正三角形內(nèi)點(diǎn)與線的奧秘

黃正洪

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的所有科目中，我最喜歡探索和求解平面幾何，它能給人以無(wú)窮的樂(lè)趣.我相信同我志趣者都曾迷戀于此道之中，而樂(lè)不思蜀，而廢寢忘餐.當(dāng)然我們不能鼓勵(lì)和贊賞這種有點(diǎn)過(guò)為的“專(zhuān)一”，但我們還是要提倡這種孜孜不倦的求學(xué)精神.也只有進(jìn)入了一種忘我境界的學(xué)子和有了一種不撞南墻心不甘的精神，才有可能愛(ài)上這茫茫的學(xué)海，才有可能獻(xiàn)身這學(xué)海的茫茫.平面幾何圖形是通向無(wú)崖學(xué)海的一個(gè)看似平靜的港灣，但這個(gè)平靜的港灣隱含的奧秘卻能引誘人們好奇心靈的開(kāi)啟.若就《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2014年第1期的《圓內(nèi)共點(diǎn)弦定理》一文說(shuō)事，這其實(shí)就是過(guò)圓內(nèi)任意一點(diǎn)的弦與內(nèi)接多邊形之間的奧秘.若就《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2014年第3期的《與正方形有關(guān)的幾何習(xí)題的規(guī)律解析》一文說(shuō)事，這其實(shí)就是由任意四邊形與有意拓展出四個(gè)正方形的中心點(diǎn)的奧秘.總之，凡平面幾何圖形的點(diǎn)線面都有一定的奧秘可言，只是奧秘有隱藏的多少、大小、深淺的不同而已，當(dāng)然這些奧秘都是可供我們研討的課題，這些課題都是有待于我們?nèi)ネ诰蚝颓謇淼膶毑?只要我們有一定的耐性和求真的功底，只要我們有幾何前輩們據(jù)書(shū)立說(shuō)的那種堅(jiān)忍不拔的精神，在任何一個(gè)小的科學(xué)領(lǐng)域，在我們闖蕩和開(kāi)發(fā)的思維所及的范疇之內(nèi)，每一個(gè)青少年朋友都將會(huì)有所小成，要知道我們現(xiàn)在求證平面幾何習(xí)題所用的定理定義也都是幾何前輩們一點(diǎn)點(diǎn)、一點(diǎn)點(diǎn)從小處摳出來(lái)的，你看這些成就有多么的偉大啊.既然我們作出了探索學(xué)海中奧秘的決定，那么就讓我們從最典型的圓和最簡(jiǎn)單的正三角形這類(lèi)平面圖形開(kāi)始.只要你勇于面對(duì)學(xué)海中兇險(xiǎn)無(wú)比的隱流暗礁，只要你在苦累的求索工程中細(xì)心挖掘、篩選和萃取，只要你在萬(wàn)難面前鍥而不舍，你的老師和同學(xué)總有一天會(huì)豎起大拇指向你說(shuō)OK.為自己美好的未來(lái)而努力吧！我的青少年朋友！我希望我拋磚引玉的這一小段文字能促使你愛(ài)上我們的平面幾何，并由此而走上探索世間奧秘的深藍(lán)之路.

我們知道，正三角形的中心既是垂心又是重心更兼內(nèi)心，此三心共點(diǎn)是它有別于非正三角形的最重要特性，那么正三角形的中心與非心點(diǎn)之間、非心點(diǎn)與邊線之間、邊線與過(guò)特殊點(diǎn)的線段之間會(huì)隱藏何種奧秘呢？現(xiàn)在就讓我們對(duì)此來(lái)追蹤求跡：

一、設(shè)M是邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)（正三角形的中心是任意點(diǎn)中的特殊點(diǎn)，當(dāng)然也包含在這任意點(diǎn)之中，但邊線上的點(diǎn)和頂點(diǎn)則不包含于其中），過(guò)M點(diǎn)作該三角形三邊的垂線，則存在M點(diǎn)到三垂足之間的距離之和等

以上是正三角形中的與M點(diǎn)有關(guān)的線段的一些有趣的性質(zhì)（其間還有未開(kāi)采的寶藏），通過(guò)對(duì)這些有趣性質(zhì)的探索，我們對(duì)如何探索奧秘應(yīng)該有了初步的認(rèn)知，希望同學(xué)們能一步一個(gè)腳印地在生活和學(xué)習(xí)中去發(fā)現(xiàn)和解釋各種各樣的奧秘，在多問(wèn)幾個(gè)為什么、反復(fù)推度、仔細(xì)思考的日子里，你的知識(shí)慢慢就會(huì)增長(zhǎng)，你的水平慢慢就會(huì)提高.