題

在分析社會(huì)、經(jīng)濟(jì)以及科學(xué)管理等領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)問(wèn)題有明確的認(rèn)識(shí)，弄清問(wèn)題的范圍，了解問(wèn)題所包含的因素，確定出因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和隸屬關(guān)系。

1.2 建立層次結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)對(duì)問(wèn)題的分析和了解，將問(wèn)題所包含的因素，按照是否共有某些特征進(jìn)行歸納成組，并將其共同特性看成是系統(tǒng)中新的層次中的一些因素，而這些因素本身也按照另外的特征再進(jìn)行分組，并將其共同特性看成是更高層次的因素，直到最終成為單一的最高層次因素。

同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι弦粚右蛩赜杏绊懀瑫r(shí)又支配下一層因素或受到下層因素的影響，而層內(nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。

最上層為目標(biāo)層（一般只有一個(gè)因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層 。即目標(biāo)層O—準(zhǔn)則層C—方案層P。

當(dāng)準(zhǔn)則層因素過(guò)多（例如多于9個(gè)） 時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步分出子準(zhǔn)則層。

注意：建立一個(gè)好的層次結(jié)構(gòu)對(duì)于解決問(wèn)題極為重要。層次結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

1.3 構(gòu)造判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)

（1）構(gòu)造判斷矩陣。

設(shè)某層有n個(gè)元素：X={x1，x2，x3，…，xn}，要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重（即把n個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1～9尺度（見(jiàn)表1）。

用aij表示第i個(gè)因素相對(duì)于第j個(gè)因素的比較結(jié)果，則

A=（aij）n×n=a11 a12 … a1na21 a22 … a2n an1 an2 … ann

A則稱為成對(duì)比較矩陣。

如果數(shù)值為2，4，6，8，表示第i個(gè)因素相對(duì)于第j個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。

倒數(shù)：若j因素和i因素比較，得到的判斷值為aji = ■。

（2）用和積法或方根法等求得特征向量 W（向量 W 的分量 Wi 即為層次單排序）并計(jì)算最大特征根λmax。

（3）計(jì)算一致性指標(biāo) CI、RI、CR 并判斷是否具有滿意的一致性。

其中CI=■

平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值見(jiàn)表2。

CR=CI/RI，一般當(dāng)一致性比率CR<0.1時(shí)，認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì)A加以調(diào)整。

（4）一致性檢驗(yàn)：

①對(duì)每個(gè)成對(duì)比較陣，計(jì)算其最大特征根λmax和特征向量（和法、根法、冪法等）■=W1Wn。

②利用一致性指標(biāo)CI（Consistency Index）、隨機(jī)一致性指標(biāo)RI和一致性比率CR=■做一致性檢驗(yàn)。

③若通過(guò)檢驗(yàn)，即CR<0.1，則將上層計(jì)算出的特征向量■=W1Wn歸一化后作為Bj到Aj的權(quán)向量，即單排序權(quán)向量。

④若CR<0.1不成立，則需重新調(diào)整成對(duì)比較陣，直至符合一致性檢驗(yàn)。

1.4 層次單排序及一致性檢驗(yàn)

計(jì)算出本層次所有各因素相對(duì)于上一層次中某一因素的相對(duì)重要性，這種排序計(jì)算稱為層次單排序。其本質(zhì)就是計(jì)算判斷矩陣的最大特征向量，最常用的方法是和法和方根法。

1.5 層次總排序（見(jiàn)表3）

上面我們得到的是一組元素對(duì)其上層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重——層次總排序，從而進(jìn)行方案選擇。

總排序權(quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。具體方法如下：

設(shè)上一層（A層）包含A1，A2，…，Am共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為a1，a2，…，am。又設(shè)其后的下一層（B層）包含n個(gè)元素B1，B2，…，Bn，其關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)重分別為b1j，b2j，…，bnj（當(dāng)Bi與Aj無(wú)關(guān)聯(lián)時(shí)，bij=0）?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求B層各因素的層次總排序的權(quán)重b1，b2，…，bn，計(jì)算按表3所示方式進(jìn)行，即bi=■bijaj，i=1，…，n。

對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)仍像層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層均已通過(guò)層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性，但當(dāng)綜合考查時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來(lái)，引起最終分析結(jié)果較為嚴(yán)重的非一致性。具體方法如下：

設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI（j），（j=1，2，…，n）相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI（j）（CI（j），RI（j）已在層次單排序時(shí)求得），則B層總排序一致性比率為

CR=■

當(dāng)CR<0.1時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。

2 層次分析法 Excel 模型設(shè)計(jì)過(guò)程

案例：某人欲到蘇州、杭州、桂林三地旅游，選擇要考慮的因素包括4個(gè)方面：景色、費(fèi)用、居住和飲食，用層次分析法選一個(gè)適合自己情況的旅游點(diǎn)。

2.1 建立層次結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)題意可以建立層次結(jié)構(gòu)模型（如圖1所示）。

2.2 Excel實(shí)現(xiàn)過(guò)程

（1）將準(zhǔn)則層的各因素對(duì)目標(biāo)層的影響兩兩比較結(jié)果輸入Excel表格中，進(jìn)行單排序及一致性檢驗(yàn)，如圖2所示。

（3）層次總排序，由于蘇州數(shù)值最高，故選擇的旅游地為蘇州，如圖4所示。

其中，C44=K14，G44=■C■43*C44，H48={SUM（■C■43：■F■43*C48：F48）}，注意：這是一個(gè)數(shù)組函數(shù)需按Ctrl+Shift+Enter三鍵確定。

3 基于Excel的層次分析法模型設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)

（1）用 Excel 進(jìn)行層次分析，它以廣泛使用的辦公軟件 Excel 作為運(yùn)算平臺(tái)，無(wú)需掌握編程方法和代碼，具有很好的推廣應(yīng)用價(jià)值。

（2）用 Excel 進(jìn)行層次分析，其計(jì)算步驟設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，步驟設(shè)計(jì)完畢后，可以按需要填充或變更，其余數(shù)據(jù)和結(jié)果均可以在填充或變更判斷矩陣之后立即得出，使得整個(gè)運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)捷、輕松。另外，相似的矩陣區(qū)和計(jì)算區(qū)可以通過(guò)復(fù)制完成，只需改動(dòng)少量單元格即可。

（3）用 Excel 進(jìn)行層次分析，將一致性檢驗(yàn)也同時(shí)計(jì)算出來(lái)，決策者和判斷者可以即時(shí)知道自己的判斷是否具有滿意的一致性，可以隨時(shí)簡(jiǎn)單地進(jìn)行調(diào)整直到符合一致性要求。

（4）如果一致性指標(biāo)不能令人滿意，用本方法可以比較容易地實(shí)現(xiàn)對(duì)判斷矩陣的調(diào)整，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)判斷的“微調(diào)”，而不必進(jìn)行繁復(fù)的運(yùn)算。