設(shè)計(jì)開放性復(fù)習(xí)情境 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)

徐成燈

設(shè)計(jì)“一題多式”的開放性復(fù)習(xí)情境，讓學(xué)生在富有思考性、探索性、挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)中，知識(shí)得到系統(tǒng)化，思維得到錘煉，能力得到培養(yǎng)，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí). 本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐談?wù)?，在開放性的問題情境中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí).

一、設(shè)計(jì)一題多問，培養(yǎng)問題意識(shí)

2011年版課標(biāo)在課程目標(biāo)的總目標(biāo)中提出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力. 因此，對(duì)于一道習(xí)題，讓學(xué)生從多角度、多方面提出問題，不僅能“練一題，帶一串”，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，更可貴的是從中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).

比如，進(jìn)行蘇教版四年級(jí)下冊(cè)（下文的復(fù)習(xí)例子均是）“因數(shù)與倍數(shù)”知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，我出示：在1～20中，素?cái)?shù)有 ，合數(shù)有 ，奇數(shù)有 ，偶數(shù)有 . 待學(xué)生完成后，我趁機(jī)提出：觀察這四組數(shù)，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？學(xué)生經(jīng)過觀察分析提出：非0自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)分為什么？按是不是2的倍數(shù)又分為什么？1為什么既不是素?cái)?shù)又不是合數(shù)？既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)是什么數(shù)？20以內(nèi)既是奇數(shù)又是合數(shù)是什么數(shù)？最小合數(shù)是什么數(shù)？最小素?cái)?shù)是什么數(shù)？素?cái)?shù)都是奇數(shù)嗎？請(qǐng)舉例說明，等等. 這樣，在復(fù)習(xí)素?cái)?shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的基礎(chǔ)上，通過這一問不僅讓學(xué)生加深對(duì)這四個(gè)概念的區(qū)別，又從中培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

二、設(shè)計(jì)一題多解，提煉解題方法

設(shè)計(jì)一題多解的問題，讓學(xué)生從不同角度思考，用多種思路或方法去解答，再引導(dǎo)學(xué)生比較各種解法，從中提煉解題方法，從而有效溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，凸顯知識(shí)的綜合運(yùn)用.

如，在復(fù)習(xí)利用畫圖策略解決問題時(shí)，筆者有意識(shí)地設(shè)計(jì)這樣一道題：一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)80米，寬60米，現(xiàn)因操場(chǎng)擴(kuò)建，長(zhǎng)和寬都增加了20米. 操場(chǎng)面積增加了多少平方米？

復(fù)習(xí)時(shí)，我完全放手讓學(xué)生根據(jù)題意畫好示意圖，再根據(jù)示意圖多角度思考，從而得到以下示意圖以及相應(yīng)的解法：

解法一：常規(guī)解法，根據(jù)擴(kuò)建后的面積減去原來的面積等于增加的面積進(jìn)行思考，分為三步走：先求出原來長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是80 × 60 = 4800（平方米），再求出擴(kuò)建后操場(chǎng)的面積是（80 + 20） × （60 + 20） = 8000（平方米），最后求增加部分的面積是8000 - 4800 = 3200（平方米）. （見圖一）

解法二：轉(zhuǎn)化解法，因?yàn)閿U(kuò)建后增加部分操場(chǎng)的面積是不規(guī)則的，從把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的角度思考，可以把增加部分操場(chǎng)的面積沿長(zhǎng)方向分成A，B兩個(gè)長(zhǎng)方形，分為三步走：先求出A塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是（80 + 20） × 20 = 2000（平方米），再求出B塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是60 × 20 = 1200（平方米），最后求出增加部分操場(chǎng)的面積是2000 + 1200 = 3200（平方米）. （見圖二）

解法三：轉(zhuǎn)化解法，根據(jù)解法二的思考路徑，把增加部分操場(chǎng)的面積沿寬方向分為A，B兩塊長(zhǎng)方形，先求出A塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是80 × 20 = 1600（平方米），再求出B塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是（60+20） × 20 = 1600（平方米），最后求增加部分操場(chǎng)的面積是1600+1600 = 3200（平方米）. （見圖三）

解法四：還是根據(jù)解法二的思考路徑，把增加部分長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積分為A，B，C三塊，A塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是80 × 20 = 1600（平方米），B塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是20 × 20 = 400（平方米），C塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是60 × 20 = 1200（平方米），增加部分操場(chǎng)的面積是1600 + 400 + 1200 = 3200（平方米）. （見圖四）

解法五：根據(jù)長(zhǎng)與寬都增加20米，把A、B、C三塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，增加部分操場(chǎng)的面積是（80 + 20 + 60） × 20 = 3200（平方米）. （見圖五）

教師對(duì)學(xué)生的五種解法充分肯定后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行分析、比較. 在比較中發(fā)現(xiàn)：方法一是根據(jù)大面積減小面積進(jìn)行計(jì)算；方法二、三、四是把不規(guī)則圖形分割成兩個(gè)或三個(gè)基本圖形，再相加求面積；方法五是將不規(guī)則圖形先分割再拼成規(guī)則圖形，再求面積. 不管是割、拼，都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后再進(jìn)行計(jì)算.

