簡單的線性規(guī)劃命題趨勢和突破方法

張亞飛

通過對(duì)歷年新課標(biāo)全國卷以及考試大綱的分析，我們很容易發(fā)現(xiàn)高考對(duì)線性規(guī)劃的考查已經(jīng)趨于穩(wěn)定。預(yù)計(jì)2015年高考對(duì)本屆的考查仍將以對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍的求解為主，題型以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，分值約為5分，是考生的得分主陣地。

一、歷年考題

①2010年新課標(biāo)全國卷文科11題。已知？荀ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（-1，2）、B（3，4）、C（4，-2），點(diǎn)（x，y）在？荀ABCD的內(nèi)部，則z=2x-5y的取值范圍是（ ）：A.（-14，16）、B.（-14，20） 、C.（-12，18）、D.（-12，20）。②2011年新課標(biāo)全國卷文科14題。若變量x、y滿足約束條件3？燮2x+y？燮96？燮x-y？燮9， 則z=x+2y的最小值為（ ）。③2012年新課標(biāo)全國卷文科5題。已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A（1，1）、B（1，3），頂點(diǎn)C在第一象限，如果點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，那么，z=-x+y的取值范圍是（ ）：A.（1-■，2） 、B.（0，2） 、C.（■-1，2） 、D.（0，1+■）。④2013年新課標(biāo)全國卷文科14題。設(shè)x、y滿足約束條件1？燮x？燮3-1？燮x-y？燮0，則z=2x-y的最大值為（ ）。⑤2014年新課標(biāo)全國卷文科11題。設(shè)x、y滿足約束條件x+y？叟ax-y？燮-1，且z=x+ay的最小值為7，則a=（ ）：A.-5、B.3、 C.-5或3、D.5或-3.

二、試題分析

①2010年新課標(biāo)全國卷文科11題，求z=2x-5y的取值范圍。②2011年新課標(biāo)全國卷文科14題，求z=x+2y的最小值。③2012年新課標(biāo)全國卷文科5題，求z=-x+y的取值范圍。④2013年新課標(biāo)全國卷文科14題，求z=2x-y的最大值。⑤2014年新課標(biāo)全國卷文科11題，求參數(shù)a的值。2010年、2012年考查的是目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，2011年、2013年考查的是目標(biāo)函數(shù)的最值，2014年根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值確定參數(shù)的值。通過以上高考試題的分析不難看出，高考要求考生理解二元一次不等式組的幾何意義，能準(zhǔn)確地畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，而后確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

三、命題意圖

通過以上題目的解答，可以看出線性規(guī)劃問題一般有三種題型。一是求最值，常考類型包括z=ax+by，z=ax-by，z=（x-a）2+（y-b）2，z=■ ；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值或取值范圍。由此不難預(yù)測，對(duì)目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)的幾何意義的理解和應(yīng)用仍將是2015年高考考察的重點(diǎn)，且有可能會(huì)加強(qiáng)與向量運(yùn)算、概率的結(jié)合。因此，應(yīng)給予充分重視。

四、突破辦法

解決線性規(guī)劃問題的主要方法是圖解法，利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟如下：

①作出可行域?？尚杏蚴遣坏仁浇M表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。具體方法是：將約束條件中的每一個(gè)等式當(dāng)作等式，作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集。確定的方法是：直線定界，特殊點(diǎn)定域。即注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線。若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)，若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取（1，0）或（0，1），然后將特殊點(diǎn)代入到不等式中，如果滿足則特殊點(diǎn)所在區(qū)域就是不等式表示的區(qū)域，如果不滿足，則取另外半面。

解決線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵步驟是在圖上完成的。所以，作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。

②作出目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l0.

③在可行域內(nèi)平行移動(dòng)直線l0，從圖（圖略）中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者有無窮最優(yōu)解，或者無最優(yōu)解。

④確定最優(yōu)解，從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值。確定最優(yōu)解時(shí)，若沒有特殊要求，一般為邊界交點(diǎn)。若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，若我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)做適當(dāng)調(diào)整，其方式應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)直線的距離為依據(jù)，在直線附近尋求與直線距離最近的整點(diǎn)，但必須在可行域內(nèi)尋找。同時(shí)，考慮到作圖畢竟還是會(huì)有誤差，假若圖上的最優(yōu)點(diǎn)并不明顯易辨時(shí)，不妨將幾個(gè)有可能是最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來，然后注意檢查，以“驗(yàn)明正身”。

總之，解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)（或邊界上的點(diǎn)），代入目標(biāo)函數(shù)中，求出對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解。

（河南省洛陽市新安縣教師進(jìn)修學(xué)校）