中學(xué)數(shù)學(xué)開放性問題的研究

鄭六琴

摘要：開放性問題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)生獨立解決問題能力的極好素材。本文研究了數(shù)學(xué)開放性問題的含義、常見類型及特點，給出了解決中學(xué)數(shù)學(xué)開放性問題的思維與策略。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；開放性問題；思維；策略

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）08-0161

一、研究開放性問題的意義

傳統(tǒng)教育觀念下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量評價，雖然有利于形成思維上的定勢或求同思維的培養(yǎng)，但卻忽視了求異思維和發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。而開放性試題，則要求學(xué)生通過觀察、比較、分析、綜合甚至猜想、展開發(fā)散性思維，充分運用已學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過歸納、類比、模擬、聯(lián)想等推理的手段，最后得出正確的結(jié)論。學(xué)生解題過程突出了思維的多樣性和靈活性。具體表現(xiàn)為：1. 有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，良好的表達能力、批判、評價能力，提高學(xué)生解決問題的能力。2. 有利于調(diào)動學(xué)生（特別是居于中流或?qū)W習(xí)上后進的學(xué)生）的學(xué)習(xí)積極性。3. 有利于提高學(xué)生對所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和技能的應(yīng)用能力。4. 有利于學(xué)生體驗成功、樹立自信心、產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。

二、開放性問題的含義

數(shù)學(xué)開放性問題在開放時代應(yīng)運而生。如：給定集合{3，21，2，10}及四種運算符號“+”、“-”、“×”、“÷”，使用上述集合中的元素及四種運算符號組成答案為17的算式。當(dāng)然，要解決此題，要求思維靈活且具有敏銳的觀察力。較簡單，大家很容易的出這樣兩種結(jié)論——21-10+3×2=17和10+21÷3=17。然而，何謂開放性問題？至今數(shù)學(xué)界并未形成公認的界定，通常理解是指“條件”、“解法”、“答案”具有多樣性和不確定性的問題。而從查閱的文獻資料看，大約有以下三類：1. 答案不確定的數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)開放性問題。2. 條件不完備、結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題稱為開放性問題。3. 數(shù)學(xué)開放性問題是指條件開放（條件在不斷變化）、結(jié)論開放（多結(jié)論或無確定結(jié)論）、策略開放（可以采用多種方法和途徑去解決）的問題。

綜上所述，開放性問題較為準(zhǔn)確、完備的界定應(yīng)是：一個習(xí)題系統(tǒng)R通常包括四要素：已知條件 r，解題依據(jù)o，解題方法p，結(jié)論z，即R={r，o，p，z}。四要素齊備的題，為“封閉性問題”；缺少o或p的題，為“班封閉性題”；缺少r或z的題，為“開放性問題”。

三、開放性問題的常見類型

1. 按命題要素的發(fā)展傾向分類有：（1）開放型。（2）方法開放型。（3）結(jié)論開放型。（4）綜合開放型。

2. 按解題目標(biāo)的操作模式分類有：（1）量化設(shè)計型。（2）分類討論型。（3）規(guī)律探索型。（4）數(shù)學(xué)建模型。（5）問題探究型。（6）情景探究型。

3. 按學(xué)習(xí)過程的訓(xùn)練價值分類有：（1）信息遷移型。（2）知識鞏固型。（3）知識發(fā)散型。

4. 按問題答案的結(jié)構(gòu)類型分類有：（1）有限可列型。例如：將100分成若干個連續(xù)自然數(shù)的和。（2）有限混純型。例如：平面上滿足什麼條件的四個點共圓？（3）無限離散型。例如：P、Q、R、S為整數(shù)，且（P+Q）（R+S）=15，問P、Q、R、S可能取哪些值？（4）無限連續(xù)型。例如：請你寫出一組四個連續(xù)整數(shù)，使其和大于40。

5. 依據(jù)數(shù)學(xué)開放性問題的開放度分為：（1）弱開放型：即答案只有兩種，非此即彼類型的題。例如：小紅同學(xué)給出了這樣一道數(shù)學(xué)題：“如果在四邊形ABCD中，AB=CD，那麼四邊形ABCD是平行四邊形”，若你認為這個命題的結(jié)論成立，請予以證明；若這個命題的結(jié)論不一定成立，請舉出反例。（2）中開放型：即答案情況有多種的，但總數(shù)是確定的。例如：ax2+bx+c=0（0

