解三角形的解題思路

岑倩青

【摘要】 三角形有三條邊三個(gè)角共六個(gè)元素，知道其中三個(gè)可以求另外三個(gè). 本文對正弦定理和余弦定理的適用范圍進(jìn)行了重新審視，以所知三個(gè)元素的邊的個(gè)數(shù)正確選擇使用正、余弦定理靈活解三角形，進(jìn)一步理清解三角形的解題思路.

【關(guān)鍵詞】 三角形；正弦定理；余弦定理；思路

三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形.解三角形常常借助于正弦定理和余弦定理.高考常見的題型，主要是已知三角形的某些元素，求三角形的其他邊或角（或角的三角函數(shù)值），甚至一些更靈活的應(yīng)用如求三角形面積或判斷三角形形狀等.看似簡單，但如果對三角形的相關(guān)知識沒有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，沒有掌握其解題思路，要把題解出來，也要費(fèi)一番周折.

1. 三角形蘊(yùn)含的信息

一個(gè)三角形，三條邊三個(gè)角，三個(gè)內(nèi)角和為180°（內(nèi)角和定理），三角形分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形（后兩者統(tǒng)稱為斜三角形），這是非常明顯的信息.三角形還蘊(yùn)含一些潛在的信息，如大邊對大角、小邊對小角、任意兩邊之和大于第三邊、角的正弦值為正數(shù)等，如果解題時(shí)沒有考慮這些信息，就可能導(dǎo)致解題出錯(cuò).

2. 巧用定理解三角形

2.1 重新審視正弦定理和余弦定理的適用范圍

解三角形需要運(yùn)用正弦定理和余弦定理靈活解題.如果已知三角形或能判定三角形是直角三角形，用勾股定理解三角形是非常方便的，而勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.所以，實(shí)際上，我們把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，就能很好地解決三角形的問題.

人教版《數(shù)學(xué)》等現(xiàn)行的大多數(shù)教科書對正弦定理的適用范圍是這樣寫的：“已知任意兩角和一邊，已知兩邊和其中一邊的對角”，對余弦定理的適用范圍是這樣寫的：“已知兩邊及夾角，已知三條邊”.筆者覺得這樣的區(qū)分既啰唆又不能全面、統(tǒng)一概括正弦定理和余弦定理的適用范圍.

要使同學(xué)們掌握區(qū)分選用正弦定理或余弦定理來解題，筆者以已知邊的個(gè)數(shù)來區(qū)分選用正弦定理或余弦定理來解三角形：

① 已知一條邊，用正弦定理解三角形；

② 已知兩條邊求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、兩解或無解；

已知兩條邊求邊，用余弦定理解三角形；

③ 已知三條邊（或三邊關(guān)系式），用余弦定理解三角形.

以已知邊區(qū)分選擇使用定理解三角形，而不考慮角，既方便同學(xué)們理解，又易于同學(xué)們記憶，比現(xiàn)行教學(xué)書的概括要全面而簡單實(shí)用.據(jù)此，許多高考題都可以很快就判斷出用正弦定理還是余弦定理解題.

（2005上海春）a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對的邊，若∠A = 105°，∠B = 45°，b = 2，則c = .（已知一條邊，用正弦定理解題）

（2010湖北理）在△ABC中，a = 15，b = 10，A = 60°，則cosB = （ ）.（已知兩條邊求角，用正弦定理解題，求出sin B，而cos B = ）

（2009廣東文）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a = c = + 且∠A = 75°，則b = （ ）.（已知兩條邊求邊，用余弦定理解題，利用cos A = ，解得b = 4）

2.2 正弦定理多解的原因

要注意的是，已知兩條邊求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、兩解或無解，其原因是什么呢？

已知a = 6，b = 2，∠A = 60°，求∠B.

作∠A = 60°，在∠A的一邊上截取AC，使AC = b = 2，過C作∠A的另一邊的垂線CD，垂足為D，則CD是點(diǎn)C到邊AB的最短距離.

所以，當(dāng)a = CD或a ≥ AC時(shí)，三角形一解；

當(dāng)CD < a < AC時(shí)，三角形兩解；

當(dāng)a < CD時(shí)，三角形無解.

解上題，sin B = = = ，∠B = 30°或∠B = 150°，此時(shí)就要根據(jù)大邊對大角（a > b，∴ A > B）或內(nèi)角和定理（A + B < 180°），將∠B = 150°舍去，所以∠B = 30°.究其原因就是因?yàn)閍 = 6 > AC = 2，所以只有一解.

3. 判斷三角形形狀

解有關(guān)判斷三角形形狀的問題，具體思路是化歸統(tǒng)一的思想，“統(tǒng)一成純邊或純角”的問題，即把所給的關(guān)系式轉(zhuǎn)換成只含角或只含邊的式子后，再進(jìn)行分析判斷，通過角判斷時(shí)，可以通過sin（A - B） = 0或cos（A - B） = 1，判斷三角形為等腰三角形；通過sin（A + B） = 1或cos（A + B） = 0，判斷三角形為直角三角形；通過cos C > 0或cos C < 0（C為最大角）判斷三角形為銳角三角形或鈍角三角形.通過邊判斷時(shí)，可以根據(jù)a = b來判斷這個(gè)三角形是等腰三角形，根據(jù)c2 = a2 + b2來判斷這個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)c2 > a2 + b2或c2 < a2 + b2（c為最大邊）來判斷這個(gè)三角形是鈍角或銳角三角形.

（2013陜西文）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 若bcos C + c cos B = asin A，則△ABC的形狀為 （ ）.

A. 直角三角形 B. 銳角三角形

C. 鈍角三角形 D. 不確定

解 ∵ bcos C + ccos B = asin A，

∴ 2Rsin B·cosC + 2Rsin C·cos B = 2RsinA·sin A.

sin（B + C） = sin2A.

∵ sin（B + C） = sin A，

∴ sin A = sin2A.

∴ sin A = 1或sin A = 0（舍去）.

∴ A = 90°.

所以選A.

對于一些更復(fù)雜的三角形綜合題，可能是正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)等的綜合運(yùn)用，只要掌握了解三角形的解題思路，解題就會(huì)游刃有余.

【參考文獻(xiàn)】

中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5》[M].廣東：人民教育出版社，2006.