命題邏輯中推理有效性的判定

何剛

亞里士多德創(chuàng)立邏輯學(xué)科以來(lái)，邏輯與推理就密不可分，亞里士多德說(shuō)：“一個(gè)推理是一個(gè)論證，在這個(gè)論證中，有些東西被規(guī)定下來(lái)，由此必然地得出一些與此不同的東西?！盵1]可以說(shuō)，這段話是歷史上最初的對(duì)于推理的定義。它描述的是一個(gè)有三部分組成的推理結(jié)構(gòu)：第一部分是前提（被規(guī)定下來(lái)的東西），第二部分是結(jié)論（一些與此不同的東西），第三部分是從前提到結(jié)論的推理過(guò)程（必然地得出）。我們可以用現(xiàn)代邏輯的方法刻畫出亞氏的推理結(jié)構(gòu)。

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這樣的推理結(jié)構(gòu)有一種必然得出的性質(zhì)。雖然沒(méi)有明確說(shuō)出什么是“必然地得出”，但是從他的論述可以看出是符合三段論的有效式，從真前提一定得出真結(jié)論。正確的形式下，真前提必然的出真結(jié)論。這正反映了演繹推理的實(shí)質(zhì)。邏輯與推理相關(guān)，推理與演繹相關(guān)，演繹與必然性相關(guān)，這都說(shuō)明了邏輯和推理的有效性的關(guān)系。

邏輯是關(guān)于思維形式及其結(jié)構(gòu)的學(xué)科，那么思維形式結(jié)構(gòu)可以保證總真前提必然得出真結(jié)論，在這種邏輯形式中前提真可以保證結(jié)論的真。我們用命題邏輯的方法來(lái)刻畫思維形式的這種有效性或保真性，即通過(guò)一定的判定方法可以確定一個(gè)推理是命題邏輯系統(tǒng)中是否為重言式。我們知道，一個(gè)推理的形式可以刻畫為一個(gè)蘊(yùn)含式，蘊(yùn)含式是在真值的層面上反映推理的過(guò)程，前件是前提的合取，后件是結(jié)論。我們由推理有效性的定義可知，一個(gè)命題推理是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)不可能出現(xiàn)前件真而后件假的情況，即這個(gè)推理的形式是重言蘊(yùn)涵式。所以，判定一個(gè)推理是否有效，在語(yǔ)義層面上，就是判定它的真值形式是否為一重言式。這樣的話，命題推理有效性的判定，就轉(zhuǎn)化為對(duì)推理真值形式是否為重言式的判定。下面就從真值形式的角度，分別介紹真值表方法和簡(jiǎn)化真值表在判定推理有效性中的使用方法。邏輯作為一門工具性學(xué)科，理論的把握和技能的訓(xùn)練同樣重要，這四種判定方法就是作為一種判定推理有效性的技術(shù)手段，對(duì)于邏輯應(yīng)用的深入具有重要意義。

一、真值表方法

真值表方法是從真值形式的層面來(lái)判定一個(gè)推理的有效性，適用范圍是命題邏輯中的推理形式，分析的基本單元是命題，通過(guò)給命題以不同的真值賦值，運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞的邏輯性質(zhì)來(lái)刻畫推理的有效性。運(yùn)用真值表方法首先需要構(gòu)造一個(gè)推理的真值形式，構(gòu)造真值形式的步驟是：第一：確定命題變項(xiàng)的數(shù)量，就是在一個(gè)推理形式中有多少不同的原子命題；第二，通過(guò)表格列出命題變形的真值組合情況，任一命題變項(xiàng)的真值情況有兩種，對(duì)于n個(gè)命題變項(xiàng)的取之情況有2n組，相應(yīng)的列出的真值表中的真值組合情況就有2n行；第三，運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞的邏輯性質(zhì)，相應(yīng)于命題變項(xiàng)的各組取值，計(jì)算出真值形式的真值，真值形式的取值和命題變項(xiàng)真組合的情況是對(duì)應(yīng)的，有多少種命題變項(xiàng)的真值組合情況就有多少種真值形式的組合情況；第四，做出完整的真值表，查看真值表中的最后一列即真值形式的取之情況，如果全部為真，則這個(gè)推理形式是重言式。

