巧用軸對稱知識解決實際問題

陳佩山

摘要：本文研究了“軸對稱變換法”在求線段和的最小值、求線段差的最大值問題中的應用與意義，并從原理上進行了理論性分析，同時對應用中出現(xiàn)的兩種情況——“最大值、最小值問題”進行了分類歸納與總結(jié)。

關(guān)鍵詞：特殊方法；軸對稱知識；解決方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0143

求線段和的最小值和線段差的最大值問題，在初中數(shù)學中經(jīng)常會遇到，利用軸對稱知識可以比較簡單地解決。下面通過幾個典型的例題來說明軸對稱知識在解決問題中的作用。

軸對稱的性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等。也就是說，在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中的兩個對應點到對稱軸上任意一點的距離都相等。

一、利用軸對稱性求線段之和的最小值

例1. 如圖，草原上兩居民點A，B在筆直河流L的同旁，一汽車從A處出發(fā)到B處，途中需要到河邊加水，問選在何處加水可使行駛的路程最短？并在圖中畫出這一點。

分析：將這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即已知直線L及同側(cè)的點A和點B，在L上確定一點C，使AC+BC最小。

首先，我們思考若點A和B點分別在直線L的兩側(cè)，則點C的位置應如何確定，根據(jù)兩點之間線段最短，點C應是AB與直線L的交點，如圖(2)，這就是說，設線段AB交L于點C，點C′是直線上異于點C的任意一點，總有AC+BC

解：如圖(3)，作點A關(guān)于直線L的對稱點A′，連接A′B交L于點C，則點C的位置就是汽車加水的位置，即汽車選在點C處可使行駛的路程最短。

思考：若點A和B點分別在直線L的兩側(cè)，則點C的位置應如何確定？

解：根據(jù)兩點之間線段最短，點C應是AB與直線L的交點。

例2：如圖所示，在公路L的一側(cè)有兩個村莊A、B，現(xiàn)要在公路L旁修建一個車站，問車站應建在什么地方，才能到A，B兩村莊的距離之和最短？

分析：利用軸對稱的性質(zhì)，如圖，作B點關(guān)于L的對稱點B1， 在直線L上任意定一點M，連接B B1，BM，B1M，根據(jù)軸對稱知識，我們可以求證BM=B1M，所以，我們可得出：點B到河岸L上任意點M的距離等于對稱B1到點M的距離。

要使AM+ B1M最小，必須使A、M、B1三點共線，也就是說，必須使點M，與A B1連線和L的交點N重合，所以，公路旁的N點為到A、B的距離之和最小的點。

證明：M為L上的任意點。因為BM=B1M，所以，BM+AM=B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，結(jié)論成立。

例3. 已知在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，M、N分別是AB，BC邊上的中點，P是對角線AC上一動點，求PM+PN的最小值。

分析：因為動點P在菱形ABCD的對角線AC上，而CD邊的中點G，是N關(guān)于對稱軸AC的對應點。所以，PG=PN。因此求PM+PN的最小值就轉(zhuǎn)化為求PM+PG的最小值，連接MG，在△PMG中，PM+PG的最小值就是MG，即PM+PG≥MG(僅當M、P、G三點共線時取得最小值)。

解：取CD的中點G，連接PG，∵AC是菱形ABCD的對角線?！唷螾CG=∠PCN，又CB=CD，N是BC邊的中點 ∴CN=CG。又PC=PC，∴△PCG≌△PCN∴PG=PN，連接MG?！嗨倪呅蜛MGD為平行四邊形。

∴ MG=AD=8。在△PMG中，(僅當P、M、G三點共線時取等號)。故PM+PN的最小值為8。

例4. 如圖，正方形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2，CE=1，點P在BD上，求PE+PC的最小值

分析：要想求PE+PC的最小值，關(guān)鍵是確定點P的位置，根據(jù)對稱的知識我們知道點P的位置應是，點C關(guān)于直線BD的對稱點和點E連線與BD的交點。

解：因為四邊形ABCD為正方形，所以點C關(guān)于BD的對稱點為A，連接AE交BD于P點，則此時PE+PC的最小值最小，最小值為：PE+PC=AE= 。

二、利用軸對稱性求線段之差的最大值

例5. 已知點A(1，5)，點B(3，-1)兩點，在X軸上取一點M，使AM-BM 取得最大值時，則M的坐標為？

解：如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點。此時AM-BM=AM-B′M=AB′。

證明 ：不妨在x軸上任取一個另一點M′，連接M′A、M′B、M′B。

則M′A-M′B=M′A-M′B′

∴M′A-M′B

∵B′是B(3，-1)關(guān)于x軸的對稱點，∴B′(3，1)。

設直線AB′解析式為y=kx+b，把A(1，5)和B′(3，1)代入得：

k+b=53k+b=1解得，k=-2b=7

(上接第143頁)

∴直線AB′解析式為y=-2x+7。令y=0，解得x=3/2

∴M點坐標為(7/2，0)。

例6. 直線L兩側(cè)有A、B兩點，怎樣在直線L上取一點P，使PA-PB最大。

解：如圖，過B作B′關(guān)于L的對稱，連接AB′交L于P，連接AP、BP，此時PA-PB最大。在L上找Q點，連接QA、QB、QB′，QA-QB=QA-QB′

所以總有PA-PB>QA-QB，因此P點是使PA-PB最大的點。

補充：

Q 點如果不與P點重合，那么QB′A總會形成一個三角形，三角形的兩邊之差總是小于第三邊。

所以總有QA-QB

如果點A，B在直線L的異側(cè)，點B′是點B關(guān)于直線L的對稱點，過A，B′的直線與直線L相交與M，直線L上的點到A,B的距離之差的最大值是線段AB′的長度，取得最大值的點是M。