攜手分類討論思想走進(jìn)中考數(shù)學(xué)

洪翠蓮

摘要：所謂“數(shù)學(xué)分類討論方法”，就是將問(wèn)題所涉及的所有對(duì)象依照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后逐類加以討論，最終得出正確的解答，這種方法稱為分類討論法.它既是一種邏輯方法，也是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法和解題的策略.這一思想方法的運(yùn)用已成為近年來(lái)中考的一大熱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：分類討論；思想方法；中考；解題的策略“分類討論”的問(wèn)題特點(diǎn)：

一：它具有明顯的邏輯特點(diǎn)而且覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考查；

二：同時(shí)解分類討論問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生有一定的分析能力，一定的分類技巧，有利于對(duì)學(xué)生能力的考查。

所以命題者往往能利用分類討論題來(lái)加大試卷的區(qū)分度，因而分類討論題近年備受命題者青睞。

需要進(jìn)行“分類討論”的問(wèn)題一般來(lái)講有兩類：

一：涉及代數(shù)或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問(wèn)題。

二：根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況一一解決問(wèn)題。

分類的方法：明確討論的對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確立分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；逐步進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。而同學(xué)們?cè)诮獯鸫祟悊?wèn)題時(shí),往往對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn),或者對(duì)分類的情況考慮不全,而導(dǎo)致這類試題的得分率不高.本文我就通過(guò)例析歸納中考數(shù)學(xué)的

幾道試題,旨在幫助同學(xué)們搞清這類問(wèn)題的常見(jiàn)解題思路以及策略,提高全面分析問(wèn)題的能力.

（1）由定義.數(shù)學(xué)運(yùn)算.或者字母系數(shù)導(dǎo)致的分類：

例1：（蘇州中考試題第14題）函數(shù)y=2x－1的自變量x的取值范圍是___________．

分析與解：此題考查的是二次根式定義與分式定義的復(fù)合

∴x－1≥0

x－1≠0 解得：x>1

例2：（湖北襄陽(yáng)中考第16題）關(guān)于x的分式方程mx－1+31－x=1的解為正數(shù)，則m的取值范圍是___________．

分析與解：此題考查的是分式方程解法同時(shí)得注意驗(yàn)根：

解：去分母：m－3=x－1∴x=m－2

∵m－2>0

m－2≠1 解得：m>2且m≠3

例3：（2011?南京）已知函數(shù)y=mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；

（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

分析與解：此題（2）是一道典型由字母系數(shù)引起的分類，受到m限制此函數(shù)可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)。

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1．

∴無(wú)論m為何值，函數(shù)y=mx2﹣6x+1的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx2﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2﹣6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．

綜上，若函數(shù)y=mx﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9．

總結(jié)：遇上此類題，我們應(yīng)從定義與運(yùn)算性質(zhì)或函數(shù)性質(zhì)等進(jìn)行分類，整合得出最后答案。

評(píng)注：字母系數(shù)的取值范圍問(wèn)題是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)問(wèn)方式有兩種

（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實(shí)數(shù)根”。

這都表明是二次方程，不需討論，但切不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零的要求。本例（2）是根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論。

（2）應(yīng)用題中限制條件導(dǎo)致的分類：

例4：（陜西第21題）

2011年4月28日，以“天人長(zhǎng)安，創(chuàng)意自然——城市與自然和諧共生”

為主題的世界園藝博覽會(huì)在西安隆重開(kāi)園，這次園藝會(huì)的門票分為個(gè)人票和團(tuán)體票兩大類，其中個(gè)人票設(shè)置有三種：

票得種類夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）單價(jià)（元/張）60100150某社區(qū)居委會(huì)為獎(jiǎng)勵(lì)“和諧家庭”，欲購(gòu)買個(gè)人票100張，其中B種票得張數(shù)是A種票張數(shù)的3倍還多8張，設(shè)購(gòu)買A種票張數(shù)為x，C種票張樹(shù)偉y

（1）、寫出Y與X之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）、設(shè)購(gòu)票總費(fèi)用為W元，求出W（元）與X（張）之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）、若每種票至少購(gòu)買1張，其中購(gòu)買A種票不少于20張，則有幾種購(gòu)票方案？并求出購(gòu)票總費(fèi)用最少時(shí)，購(gòu)買A,B,C三種票的張數(shù)。

分析與解：此題第（3）小題是道常見(jiàn)的由題目條件限制和實(shí)際意義限制引起的分類方案題。

解：（1）y=-4x+92

(2)w=60x+100(3x+8)+150(-4x=92)

w=-240x+14600

(3)由題意，得x≥20

92-4x＞0解之，得20≤x＜23

∵x是正整數(shù)，∴x可取20、21、22

∴共有3種購(gòu)票方案

∵r=-240＜0∴w隨著x的增大而減小，當(dāng)x=22時(shí)，w是取值最小

即當(dāng)A票購(gòu)買22張時(shí)，購(gòu)票的總費(fèi)用最少

∴購(gòu)票的總費(fèi)用最少時(shí)，購(gòu)買A、B、C三種票的張數(shù)分別為22,74,4

評(píng)注：實(shí)際應(yīng)用題中的分類，通常應(yīng)認(rèn)真審題從題中找出所有限制條件，同時(shí)再考慮是否要受實(shí)際

意義限制，兩者綜合下就可解題了。

（3）圖形不確定導(dǎo)致的分類：

例5：（福州中考第10題）

如圖，長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1，AB兩サ閽詬竦閔希若C也在格點(diǎn)上，以ABC為頂點(diǎn)的三角形面積ノ2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)（）A、2B、3C、4D、5シ治鲇虢猓禾角舐足某些已知條件的點(diǎn)是中考常見(jiàn)題。這類題構(gòu)思非常巧妙，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，學(xué)生求解此類題常會(huì)漏解，甚至無(wú)從下手。ゴ頌夤丶抓住C是格點(diǎn)，同時(shí)S⊿ABC=2下手，S⊿ABC=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗?底×高，∴底×高=4且C是格點(diǎn)。ァ嚳擲轡①底為2，高為2，如圖C1，狢2兩點(diǎn)。ア詰孜4，高為1，如圖C3，狢4兩點(diǎn)。プ酆希汗?fàn)N4點(diǎn)，故選（C）.ダ6（莆田第7題）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3,6，那么它的周長(zhǎng)為（）ァ嗀．15〓B．12〓C．12或15〓D．不能確定シ治鲇虢猓捍頌饈塹妊三角形中，因腰和底不確定需分類討論，解決此類題一般方法是先分類，再計(jì)算。ア偃艫孜3，腰為6，則三邊長(zhǎng)為：3、6、6。ア諶艫孜6，腰為3，則三邊長(zhǎng)為：6、3、3。ネ時(shí)運(yùn)用三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形：ァ3+6>6,6-3<3∴3、6、6可構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為3+6+6=15ビ幀6+3>3,6-3=3∴6、3、3不能構(gòu)成三角形（舍去）プ凵希罕咎獯鳶腹恃。ˋ）ダ7（湖北襄陽(yáng)中考第17題）ト繽4，在梯形ABCD中．AD∥BC，AD=6．BC=I6。E是〖TP10.TIF,5。1，PZ〗BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止〖FL)〗〖HT〗〖JZ〗〖HT2Y4〗〖MZ(1〗