許多教師在教學(xué)中，僅僅滿足于讓學(xué)生把各種不同的方法展示出來，就認(rèn)為教學(xué)目標(biāo)達(dá)到了，殊不知這樣的結(jié)果“星星還是那個(gè)星星，月亮還是那個(gè)月亮”，學(xué)生根本就沒有顧及或接納別人的方法，更談不上從中抽象出基本的數(shù)學(xué)方法了. 只有展示沒有提煉的教學(xué)只是同一思維層面上不同解法的交流，對(duì)于提升學(xué)生的思維能力沒有多大價(jià)值. 案例中的教師，不僅僅滿足于讓學(xué)生把各種不同的方法展示出來，而是抓住時(shí)機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，尋找解法之間的聯(lián)系，這樣有效地促進(jìn)了學(xué)生由表及里地思考，提高了學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、設(shè)計(jì)一題多變，理清來龍去脈

對(duì)于同一道習(xí)題，不斷改變它的條件或問題，使學(xué)生看清題目之間的聯(lián)系，掌握題目的來龍去脈，對(duì)提高復(fù)習(xí)效率有明顯的效果.

如，在復(fù)習(xí)解決三步問題時(shí)，筆者以學(xué)生易錯(cuò)的一道題“鋪一間教室，用邊長(zhǎng)4分米的方磚，需要300塊，如改用面積25平方分米的方磚，需要多少塊？”為原題，在師生交流中生成以下姐妹題：

1. 鋪一間教室，用面積16平方分米的方磚，需要300塊；如改用面積25平方分米的方磚，需要多少塊？

2. 鋪一間教室，用面積16平方分米的方磚，需要300塊；如改用邊長(zhǎng)5分米的方磚，需要多少塊？

3. 鋪一間教室，用邊長(zhǎng)4分米的方磚，需要300塊；如改用邊長(zhǎng)5分米的方磚，需要多少塊？

4. 鋪一間教室，用邊長(zhǎng)4分米的方磚，需要300塊；如只需160塊方磚，需要面積多大的方磚？

這樣通過不斷改變?cè)}的條件、問題，讓學(xué)生在比較、辨別異同中，理清問題的來龍去脈，逐步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高復(fù)習(xí)效率.

四、設(shè)計(jì)一題多“能”，盤活思維廣度

教師在設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題時(shí)，有意去掉題中的某個(gè)關(guān)鍵詞，使它變成一道含有多種可能的開放性問題. 引領(lǐng)學(xué)生深入思考、全面分析，盤活思維廣度，提高復(fù)習(xí)效能.

如，筆者在復(fù)習(xí)用畫圖策略解決行程問題時(shí)，有意識(shí)設(shè)計(jì)了這樣一道題：在一條公路上，客車和貨車同時(shí)從相距80千米的兩地開出. 客車每小時(shí)行駛42千米，貨車每小時(shí)行駛48千米，開出多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距100千米？（請(qǐng)考慮各種情況，畫圖只列式不計(jì)算）

由于題中兩車所在的方向不明確，故本題就可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，全盤思考，分多種情況一一考慮：

1. 客、貨兩車相向而行，相遇后又繼續(xù)行駛，至兩車相距100千米. （圖略）這樣考慮求兩車開出需要的時(shí)間，列式：（100 + 80） ÷ （42 + 48）.

2. 客、貨兩車相背而行，即按相反方向行駛，至兩車相距100千米. （圖略）這樣考慮求兩車開出需要的時(shí)間，列式：（100 - 80） ÷ （42 + 48）.

3. 客、貨兩車同向而行，又分兩種情況：

（1）貨車追客車（圖略）. 根據(jù)兩車已經(jīng)相距80千米，如果兩車要相距100千米，那貨車應(yīng)比客車多行駛100 + 80 = 180（千米），求兩車開出需要的時(shí)間，列式：（100 + 80） ÷ （48 - 42）.

（2）客車追貨車（圖略）. 因?yàn)榭蛙嚨乃俣缺蓉涇嚶?，只要貨車比客車多行?00 - 80 = 20（千米）時(shí)，兩車就相距100千米，所以求兩車開出需要的時(shí)間，列式：（100 - 80） ÷ （48 - 42）.

去掉兩車行駛方向這一條件，一道封閉題就變成了一道開放題，并囊括了行程問題的三種方向問題. 學(xué)生在解題過程中不僅要考慮兩車的方向，還要考慮每種方向的解答情況，既培養(yǎng)了學(xué)生的有序思維，又盤活思維廣度.

五、設(shè)計(jì)一題多“聯(lián)”，滲透數(shù)學(xué)思想

比如，復(fù)習(xí)三步應(yīng)用題時(shí)，為了讓學(xué)生由表及里地理解“剩下的部分=總數(shù)-用去的部分”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，我先出示這道題：一堆煤重300千克，每天用去15千克，用了8天，剩下的煤每天用20千克，還能用多少天？待學(xué)生完成反饋之后，我順勢(shì)提問：看到“剩下的煤”你想到什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系，你能變換情節(jié)，編制出相應(yīng)的應(yīng)用題嗎？同桌互相討論. 反饋時(shí)，展示學(xué)生編擬的問題，有的學(xué)生將情節(jié)換成看一本書；有的學(xué)生將情節(jié)換成修一條水溝；有的學(xué)生將情節(jié)換成吃一袋米；還有的學(xué)生將情節(jié)變換成兩個(gè)量的比較：師徒兩人完成300個(gè)零件，徒弟每天完成15個(gè)，工作了8天，剩下的零件由師傅完成，師傅每天完成20個(gè)，還要多少天？等等. 這樣的復(fù)習(xí)，改變了就題練題的單調(diào)性. 由一題“聯(lián)”多題，激發(fā)了學(xué)生的興趣，在編題時(shí)充分開放學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性；在展示、對(duì)比中有利于學(xué)生感悟不管情節(jié)怎樣變化，題中的數(shù)量關(guān)系始終不變，滲透變中尋不變的思想，培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力.

總之，在復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)精選習(xí)題，活用習(xí)題，充分發(fā)揮“一題多式”的多種訓(xùn)練功能，從而切實(shí)有效提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí).