數(shù)學(xué)習(xí)題在教學(xué)中的作用

解偉國(guó)

摘要：數(shù)學(xué)習(xí)題是教學(xué)中的重要組成部分，是學(xué)生鞏固和消化所學(xué)知識(shí)并轉(zhuǎn)化成為技能的重要環(huán)節(jié)，它在教學(xué)中起著舉足輕重的作用。本文主要通過(guò)知識(shí)功能、教育功能、智育功能和評(píng)價(jià)功能對(duì)習(xí)題的作用進(jìn)行了闡述。

關(guān)鍵詞：知識(shí)功能；教育功能；智育功能；評(píng)價(jià)功能

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0144

習(xí)題是數(shù)學(xué)課本中的重要組成部分，訓(xùn)練得好壞，直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低，許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的教學(xué)質(zhì)量之所以高，一部分原因也是由于習(xí)題選擇和處理得恰當(dāng)。當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家波利亞(G·Polya)強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！币?，習(xí)題訓(xùn)練是學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的必要途徑，也是運(yùn)用知識(shí)和進(jìn)行獨(dú)立思考來(lái)培養(yǎng)基本技能的重要手段。下面筆者談?wù)剶?shù)學(xué)習(xí)題在教學(xué)中的幾個(gè)作用：

一、知識(shí)功能

通過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題，學(xué)生能獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成必要的技能技巧。

1. 在引入新知識(shí)中的作用

學(xué)習(xí)新知識(shí)，最重要的是建立在舊知識(shí)之上，奧貝爾(D·P·Ausubel)曾指出：“影響學(xué)習(xí)的最重要的因素，是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有狀況進(jìn)行教學(xué)?！痹谠兄R(shí)上提出問(wèn)題，引起學(xué)生思考，產(chǎn)生疑問(wèn)，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，這即是“學(xué)起于思，思源于疑，”在這個(gè)過(guò)程中，習(xí)題是架設(shè)在新舊知識(shí)之間的橋梁。如在教學(xué)二次根式加減時(shí)，教師可先提出題目，計(jì)算3x-2x，4x2+7y2-2x2，并說(shuō)出整式加減的計(jì)算法則，再提出問(wèn)題，把3x-2x改為3-2呢？觀察比較原有式子與改后式子有什么異同？如何計(jì)算？造成學(xué)生“心求通而未能得，口欲言而不能說(shuō)”的情勢(shì)，從而激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的欲望和思維的積極性，為教學(xué)創(chuàng)設(shè)最佳情境。此外，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的練習(xí)，可以使這些知識(shí)得到進(jìn)一步的鞏固，從而為新知識(shí)的教學(xué)作好鋪墊作用。

2. 在鞏固知識(shí)中的作用

鞏固知識(shí)不僅靠死記硬背，更主要的是理解，使學(xué)生不但知其然，而且知其所以然，便于記憶和應(yīng)用。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)， 教師讓學(xué)生理解概念，實(shí)質(zhì)上是幫助學(xué)生弄清事物之間的本質(zhì)特點(diǎn)。例：“判斷是否為無(wú)理數(shù)？”這樣的習(xí)題，學(xué)生錯(cuò)誤率較高，為使學(xué)生進(jìn)一步理解無(wú)理數(shù)這個(gè)概念，教師可輔以“什么是無(wú)理數(shù)？”“無(wú)理數(shù)通常有哪幾種形式？”“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)有什么區(qū)別？”等問(wèn)題，對(duì)概念進(jìn)行比較辨析，從而達(dá)到知識(shí)的同化與內(nèi)化。

布魯納說(shuō)過(guò)：“領(lǐng)會(huì)基本的原理和概念，看來(lái)是通向適當(dāng)?shù)摹?xùn)練遷移的大道?！毙屡f知識(shí)、技能之間存在相同或相似的因素，是產(chǎn)生遷移的客觀因素，它們之間的共同因素越多，遷移就越容易產(chǎn)生。學(xué)習(xí)者自身的分析、概括能力則是產(chǎn)生遷移的主觀因素，分析、概括能力水平越高，也就越容易產(chǎn)生遷移。古人所發(fā)現(xiàn)的舉一反三、觸類旁通就是遷移在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)。例：“305的78倍是多少”與“一個(gè)數(shù)的78倍是23790，這個(gè)數(shù)是多少”的問(wèn)題列算式時(shí)，兩者總是混淆。事后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)了“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”用乘法計(jì)算后，再學(xué)習(xí)“已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”時(shí)，這些學(xué)生是把在舊學(xué)習(xí)情境中建立起來(lái)的情境，遷移到新的學(xué)習(xí)情境中去，加上在練習(xí)時(shí)，沒(méi)有審清題意所致。因此，學(xué)生要通過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)、觀察、比較、概括來(lái)鞏固概念。

3. 在應(yīng)用知識(shí)中的作用

學(xué)生通過(guò)解題，使掌握的數(shù)學(xué)概念、定理、公式得到進(jìn)一步的應(yīng)用。

例1：已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，EC⊥BC，且EC=BD，求證：AE∥BC。

要證明此題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等邊三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)的定義、垂直定義、三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理、平行線的判定定理。

例2. 種糧大戶陳大伯有兩塊地，第一塊50公畝，共收糧6.5噸，第二塊地30公畝，共收糧47噸，陳大伯家這兩塊地平均產(chǎn)1噸糧要多少公畝地？

要解答此題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)平均數(shù)的理解，總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，及總數(shù)與部分之間的數(shù)量關(guān)系等。

通過(guò)練習(xí)，學(xué)生可以增強(qiáng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有進(jìn)一步的掌握，并會(huì)正確、合理、熟練地應(yīng)用，形成一定的技能技巧。

