幾何變換在初中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用

蔡春華

歐式幾何的注重點是靜止的圖形性質(zhì)，大多以相對孤立的定理出現(xiàn)。然而事物運動是客觀存在的，相互作用、相互聯(lián)系。正確認(rèn)識到客觀世界中圖形的性質(zhì)，在幾何解題過程中要學(xué)會變化角度研究圖形，適當(dāng)?shù)剡M行幾何變化，才能發(fā)現(xiàn)題目中隱含的條件抓住問題的關(guān)鍵，使得問題得以解決。初中幾何變化主要包括平移變換、翻折變換（對稱變換）和旋轉(zhuǎn)變換，通過觀察和想象把握圖形運動的本質(zhì)找到不變量，從而簡化做題。本文旨在通過論述幾何變化的意義和各具體變換的應(yīng)用幫助學(xué)生更好地學(xué)好初中平面幾何知識。

一、幾何變換的意義

1. 有利于對幾何圖形的認(rèn)識

平面幾何教學(xué)過程中，利用幾何變換有助于對平面幾何圖形的認(rèn)識和理解。初中平面幾何知識多是基礎(chǔ)幾何，教師可以從基本圖形變換過程中體現(xiàn)圖形性質(zhì)，提高學(xué)生對基礎(chǔ)圖形結(jié)構(gòu)特點的認(rèn)識，加深對圖形變換的理解，拓展學(xué)生從更高的角度認(rèn)識和分析幾何問題。不僅能夠活躍學(xué)生思維，也能運用幾何變換觀點解決平面幾何問題，提高平面幾何教學(xué)質(zhì)量。

2. 有利于提高觀察和推理能力

做平面幾何題目時，條件往往比較隱晦，很多學(xué)生找不到突破點。其實不然，平面幾何比起立體圖形往往更為形象、直觀、全面，認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合教材知識點利用直觀感知能力，正確運用圖形翻折、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等使靜態(tài)圖形動起來探索圖形特征，往往輕易找到不變量實現(xiàn)順利解題。所以幾何變換的運用很大程度抽象了幾何概念、幾何方法，開拓了學(xué)生創(chuàng)新性思維，提高了學(xué)生直觀感知能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維和推理能力。

3. 有利于提高學(xué)生思維的敏銳性

平面幾何題型中，幾何元素相對分散、孤立，適當(dāng)?shù)膸缀巫儞Q可以使幾何元素相對集中，容易把握幾何元素之間的聯(lián)系。利用幾何圖形性質(zhì)，化一般圖形為特殊圖形、化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形等等逐漸把隱性條件顯現(xiàn)出來得以使用，找到不變量和變化量及其關(guān)系變化，從而找到解題突破點順利解題。此階段中，環(huán)環(huán)相扣，充分培養(yǎng)和提高了學(xué)生思維的敏銳性和靈活性。

二、幾何變換的具體應(yīng)用

1. 平移變換

平移變換中，不改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置。利用平移圖形大小和形狀的不變性和圖形位置的改變性，能夠把復(fù)雜問題簡單化特別是解決零散圖形求值問題。

【例題】如圖1，某小區(qū)有一塊長42m、寬20m的矩形草坪，現(xiàn)要在草坪中間鋪設(shè)一橫兩縱三條等寬的甬道，若鋪設(shè)后草坪的面積為760m2，求通道的寬。

【分析】此類型題目一般解題方法是設(shè)甬道的寬為x米，草坪的長為（42-2x）米，寬為（20-x）米，根據(jù)總面積減去空白部分的面積，可列以下方程：42×20-2×20x-42x+2x2=760，然后進行求解、檢驗，但是從解題過程不難看出這樣很容易列錯式子，解錯答案。如果當(dāng)題目中甬道不是規(guī)則圖形而是曲形（如圖2），這種方法就有局限，式子很難列出來。如果利用平行變換解題，將六塊草坪平移拼接到一起形成新的矩形來作答（如圖3），問題就變得簡單，當(dāng)然也適用不規(guī)則圖形。

2. 旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是將圖形中某一部分繞某點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度的變形模式，是從運動角度理解幾何圖形的手法。旋轉(zhuǎn)始終保持圖形全等，能保持原有圖形性質(zhì)卻又能組成新的有利論證的圖形。

【例題】如圖4，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，PA=1，PB=2，PC=■，求∠APC的度數(shù)。

【分析】PA、PB、PC不在一個三角形內(nèi)，就不能有效的用到已知條件，可以把△APC順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B。由于AP=AP′，∠PAP′=60°，不難得到△APP′為等邊三角形，且由勾股定理易求△PP′B為直角三角形，則∠AP′B=∠APC=150°。

通過這道題可以看出，旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的線段跟角集中到新的三角形中，起到轉(zhuǎn)化作用。

3. 翻折變換（對稱變換）

對稱變換就是通過作關(guān)于某一直線或點的對稱圖，對稱到另一個位置上，是分散的條件集中。

【例題】如圖5，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，已知AB=6，BC=8，求BF的值？

【分析】利用對稱變換的性質(zhì)，可得出ED=AB，∠EBD=∠CBD，易求得∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，再由勾股定理易求出BF值。

新課改后，初中數(shù)學(xué)教學(xué)將幾何與代數(shù)知識劃分得更加清晰，平面幾何所占比例愈來愈重。合理運用幾何變換摸索圖形性質(zhì)和特征進行解題，對增強學(xué)生創(chuàng)新性思維，加快解題速度和效率，提高初中教學(xué)質(zhì)量有很大的幫助。