運用數(shù)形結(jié)合思想解數(shù)學(xué)題的作用初探

張育輝

想要提高數(shù)學(xué)成績就要對數(shù)學(xué)中解題方法掌握清楚，而數(shù)形結(jié)合的思維方式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到，下面就數(shù)形結(jié)合對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的作用具體描述。

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老，也是最基本的研究對象，由于“數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，將數(shù)與形的這種關(guān)系稱為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難人微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分離萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離?！薄皵?shù)”與“形”是事物的兩種特性，數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思維方式，它的作用就是將不具體的數(shù)學(xué)語言，與具體直觀的圖像語言結(jié)合起來。通過圖像的直觀明了來幫助純代數(shù)的運算，或者是將純代數(shù)運算的結(jié)果反映圖像的特性，這就是我們常說的“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”。通過數(shù)形結(jié)合的方式，可以將化繁為簡，化抽象為具體，用最簡單有效的方式來解決問題，達到優(yōu)化解題思路的目的。仔細(xì)觀察這些年的中高考試卷不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)這門學(xué)科中數(shù)形結(jié)合的思維方式是貫穿了整個初高中教學(xué)過程的。適當(dāng)運用數(shù)形結(jié)合的思維方式能給考生節(jié)約不少考試時間，省事省力有效的方法可起到事半功倍的效果。

二、數(shù)形結(jié)合的運用

中學(xué)數(shù)學(xué)中的知識點大致可以分為；純粹的代數(shù)知識（方程式、不等式、函數(shù)等）；純碎的幾何知識（平面幾何、立體幾何、多面體幾何）；還有將代數(shù)與圖像結(jié)合的數(shù)形結(jié)合的知識（解析幾何）。

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，以下幾個數(shù)學(xué)問題在解題過程中運用了數(shù)形結(jié)合的思想：

1. 解決集合問題。在集合運算中，若碰到較抽象的集合問題常常借助于數(shù)軸、Venn圖等解題方式，來解決集合中交集、并集、補集的運算，若能從直觀圖形上獲取信息，那么就能減少解題時間，使運算更加簡便。

2. 解決函數(shù)問題。函數(shù)中運用圖像進行運算輔佐的情況很常見，也可以說數(shù)形結(jié)合的思維方式是解決函數(shù)問題的主要途徑。比如：二次函數(shù)、拋物線、投籃時籃球的運動軌跡等。函數(shù)的運算結(jié)果可以賦予圖形特性，圖形的直觀明了也可以輔助函數(shù)的運算，這是數(shù)形結(jié)合的有利體現(xiàn)。

3. 解決方程與不等式的問題。在解決復(fù)雜的不等式問題時，可以將方程的兩個有效根看作是兩個特殊點，它們在圖形上是圖像和坐標(biāo)軸的兩個交點。在解決不等式的問題時，首先理清思路，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，找到函數(shù)圖像中幾個“特殊點”，再分析特殊點的含義，區(qū)間范圍，找到解題的方向。

4. 解決三角函數(shù)問題?！胺匠獭迸c“函數(shù)”是代數(shù)的兩大方面，而三角函數(shù)又是函數(shù)的其中一種特殊函數(shù)。三角函數(shù)最常見的問題就是確定其單調(diào)區(qū)間，或者是將兩個三角函數(shù)在同個單調(diào)區(qū)間相比。這種問題通常也是借助于單位圓或者三角函數(shù)圖像來輔助解題，直觀的圖像有時可以直接告訴你答案。所以三角函數(shù)中運用數(shù)形結(jié)合思想的情況也是很常見的。

5. 解決線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是一種處于不等式和直線方程結(jié)合點上的特殊情況，是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和熟練運用數(shù)形結(jié)合能力的重要內(nèi)容，也是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。它主要是在限定條件的前提下對于目標(biāo)函數(shù)進行“最值問題”的求解，若單從代數(shù)方面著手會相當(dāng)困難，這就需要數(shù)形結(jié)合的輔佐，線性規(guī)劃的求解方式比較單一，數(shù)形結(jié)合是最常見也是用處最廣泛的線性規(guī)劃求解方式。

6. 解決數(shù)列問題?？梢詫?shù)列看做是一種特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），所以數(shù)列就可以用圖象來表示。用圖像對數(shù)列的規(guī)律性進行觀察，可以直觀地看出這個數(shù)列的各種特性（定義域、值域、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列），這樣就可以將數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化到圖形中來解決。

7. 解決解析幾何問題。數(shù)形結(jié)合的思維方式貫穿整個解析幾何的運算，主要是根據(jù)問題的具體形式，將問題本身的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變成圖形形式，或者是將圖形問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式，將問題簡單化、直觀化、具體化，從而解決問題?；蛘咴谟龅絾螐拇鷶?shù)方面求解很困難的問題時就可以將問題轉(zhuǎn)換到圖形當(dāng)中，觀察圖形找到幾個“特殊點”，再經(jīng)過計算和推理，便可以得出需要的代數(shù)結(jié)論。在解決解析幾何的問題時，要理清解題思路，在題干的蛛絲馬跡中尋找自己需要的信息，再將這些信息代入解析幾何的思維方式中，用圖像的點、線、面等性質(zhì)來輔佐最終的代數(shù)運算。

8. 解決立體幾何問題。立體幾何是在三維空間的基礎(chǔ)上建立的一種新的幾何模型，它具有平面幾何所不具有的空間性質(zhì)。對于立體幾何的運算中，通常建立一個坐標(biāo)軸，將幾何圖像中的點、線、面代入坐標(biāo)軸中，賦予他們涵義。再運用圖像之間的相互聯(lián)系，將圖像問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進行解決。

9. 解決絕對值問題，絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要概念，也是學(xué)生難以理解掌握的問題之一，因絕對值具有非負(fù)性，所以可以對絕對值的問題采用數(shù)形結(jié)合的方式來解決，比如：畫數(shù)軸，根據(jù)絕對值的性質(zhì)（一點到另一點的距離）得到一個范圍，從而解出絕對值。

三、運用數(shù)形結(jié)合時需要注意的問題

在運用數(shù)形結(jié)合的思維方式時也有需要注意的問題：第一，要正確理解題干的意思，合理把握題干重點，對于圖形中點、線、面的意義要明確，運用所學(xué)的概念和運算法則，適當(dāng)轉(zhuǎn)化問題；第二，對于參照物的設(shè)定要合理，建立“數(shù)”“形”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系時要合理利用參照物的性質(zhì)；第三，對于參照物來說取值范圍要選取得合理，合題。