淺談變式訓練

田青莉

摘要：中考數學復習的目的是在短時間內幫助學生熟練地掌握所學知識，并能運用知識解決問題。筆者結合自己的教學經驗與摸索探究，認為“變式訓練”教學是完成這一目標的良好方法。

關鍵詞：一題多解；一法多用；一題多變；變式訓練

中圖分類號：G633.6 獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0158

變式訓練是我國中學數學教學中的一種重要的教學策略，是我國數學教學的特征之一。變式教學在提高學生的學習興趣、培養(yǎng)學生的數學思維和數學解題能力、提高教學質量方面有著不可忽視的作用。特別是在初中數學復習過程中，它能使知識系統(tǒng)化、條理化、網絡化，能使學生對知識進行整體構建，在有限的時間內高效地完成學習內容，適合學生的發(fā)展性需要。以下是筆者在教學實踐中總結出的變式訓練的幾種方法：

一、一題多解

一題多解就是從不同的角度、不同的側面分析同一問題中的已知條件和題目中所隱含的條件，運用所學知識使條件和結論之間建構為某一數學模型，用不同的解法得到相同結果的思維活動過程。在九年級緊張的復習教學中適當地安排一題多解，既可以加大課堂容量，又可以使學生加深鞏固對所學知識點及其內在聯系的理解，掌握各部分知識之間的相互轉化，擴大學生的視野，激發(fā)學生的探索欲望，滿足不同層次學生的發(fā)展需求，從而解決“吃不飽”和“吃不了”的問題，提高課堂教學的效果。

例如，一個圓錐形麥堆，底面周長是25.12米，高是3米，把這些小麥裝入一個底面直徑是4米的圓柱形糧囤內正好裝滿，這個圓柱形糧囤的高是多少米？

筆者在引導教學時，首先把問題情景化，在此基礎上，引導、討論、分析這道題解題的關鍵、涉及到的知識以及圓錐、圓柱體積公式的應用。在筆者的鼓勵下，學生運用小組合作研究，匯報出三種不同的解法：

解法1. 由于圓柱糧囤的體積和麥堆的體積相等，于是先求出麥堆的體積后直接被圓柱糧囤的底面積除，就會得到糧囤的高。

解法2. 根據麥堆的體積和圓柱糧囤體積相等的關系列方程解。

解法3. 由于糧囤和圓柱體積相等，依據圓柱體積=πr2h可以推出，半徑的平方r2和圓柱高h成反比例關系。據此原理可以列方程解題。

最后，學生討論哪種方法是解決問題的最佳方法，在這樣的過程中，由一個例題創(chuàng)情境，進行多元化解決，使課堂達成了最佳的教學效果。

二、一法多用

九年級復習時間短，內容多，教材中知識板塊的安排不容易在學生的頭腦中形成體系，教師應針對復習內容對教材的各章知識點進行整合。因此，在教學中，教師要善于以典型例題或習題為源問題，通過變式形成同類的異型，把它們集中在一起，對其題目的立意、解題思路、解題策略和易產生的誤區(qū)等進行歸納總結，使學生形成一個共同的認知體系。這可以使我們對一個知識點的某一個側面的考查變?yōu)槎鄠€方面的考查，變單一知識點的考查為多個知識點的考查，以一題的解答達到解決一類題的學習效果。

例如，函數關系式的求法，無論是反比例函數、一次函數還是二次函數，都可以用待定系數法。

1. 待定系數法的定義

一般地，在求一個函數時，如果知道這個函數的一般形式，可先把所求函數寫為一般形式，其中系數待定，然后根據題設條件求出這些待定系數。這種通過求待定系數來確定變量之間關系式的方法叫做待定系數法。

