從“照鏡子”中學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性

趙廣樂 趙勝凡

摘要：函數(shù)的奇偶性概念作為函數(shù)的基本性質(zhì)，在函數(shù)問題的解決中應(yīng)用普遍，考察形式靈活多樣。本文從對(duì)稱觀點(diǎn)出發(fā)，深入分析函數(shù)奇偶性的實(shí)質(zhì)——對(duì)稱性，并給出一些行之有效的快速判定法則，使學(xué)生能夠得心應(yīng)手地應(yīng)對(duì)函數(shù)奇偶性問題。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱；奇偶性；快速判斷法則

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0110

在日常生活中，每個(gè)人都有照鏡子的經(jīng)歷，在照鏡子的時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)鏡子中的虛像與我們完全一樣，且人與像到鏡子的距離相等。如圖所示：

也就是說，人與像關(guān)于鏡面對(duì)稱。

設(shè)鏡子所在位置為x=，則一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于鏡面對(duì)稱，用數(shù)學(xué)式子表示即為：對(duì)定義域中任意x，f(a-x)=f(b+x) f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱。

如右圖所示，即當(dāng)f(x)的函數(shù)值相等的時(shí)候，該函數(shù)的自變量分別為X=a-x，X=b-x，由中點(diǎn)公式可知，這兩個(gè)自變量總是關(guān)于直線x==對(duì)稱的。即f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱。

同理，對(duì)定義域中任意x，f(a+x)-b=b-f(a-x)或f(a+x)+f(a-x)=2bf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱。

如右圖所示，兩個(gè)函數(shù)值的和：=b

即函數(shù)值f(a+x)，f(a-x)關(guān)于Y=b對(duì)稱時(shí)，自變量X=a-x，X=a+x總是關(guān)于直線X==a對(duì)稱的。

推廣：凡是兩個(gè)函數(shù)值之間的等量關(guān)系式f(ax+b)±×÷f(cx+d)=E，若內(nèi)變量之和(ax+b)+(cx+d)為常數(shù)C，則該函數(shù)具有對(duì)稱性，且為對(duì)稱軸心。

一、函數(shù)奇偶性的本質(zhì)

1. 在“對(duì)定義域中任意x，f(a+x)=f(b-x) f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱”中，當(dāng)a=b=0時(shí)，“ f(-x)=f(x)f(x) 的圖象關(guān)于x=0(y軸)對(duì)稱 f(x)為偶函數(shù)”。

2. 在“對(duì)定義域中任意x，f(a+x)-b=b-f(a-x)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱”中，當(dāng)a=b=0時(shí)，“f(-x)=-f(x)f(x) 的圖象關(guān)于(0，0)對(duì)稱 f(x)為奇函數(shù)”。

注意：函數(shù)奇偶性首先要求，對(duì)定義中任意x，都有f(-x)=±f(x)，函數(shù)才有奇偶性。換言之，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)奇偶性存在的必要條件。

例1. 判斷函數(shù)f(x)=x2(x∈(-2，1]的奇偶性

錯(cuò)解：f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，即該函數(shù)為偶函數(shù)。

解析：上述錯(cuò)解只注意到了函數(shù)的解析式滿足條件f(-x)=f(x)，并沒有注意到函數(shù)的定義域。根據(jù)奇偶性定義，條件f(-x)=f(x)必須對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x(即所有x)均成立。但事實(shí)上，當(dāng)x=-時(shí)，f(-)=(-)2=()2≠f()，因?yàn)閒()根本不存在。所以，函數(shù)f(x)=x2(x∈(-2，1]不具備奇偶性，也即f(x)=x2(x∈(-2，1]是非奇非偶函數(shù)。

我們應(yīng)注意，在解決函數(shù)問題時(shí)，要先看定義域，這能使問題迎刃而解，但是不能忽視定義域。

二、函數(shù)奇偶性判定流程圖(本質(zhì)為算法)

