數(shù)形相結(jié)合的思想方法在函數(shù)解題中的應(yīng)用

劉海燕

數(shù)形相結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形得數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到簡便、快速解題的目的。

函數(shù)是描述事物發(fā)展變化規(guī)律的一種表達形式，它比較抽象，學(xué)生比較難理解和掌握它的特性?？v觀多年來的中考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果。教學(xué)多年，在函數(shù)這一塊，我始終貫穿數(shù)形相結(jié)合的思想方法來教學(xué)，取得很好的教學(xué)效果。

數(shù)形結(jié)合思想簡而言之就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和數(shù)學(xué)中“形”結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想，通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題中，主要有三種類型：以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結(jié)合。

一、以“數(shù)”化“形”

學(xué)生在初中階段剛開始接觸函數(shù)，對函數(shù)的特點和性質(zhì)難以把握，而“形”具有直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的內(nèi)容。在中學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中，借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，起著由抽象到直觀的定性作用。譬如，學(xué)生剛開始接觸一次函數(shù)時，由于是第一次接觸函數(shù)，不知道一次函數(shù)的內(nèi)涵是什么？不知道一次函數(shù)有些什么性質(zhì)特點？利用一次函數(shù)中的“數(shù)”得到一次函數(shù)中的“形”，即一條直線，通過這條直線去探究一次函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生對一次函數(shù)的性質(zhì)特點由抽象到具體、直觀，從而輕松掌握一次函數(shù)的性質(zhì)特點。

應(yīng)用舉例：

例1：已知二次函數(shù)y=-x2-4 x+2，當x的取值范圍為-5≤x≤0時，函數(shù)y的最大值為_______。

[解析]：此題學(xué)生若不畫出圖形，易將x=-5或x=0代入求解，從而產(chǎn)生錯解。

正確的解法為：根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，由圖象得知，函數(shù)y的最大值為頂點處的取值，即

二、以“形”變“數(shù)”

雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復(fù)雜 的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進行分析計算。

解題的基本思路： 明確題中所給條件和所求的目標，分析已給出的條件和所求目標的特點和性質(zhì)，理解條件或目標在圖形中的重要幾何意義，用已學(xué)過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數(shù)式表達出來，再根據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系，利用相應(yīng)的公式或定理等。

應(yīng)用舉例：

方法二：結(jié)合圖象，有更為簡便的方法，方程ax-1=2，即為函數(shù)y=ax-1的圖象中y=2時對應(yīng)x的值，由圖象得知，x=1。因此，利用數(shù)形相結(jié)合的方法解題有時會更直觀，更簡便。

三、“形”“數(shù)”互變

“形”“數(shù)”互變是指在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡單的以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”而是需要“形”“數(shù)”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴密還要由“數(shù)”的嚴密聯(lián)系到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時出發(fā)，認真分析找出內(nèi)在的“形”“數(shù)”互變。一般方法是看“形”思“數(shù)”、見“數(shù)”想“形”。實質(zhì)就是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”的結(jié)合。

應(yīng)用舉例：

函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。

解決問題的基本思路： 明確題中所給的條件，畫出基本準確的圖形，根據(jù)作出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求證）的目標去解決問題。

運用數(shù)形相結(jié)合思想，不僅直觀，而且易發(fā)現(xiàn)解題途徑，有時能避免復(fù)雜的推理計算，大大簡化了解題過程。這在函數(shù)解題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)學(xué)生這種數(shù)形結(jié)合思想意識，要爭取腦中有形，見數(shù)想形，以開拓自己的思維視野。

（作者單位：廣西貴港市港南區(qū)第一初級中學(xué)537100）