二、教育功能

辛欽曾指出，數(shù)學(xué)課程對(duì)形成學(xué)生的性格和道德個(gè)性方面有巨大的作用，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，一般沒(méi)有正確與錯(cuò)誤之爭(zhēng)，而只有好與不好的問(wèn)題，數(shù)學(xué)的真理性的這種不可爭(zhēng)辯性，包含著巨大的教育價(jià)值。

例如：在四則混合運(yùn)算教學(xué)時(shí)，可先從故事引入，200多年前，德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯才10歲時(shí)，教師出了一道算式：1+2+3+…+100=？當(dāng)別的學(xué)生才加了幾個(gè)數(shù)時(shí)，小高斯馬上算出答案是5050。為什么這樣快就算出來(lái)呢？小高斯不是按運(yùn)算順序逐一相加，而是把100個(gè)數(shù)的首和尾依次加起來(lái)，即1+100，2+99，…，50+51，共50對(duì)，總和是101×50=5050，小高斯采用首尾結(jié)合，變加為乘的方法使運(yùn)算簡(jiǎn)便。

又如：到第十一個(gè)五年計(jì)劃未，我國(guó)高速公路增加到74000千米，比第十個(gè)五年計(jì)劃未的1.8倍還多200千米，求“十一五”期間新增高速公路多少千米？

教師通過(guò)習(xí)題的引入和練習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性以及獨(dú)立思考、克服困難的精神，同時(shí)又可以向?qū)W生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育，了解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就，以及科學(xué)技術(shù)文化的發(fā)展成就，對(duì)學(xué)生進(jìn)行國(guó)情教育和愛(ài)國(guó)主義教育，有助于愛(ài)國(guó)主義思想的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能還在于它能給學(xué)生以美的陶冶，數(shù)學(xué)習(xí)題的條件具有和諧性、獨(dú)立性；形式的對(duì)稱性、圖形的完美性；解法的合理性、簡(jiǎn)練性和獨(dú)創(chuàng)性這些特征無(wú)不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、簡(jiǎn)單美和奇異美。法國(guó)啟蒙思想家狄德羅說(shuō)：“所謂美的解答過(guò)程，是對(duì)困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答?！比巛S對(duì)稱圖形、正三邊形、正六邊形、橢圓等圖形的均稱性；雞兔同籠問(wèn)題的趣味性等，都給予人美的享受。

三、智育功能

通過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，學(xué)生可以牢固地掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，激發(fā)強(qiáng)烈的應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)造能力，并獲得發(fā)展推理能力、化歸能力和數(shù)學(xué)建模能力，以及運(yùn)用方程、不等式和基本平面圖等數(shù)學(xué)觀念的能力。

例1. 如圖，計(jì)算環(huán)形的面積(單位：厘米)

外圓周長(zhǎng)C=37.68 ，其中π取3.14

此題綜合運(yùn)用舊知識(shí)，鞏固新知識(shí)，既求同又求異。

例2. 一個(gè)直徑為10米的圓形花壇的外面，修一條寬2.5米的水泥路，這條水泥路的面積是多少平方米？

此題培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力和運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例3. 已知外圓的半徑是20厘米，環(huán)形的面積為96平方厘米，求內(nèi)圓的面積。

此題培養(yǎng)了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，形成技能技巧，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

例4. 如圖，D、E是△ABC中BC邊上的兩點(diǎn)，(1)若已知AD=AE，要得到△ABE≌△ACD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)什么條件？

(2)若已知AB=AC，AD=AE，可證得哪幾對(duì)三角形全等？并分別寫出證明。

此題綜合運(yùn)用知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造力。

總之，教師通過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，可以使學(xué)生開(kāi)拓了智力、培養(yǎng)了能力、增強(qiáng)了空間觀念、發(fā)展了思維，形成了一定的技能技巧。

四、評(píng)價(jià)功能

檢查與評(píng)定學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)是整個(gè)教學(xué)工作不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)教與學(xué)雙方都具有重要意義，一般是通過(guò)解題來(lái)完成。評(píng)定的內(nèi)容有兩個(gè)方面，一是知識(shí)水平；二是能力水平。

目前，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)的考評(píng)，以考查知識(shí)水平為主，通常通過(guò)做試題的形式完成。試題中習(xí)題選擇要符合教學(xué)大綱的要求，重視知識(shí)廣度、深度和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的熟練程度。某學(xué)生在一次考試中，數(shù)學(xué)得了85分，單這一分?jǐn)?shù)本身而論，并沒(méi)有什么意義，如與其他學(xué)生相比，就可以說(shuō)明屬于好、中、差哪一個(gè)等級(jí)；或與筆者過(guò)去的數(shù)學(xué)成績(jī)相比，說(shuō)明是進(jìn)步還是退步等。教師還可以設(shè)計(jì)好習(xí)題內(nèi)容，通過(guò)課堂提問(wèn)、檢查書面作業(yè)、板演等方法了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

考查學(xué)生的能力水平，可以在數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)中得到體現(xiàn)，通過(guò)解題來(lái)檢查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間觀念，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。要考查能力水平的試題，如競(jìng)賽題，美國(guó)的SAT測(cè)試題等；要測(cè)試學(xué)生動(dòng)手操作能力，可讓學(xué)生量出18.5cm×26.0cm的數(shù)學(xué)課本、2m×0.9m的門框的長(zhǎng)與寬，并算出面積，教師可根據(jù)下表來(lái)測(cè)定學(xué)生的能力水平。

總之，數(shù)學(xué)習(xí)題在教學(xué)中具有舉足輕重的作用，學(xué)生正確地理解習(xí)題的重要性，有助于提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。