二、簡(jiǎn)化真值表

真值表方法對(duì)于命題邏輯中的推理是一種能行的判定方法，就是說(shuō)對(duì)于任一真值形式，我們都可以畫出真值表來(lái)判定這一真值形式是重言式、矛盾式或可真式。真值表方法作為一種能行的判定方法，對(duì)于所有命題邏輯中的推理都可以判定其有效性。但是在日常生活和科學(xué)研究的推理中，有的推理過(guò)程冗長(zhǎng)，推理中命題變項(xiàng)的數(shù)目可能很多，在這樣的推理中，真值表方法也是可以的判定的，但是在技術(shù)操作的層面上過(guò)不夠簡(jiǎn)便，例如如果出現(xiàn)10個(gè)命題變相，相應(yīng)的真值表就有1024行，操作的現(xiàn)實(shí)性非常小。而簡(jiǎn)化真值表是一種技術(shù)上較為簡(jiǎn)便的能行判定方法，也成為歸謬賦值法，主要用于判定一真值形式是否為重言式。而對(duì)于真值形式的矛盾式和可真式的判定，簡(jiǎn)化真值表就沒(méi)有真值表那樣的適用范圍。而對(duì)于判定命題邏輯中推理的有效性而言，簡(jiǎn)化真值表方法或歸謬賦值法是一種能行的判定方法，運(yùn)用歸謬賦值法可以判定推理的有效性。

對(duì)于直接判定推理形式的方法，可能過(guò)程比較冗長(zhǎng)，技術(shù)操作難度大，我們可以通過(guò)間接的方法來(lái)判定推理的有效性。“歸謬賦值法的基本思想是這樣的：為了判定一真值形式是否為重言式，我們可以假定它不是重言式，即至少有一組賦值似的該真值形式的取值為假，一句這個(gè)假設(shè)來(lái)分別給各個(gè)命題變項(xiàng)賦值。在賦值的過(guò)程中，如果對(duì)一個(gè)命題變項(xiàng)即賦真值又賦假值，違背了邏輯思維規(guī)律的同一律，這說(shuō)明原來(lái)的假設(shè)是不成立的，即所要的判定的真值形式不可能為假，因此，只能是重言式，如果在賦值過(guò)程中并沒(méi)有矛盾出現(xiàn)，也就說(shuō)明可以找到一組賦值使得該假設(shè)為真，即該真值形式不是重言式?！盵2]

推理有效性的判定對(duì)于邏輯具有重要意義。前面已經(jīng)指出，在命題邏輯中，命題推理的真值形式是一蘊(yùn)含式，因此在真值形式的判定中，判定蘊(yùn)含式是否為重言式具有特別重要的地位。

三、二者的比較

本文主要介紹了真值表方法和簡(jiǎn)化真值表方法在判定命題邏輯中推理有效性的運(yùn)用，當(dāng)然，還有其他的方法也可以判定推理的有效性，比如范式方法、真值樹(shù)方法等等。真值表方法和簡(jiǎn)化真值表方法在邏輯推理有效性的判定中各有所長(zhǎng)，真值表方法作為一種能行的判定命題邏輯中推理有效性的方法，可以判定所有的真值形式是否為重言式、矛盾式、和可真式，而簡(jiǎn)化真值表方法雖然也是一種能行的判定推理有效性的方法，在技術(shù)操作層面比較便捷可行，但是在適用范圍上不及真值表，只能判定任一推理形式是否為重言式，不能判定是否為矛盾式和可真式。真值表方法和簡(jiǎn)化真值表方法是命題邏輯中推理有效性判定基本方法，對(duì)于這些理論和技術(shù)的掌握對(duì)于邏輯及其推理有效性會(huì)有更深層次的理解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳慕澤，于俊偉.數(shù)理邏輯基礎(chǔ)---一階邏輯與一階理論[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2003

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【注釋】

[1]Aristotle.The works of Aristotle.vol.1.100a25---27.

[2]陳慕澤，于俊偉.數(shù)理邏輯基礎(chǔ)---一階邏輯與一階理論[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2003：P34