在本流程圖中，由“f(-x)≠±f(x)”即可判定函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，那么，為什么還要繼續(xù)判定“f(-x)±f(x)=0或=±1”是否成立呢？事實(shí)上，我們?cè)趯?shí)際解題過程中，判定“f(-x)=±f(x)”是否成立，眼見也不一定為實(shí)。

例2. 判定函數(shù)f(x)=loga的奇偶性

解：先看定義域>0(同號(hào))(x-1)(x+1)>0x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。再看是否滿足條件f(-x)=loga與f(x)=loga看起來并不相等，此時(shí)如果貿(mào)然判斷f(x)為非奇非偶函數(shù)就錯(cuò)了。

事實(shí)上，f(-x)+f(x)=loga+loga=loga+loga=loga1=0，即f(-x)=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)。

三、函數(shù)奇偶性快速判斷法則及應(yīng)用

有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，上述的函數(shù)奇偶性判定算法雖然管用，但在解題中卻耗時(shí)耗力，并不太實(shí)用。事實(shí)上，我們?cè)陂L(zhǎng)期的解題實(shí)踐中，會(huì)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。若能將這些規(guī)律加以總結(jié)并證明、記憶，則會(huì)使我們解題的速度和準(zhǔn)確度有一個(gè)質(zhì)的飛躍。

1. 函數(shù)奇偶性快速判斷法則

(1)偶函數(shù)的和差積商均為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和差為奇函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)之積為奇函數(shù)；偶(奇)數(shù)個(gè)奇函數(shù)之積為偶(奇)函數(shù)。

(2)y=f [g(x)]g(x)為偶函數(shù) f [g(x)]為偶函數(shù)

g(x)為奇函數(shù) f [g(x)]奇偶性與f(x)相同

(3)冪函數(shù)之奇偶性①y=xn偶函數(shù) n=2k，k∈Z

奇函數(shù)n=2k+1，k∈Z

②y=x非奇非偶函數(shù)n=2k，k∈Z

偶函數(shù)m=2p，p∈Z

奇函數(shù)m=2p+1，p∈Zn=2k+1，k∈Z

(4)奇函數(shù)±偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)；

例外：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任一函數(shù)總可以寫成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。f(x)={f(x)+f(-x)]}(偶函數(shù))+{f(x)-f(-x)]}(奇函數(shù))

(5)奇函數(shù)y=loga(g(x)為奇)；y=；y=loga(x+)，y=

以上規(guī)律均是可以證明的，限于篇幅，我們僅為讀者證明較難的幾個(gè)規(guī)律。

例3. 證明：若g(x)為奇函數(shù)，則 f [g(x)]奇偶性與f(x)相同

證明：g(x)為奇函數(shù) g(-x)=-g(x)，

分類討論①若f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)f [g(-x)]= f [-g(x)]=

f [g(x)]

②若f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=f(x)f [g(-x)]=f [-g(x)]=- f [g(x)]

③若f(x)為非奇非偶函數(shù)，則f(-x)≠±f(x) f [g(-x)]=f [-g(x)]≠±f [g(x)]

④若f(x)為既奇又偶函數(shù)，則f(-x)=±f(x) f [g(-x)]=f [-g(x)]=±f [g(x)]

例4. 證明：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的f(x)，

f(x)={[f(x)+f(-x)]}(偶函數(shù))+{[f(x)-f(-x)]}(奇函數(shù))

證明：上述等式顯然成立，令g(x)=[f(x)+f(-x)]g(-x)= [f(-x)+f(x)]=g(x)，即g(x)=[f(x)+f(-x)]為偶函數(shù)；令h(x)=[f(x)-f(-x)]h(-x)=[f(-x)-f(x)]=-h(x)，即h(x)=[f(x)-f(-x)]為奇函數(shù)。

例5.證明：y=loga(x+)為奇函數(shù)

證明一：f(x)=loga(x+)定義域?yàn)镽，f(-x)=loga(-x+)=loga(-x+)，f(x)+f(-x)=loga(x+)+loga(-x+)=loga(x+)(-x+)=loga1=0 f(-x)=-f(x)，即y=loga(x+)為奇函數(shù)。