2. 利用待定系數法解決問題的步驟

（1）確定所求問題中含有待定系數的解析式。

（2）根據解析式列出含有待定系數的方程（組）。

（3）解方程（組）或者消去待定系數，從而使問題得到解決。

例如，點A（1，2），點B（2，5）在一次函數的圖像上，求一次函數的解析式。

設一次函數解析式為：

∵一次函數圖象過點 和點

∴關于K，B的方程組為

∴K= ，B

∴一次函數解析式為：

即：求一次函數Y=Kx+B的解析式，關鍵是求出待定系數

和 的值，由已知條件（一次函數圖像上兩點的坐標），列出關于 的方程組，就可以求出一次函數的解析式。

類似地，二次函數的解析式是 ，要寫出解析式，需求出 的值，為此，可以由二次函數圖像上 個點的坐標，列出關于 的三元一次方程組，求出三個待定系數 的值。

再如：一個二次函數的圖像經過點（-1，10），（1，4），（2，7），求這個二次函數的解析式。

設二次函數解析式為：

∵二次函數圖像過 、 、 三點

∴關于a，b，c三元一次方程組為：

∴a= b= c=

∴二次函數解析式為：

即：求二次函數y=ax2+bx+c的解析式，關鍵是求出待定系數 ， ， 的值，由已知條件（二次函數圖像上三點的坐標），列出關于 的方程組，求出三個待定系數 的值就可以寫出二次函數的解析式。

三、一題多變

教科書凝聚了在教學教材研究方面造詣深厚的眾多專家教授的心智，是一線教師平時教學的基礎和根本，但教材是“物化”的東西，教師是“人師”，不應該“教教材”，而是要“用教材教”，教師應考慮學生間的差異性和多樣性，注意滿足不同學生的不同需求。新課標指出“必須關注學生的主體參與，師生互動”，在復習過程中要讓不同層次的學生有不同的表現，不一樣的收獲。在教學中，教師要精心備課，將各知識點串珠成線，連線成面，形成體系，對圖形或題目中的數字（文字）進行簡單的變式，雖然圖形和題目的敘述發(fā)生了變化，但解決問題的核心知識點卻是一致的，都是運用相同的定理來實現的，不同層次的學生均能下手嘗試，在不斷的參與中，學生可以體驗到成功，收獲到喜悅，增加探索知識的信心和興趣，從而積極尋求解題的規(guī)律和方法。

九年級復習的時間較短，針對時間緊、任務重的特點，教師可以結合所帶學生的具體情況，進行一題多變。

例如：證明一條直線是圓的切線是中考23題必考的一個題目，通過不同的題目，讓學生掌握切線的證明方法。

如圖所示，已知AB是圓O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD。

（1）求證：直線CE是圓O的切線。

（2）求證：AC2=AB·AD

證明：（1）連接OC，

因為OA=OC

所以∠OCA=∠OAC。

又因為AD⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因為AC平分∠BAD，

所以∠OAC=∠CAD，

所以∠OCA+∠ACD=90°，即OC⊥CE，

所以CE是圓O的切線。

（2）連接BC，

因為AB是圓O的直徑，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因為∠OAC=∠CAD，

所以△ABC∽△ACD，

所以■=■

即AC2=AB·AD

再如：已知如圖，以等邊三角形ABC的 一邊AB為直徑的圓O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F，求證：DF為圓O的切線。

證明：

連接OD，則△AOD是等邊三角形。

所以∠ADO=60°。在RT△DFC中，

因為∠C=60°，

所以∠CDF=30°，

所以∠FDO=180°-（∠CDF+∠ADO）=180°-（30°+60°）=90°

而OD又是圓O的半徑。

所以DF是圓O的切線。

數學課變式訓練是數學習題講評的有效方式。針對數學這門學科的特點，講評習題是重頭戲。如何通過習題使學生的知識得到充分的鞏固與應用，變式教學是一種有效的方式。在對習題的變式過程中，對學生的思維定勢提出了嚴峻的挑戰(zhàn)，引發(fā)了學生對同一問題進行多角度的探索與思考，從而培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，擺脫了教條主義、形式主義和你“教”我“學”的被動局面。通過習題的變式教學，學生可以形成由數學的基本思想、基本方法和基本態(tài)度所構成的認知體系以及學會用數學的思維方式去考慮問題、處理問題的自覺意識或思維習慣。

（作者單位：陜西省渭南市臨渭區(qū)故市二中 714000）