運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 提高學(xué)習(xí)效率

盧林山

【摘要】 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們能體會(huì)到許許多多的數(shù)學(xué)思想方法，它們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著“指路燈”的重要作用. 把它們從數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象、概括出來，加深對這些數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和理解，有助于學(xué)生快速而準(zhǔn)確地解答數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率的目的.

【關(guān)鍵詞】 轉(zhuǎn)化；整體；分類討論；數(shù)形結(jié)合；提高

轉(zhuǎn)化思想、整體思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，是初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的四種基本思想.

一、轉(zhuǎn)化思想

在初中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，這一思想是上述四種思想中應(yīng)用最多且伴隨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的重要思想. 轉(zhuǎn)化思想就是要化復(fù)雜為簡單，化未知為已知. 我們知道，一元一次方程的最簡形式是ax = b，因此解一元一次方程時(shí)，就要把所給的方程逐步地轉(zhuǎn)化為這種最簡的形式，其一般過程是去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，經(jīng)過這四步以后，所給的方程就可轉(zhuǎn)化成一元一次方程的最簡形式，即ax = b的形式，此時(shí)只要再把系數(shù)化成“1”，便可得到方程的解. 同樣的道理，解二元一次方程組時(shí)，要先把不會(huì)解的二元一次方程組轉(zhuǎn)化成會(huì)解的一元一次方程. 為實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，可運(yùn)用代入消元法或加減消元法消去一元，得到一個(gè)會(huì)解的一元一次方程，解這個(gè)一元一次方程，即可求得一個(gè)未知數(shù)的值，把這個(gè)值代入二元一次方程組中的任意一個(gè)方程，便能求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而實(shí)現(xiàn)了解二元一次方程組的目的.

二、整體思想

在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)問題中會(huì)有多個(gè)未知數(shù)，在一定條件下，我們可以不求每個(gè)未知數(shù)的值，而只求出含有這些未知數(shù)的整體的值，或依據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)整體，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.這種有意識(shí)地放大觀察問題的視角，將要解決的問題看做一個(gè)整體，注重從全局著眼，全面地、整體地觀察、分析和思考問題的思想，就是整體思想.

1. 整體思想在計(jì)算中的應(yīng)用

計(jì)算7300 - 619 - 1381時(shí)，可把減數(shù)619和1381構(gòu)造成一個(gè)整體，容易看出它們的和是2000，從7300中減去這個(gè)和2000，便能簡便地求出其答案為5300，這相當(dāng)于運(yùn)用了加法的結(jié)合律. 也說明了我們從小學(xué)階段的早期就在運(yùn)用整體思想這一數(shù)學(xué)武器.

2.整體思想在二元一次方程組中的應(yīng)用

例 已知二元一次方程組3x + 4y = 13，4x + 3y = 8，求（x + y）的值.

解 兩個(gè)方程相加，得7x + 7y = 21，

即7（x + y） = 21，兩邊都除以7，得x + y = 3.

本題的解法沒有按照習(xí)慣上求x與y的和，先求x和y的值分別是多少，再求它們的和是多少，而為了求x與y的值，就要先解二元一次方程組這一思路來解，而是抓住了兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的和相等這一特點(diǎn)，把x與y的和看做了一個(gè)整體，直接求出了這個(gè)整體的值，避免了繁瑣的解二元一次方程組，充分地顯示了整體思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的神奇作用. 三、分類討論思想

分類討論思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的解題策略，它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中. 經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性和科學(xué)性，所以它在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.

1. 分類討論思想在有關(guān)三角形計(jì)算中的應(yīng)用

例 已知等腰三角形的周長是7厘米，它的兩條邊的長分別是a厘米、3厘米，求它的腰長和底邊長.

分析 已知中3厘米長的邊可能是腰，也可能是底邊，所以本題有兩種情況.

解 略.

2. 分類討論思想在絕對值化簡中的應(yīng)用

例 化簡 |a + 3| + |7 - a|.

分析 有理數(shù)的絕對值可歸納為兩種情況：非負(fù)數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，因此本題應(yīng)分四種情況.

解 當(dāng)a + 3 ≥ 0且7 - a ≥ 0，即-3 ≤ a ≤ 7時(shí)，

原式 = a + 3 + 7 - a = 10.

當(dāng)a + 3 ≥ 0且7 - a < 0，即a > 7時(shí)，

原式 = a + 3 + a- 7 = 2a - 4.

當(dāng)a + 3 < 0且7 - a ≥ 0，即a < -3時(shí)，

原式 = -a - 3 + 7 - a = -2a + 4.

容易看出，a + 3 < 0且7-a < 0的情況是不存在的.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定的條件下相互補(bǔ)充、轉(zhuǎn)化的思想，也就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，或由數(shù)思形，或以形助數(shù).用數(shù)形結(jié)合思想，可以化復(fù)雜為簡單，化抽象為形象，因此能使許多復(fù)雜問題迎刃而解且解法簡潔.

1. 數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)有理數(shù)中的應(yīng)用

數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的最好工具，無論是相反數(shù)、絕對值，還是有理數(shù)大小的比較，都能借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生深刻地理解并掌握這些知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對值和有理數(shù)大小的比較時(shí)，都能在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和內(nèi)化.

2. 數(shù)形結(jié)合思想在解不等式中的應(yīng)用

我們知道，不等式的解集是不等式中未知數(shù)的取值范圍，或比某一個(gè)數(shù)大，或比某一個(gè)數(shù)小，有時(shí)還會(huì)包括相等關(guān)系，而在數(shù)軸上，右邊的數(shù)大于它左邊的數(shù)，因此每個(gè)不等式的解集都可以在數(shù)軸上表示出來，這樣我們就能對不等式的解集有了更加形象而清晰的認(rèn)識(shí)，尤其是在解不等式組時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用數(shù)軸表示不等式的解集就顯得更加簡潔明了，更容易快速而準(zhǔn)確地確定不等式組的解集，并能防止錯(cuò)誤的發(fā)生.

數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的地位非常重要，在我們的日常教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，使學(xué)生在每天的學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)思想方法的神奇，下定掌握數(shù)學(xué)思想的決心，從而大幅度地提高自己的數(shù)學(xué)水平.