證明二(反函數(shù)觀點(diǎn))：y=loga(x+) ay=x+ay-x=，兩邊平方得a2y+x2-2xay=x2+1 2xay=a2y-1 x=，由此得出y=loga(x+)與y=互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，奇偶性相同，同為奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)。

又由ax=+知y=為奇函數(shù)，即y=loga(x+)為奇函數(shù)。

例6. 判定列下函數(shù)的奇偶性①f(x)= ②f(x)=x2+x

③f(x)=(+)x3 ④f(x)=

解：①f(x)=定義域?yàn)閇-2,2)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶函數(shù)。

②f(x)=x2+x，定義域?yàn)镽，y=x為奇函數(shù)，y=x2為偶函數(shù)，兩者相加，f(x)=x2+x為非奇非偶函數(shù)

③f(x)=(+)x3 ==x3 ，y=為奇函數(shù)，y=x3為奇函數(shù)，兩者相乘，f(x)=(+)x3為偶函數(shù)。

④f(x)===(2x+2-x)+2為偶函數(shù)

由例6可以看出，牢記上述快速判斷法則，對(duì)提高解題速度和準(zhǔn)確性非常重要。學(xué)生若能夠?qū)⒖焖倥袛喾▌t牢記于心，那么，在今后的考試中，對(duì)函數(shù)奇偶性的試題一定會(huì)成足在胸、游刃有余。

2. 函數(shù)奇偶性快速判斷法則的應(yīng)用

例7.F(x)=(1+)f(x)(x≠0)為偶函數(shù)，則f(x)為函數(shù)

解：g(x)=1+=為奇函數(shù)，乘積為偶函數(shù)，故f(x)為奇函數(shù)。

例8. f(x)=loga(x+) 為奇函數(shù)，則a=

解：f(x)=loga(x+) 為奇函數(shù)，即知2a2=1a=±，又a>0且a≠1a=。

例9. f(x)，g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)， f(x)+g(x)=ex+x，則f(1)=

解： f(x)+g(x) =ex+xf(x)==+xf(1)=+1。

(上接第111頁(yè))

例10. f(x)=x(ex+ae-x)是偶函數(shù)，則a=

解：由 f(x)=x(ex+ae-x)是偶函數(shù)，即知g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，即a=-1。

例11. f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a，b，c為常數(shù)，已知 f(-7)=7，則f(7)=

解析：題目已知 f(-7)=7，求f(7)，我們很容易想到利用函數(shù)奇偶性即解?？上Ш瘮?shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，要產(chǎn)生奇偶性，通過觀察即知，只需將-5移項(xiàng)至左側(cè)，即得f(x)+5=ax7+bx3+cx為奇函數(shù)。

然后換元，令g(x)=f(x)+5，則g(-7)=f(-7)+5=7+5=12g(7)=f(7)+5=-g(-7)=-12f(7)=-17。

例12. f(x)=最大值為M，最小值為m，則M+m=

。

解析：初見此題，我們解題的方案不外乎三種：①分式分離系數(shù)，使用平均不等式；②利用三角函數(shù)sinx的有界性；③求最值的通用辦法，求導(dǎo)。進(jìn)一步分析我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，求導(dǎo)太過繁瑣，雖然通用，但就本題而言不是最優(yōu)方案，而使用方案①②，第一步均可先分離系數(shù)。

f(x)===1+，此時(shí)，善于觀察的學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，2x+sinx為奇函數(shù)，x2+1為偶函數(shù)，函數(shù)g(x)=是一個(gè)奇函數(shù)。至此，本題豁然開朗，M+m=1+gmax(x)+1+gmin(x)，而奇函數(shù)g(x)=圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，gmax(x)+gmin(x)=0，即M+m=2。

通過解題，我們發(fā)現(xiàn)，此題的關(guān)鍵在于奇偶性的應(yīng)用?？傊?，妙用奇偶性，可以幫助我們更好地解決問題。