淺析高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的新變化

王加義

摘要：三角函數(shù)歷來是高考數(shù)學(xué)的重中之重，在主觀題和客觀題上均會以多種形式出現(xiàn)。它除了具有一般函數(shù)的性質(zhì)外，還具有一些獨特的性質(zhì)，如周期性、對稱性，因此，三角函數(shù)涉及的題型及解題方法在不斷發(fā)生著變化，并獨具新意。這一知識點在高考中保持并占據(jù)著重要位置，本文結(jié)合往年高考真題，對三角函數(shù)的特點及變化進行分析。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；變化

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0144

一、前言

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同樣也是高考的熱點，其內(nèi)容豐富、公式眾多、方法靈活。高考考查的內(nèi)容包括：三角形中的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用，這些對考生分析問題和解決問題的能力要求較高。本文從歷年真題出發(fā)，分析了高考中三角函數(shù)這一熱點的新變化。

二、高考中三角函數(shù)的考查特點

每年三角函數(shù)的考查內(nèi)容都有所不同，但對近幾年高考中出現(xiàn)的三角函數(shù)題型進行仔細分析和總結(jié)，我們就會發(fā)現(xiàn)高考對于三角函數(shù)的考查具有一定的規(guī)律，即在考查內(nèi)容、分值、題量這三方面保持穩(wěn)定?？碱}中除了對內(nèi)容的考查外，都側(cè)重考查學(xué)生的計算能力、演繹推理能力、綜合解決問題的能力等。

當(dāng)然每年的高考都會出現(xiàn)新的變化，主要體現(xiàn)在出題的新意，往往以新穎的形式出現(xiàn)一些新的題型，特別是一些創(chuàng)新型問題，主要考查學(xué)生對重要數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，以及考試時對自己心態(tài)的調(diào)整。解決這些問題有一把“利劍”，那就是特殊化方法。特殊化方法的解題依據(jù)是，題目所敘述的一般情形成立，則對特殊情形也應(yīng)該成立，若不成立，則必然選項是錯誤的。特殊化方法一般有賦特殊值、特殊函數(shù)等。雖然三角函數(shù)內(nèi)容豐富、性質(zhì)廣泛、產(chǎn)生的問題多樣，但學(xué)生只要掌握了其基本內(nèi)容，就能很好地利用。全國實行新課程改革以后，高中數(shù)學(xué)增添了很多與現(xiàn)代生活密切相關(guān)，和當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展密切聯(lián)系的新內(nèi)容，這些內(nèi)容時代性強、應(yīng)用性廣，自然會吸引高考命題者更多關(guān)注的目光。

三、高考中三角函數(shù)的新題型

1. 有關(guān)三角函數(shù)的定理

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中所涉及到的一種非常重要的函數(shù)，它屬于初等函數(shù)中的一類函數(shù)。三角函數(shù)的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。三角函數(shù)一般情況下是在平面直角坐標系中來進行定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種定義則是在直角三角形中，但這種定義并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系。它包含六種基本函數(shù)：正切、余切、正弦、余弦、正割、余割。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。此類題側(cè)重考查課本上的基本知識，主要是三角函數(shù)的公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)等，要求學(xué)生掌握課本上的知識精髓，不但要知其然，還要知其所以然。引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和鞏固。

2. 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

在高考中，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是對三角函數(shù)考查的重點內(nèi)容。三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)具有很強的實際作用。其圖像和性質(zhì)具有綜合性、靈活性，是學(xué)生解決生活中實際問題的工具，同時對于學(xué)生升入高等學(xué)府能否學(xué)習(xí)好高等數(shù)學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)有著決定性的作用，所以高考題中考查這一類內(nèi)容的比較多。順應(yīng)素質(zhì)教育的要求，近幾年的高考降低了對三角變換的考查，那么必然會加大對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查力度，進而使三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)成為高考的重點和熱點以及主要題型。

3. 三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用

近幾年的高考側(cè)重對學(xué)生能力的考查，往往在數(shù)學(xué)知識的交匯點設(shè)計題型，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。此類問題主要考查三角函數(shù)的最值、恒等變換、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)以及與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)的綜合問題，如與數(shù)列、不等式、解析幾何等相結(jié)合，多為解答題。而三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點。三角函數(shù)和數(shù)列的主要考查內(nèi)容是數(shù)列基礎(chǔ)知識、三角函數(shù)的最值問題，同時考查了學(xué)生們分析問題、解決問題的能力。

4. 三角函數(shù)的求零點問題

這類題考查的主要內(nèi)容是三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、解題要點是：根據(jù)考題的特點合理運用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(值域、單調(diào)性等)進行判斷，或直觀觀察并作出判斷。

5. 有關(guān)三角函數(shù)的定積分問題

此類題考查的內(nèi)容主要是三角函數(shù)在定積分中的應(yīng)用。解題的要點是正確且靈活地運用定積分公式及三角函數(shù)求導(dǎo)的逆用。定積分是新課標新增的內(nèi)容，有著廣泛的應(yīng)用，這是考查三角函數(shù)的新題型，這類題型難度比較低，估計今后也會成為高考的發(fā)展方向。另外，新課標引入了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)作為工具往往與三角函數(shù)結(jié)合在一起進行考查。解決此類問題的要點是理解求導(dǎo)的幾何意義并熟記三角函數(shù)求導(dǎo)公式。這是今后三角函數(shù)考查的一個重要方向，也是高考的重點。

四、結(jié)束語

高考命題通常以突出能力考查為主旨，側(cè)重于學(xué)生對三角函數(shù)綜合性和應(yīng)用性的考查，在知識的交叉點設(shè)計綜合類試題，不斷求新求變。因此，在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時，要切實根據(jù)高考大綱指導(dǎo)學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識，同時，不斷容納新知識，注意新舊知識的融合，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)能力，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)及解題能力。

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