四、開放性問題的特點

封閉性問題正是圍繞這各種固定題型、程序化的解題策略、預(yù)定的答案而進行的，而開放性問題恰恰與此相反，其特點表現(xiàn)為

1. 問題的條件、結(jié)論開放

開放性問題，有的條件開放，有的結(jié)論開放，有的條件與結(jié)論同時開放。對于同一問題，可以有不同的結(jié)果。

2. 分析的思路開放

分析問題時可以從不同的思維角度去考慮，這就為學(xué)生的思維空間留下了充分的余地。

3. 解題的方法開放

解決問題時，有不同的方法與技巧，沒有固定的解題模式與程序。

4. 問題內(nèi)容的新穎性

這類問題背景新穎，解法靈活，結(jié)合性強，無現(xiàn)成模式可用。

5. 問題形式多樣性

這類問題有的追溯多種條件，有的探究多種結(jié)論，有的尋求多種解法；有的由變求不變、或由變求變，有的以動求靜、或以動帶動；很能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息。

6. 問題動能的創(chuàng)造性

這類問題有時只給出一種情景，題目的條件和結(jié)論要求解題者在情景中自行尋找和設(shè)定，解題的模式和方法也是多種多樣的，給解題者發(fā)揮創(chuàng)新精神、培養(yǎng)創(chuàng)新能力提供了良好的契機。

五、解決數(shù)學(xué)開放性問題的思維與策略

由于開放性問題的結(jié)論或條件有待于探究，故思維難以定向，而結(jié)論之所以難于以制定，又往往是因為問題比較抽象，一般規(guī)律未能顯露出來。因此，這類問題具有更大的靈活性與創(chuàng)造力。處理開放性問題時，常用的思維對策有：

1. 尋求矛盾的策略：即假設(shè)存在，然后進行驗證

凡涉及“是否存在”、“是否有某種性質(zhì)”等一類未定結(jié)論的開放性問題，我們總是先假設(shè)存在或有某種性質(zhì)，然后根據(jù)已知條件、定理、有關(guān)性質(zhì)等進行推理驗證；若出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)錯誤，從而得出正確結(jié)論。其實質(zhì)是證明問題的某項必要條件不能達到。

2. 充要條件推導(dǎo)的策略

這種思路是把存在性命題當(dāng)作求解題來做，其實質(zhì)是由結(jié)論出發(fā)，根據(jù)題設(shè)、已知定理、性質(zhì)等，利用充要條件進行推理，將滿足條件的數(shù)學(xué)對象求出來，其好處是推導(dǎo)過程本身就是驗證過程。

3. 特殊探路的策略

有些開放性問題只有條件而無結(jié)論，或雖有結(jié)論但結(jié)論的正確與否有待于確定。解決這類問題我們常常先研究特殊情況，即特例或簡單情形，然后進行觀察分析，就能猜想結(jié)果或發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，然后給出證明過程。其實質(zhì)是由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜，有拋磚引玉之效果。

4. 數(shù)形結(jié)合的策略

有些開放性題，當(dāng)以純粹的數(shù)出現(xiàn)時，常常顯得復(fù)雜而抽象，其結(jié)論的探求也比較困難。當(dāng)將其轉(zhuǎn)化為形的問題后，結(jié)論就明顯多了。有時也有相反情況，即當(dāng)以純粹的圖形出現(xiàn)時，我們常常無從入手，若將其轉(zhuǎn)化成數(shù)的問題后就會簡化其難度與抽象性。其實質(zhì)是將數(shù)與性相互融合，一方面通過數(shù)量關(guān)系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)；另一方面是利用幾何圖形的的直觀性來揭示數(shù)量關(guān)系深刻的特性。

5. 劃分與討論策略

在隱藏著的結(jié)論里，情況比較復(fù)雜，必須進行分類辨析方能得出完美的結(jié)論。這類開放性問題含有待于討論的參數(shù)，其實質(zhì)是對參數(shù)取值范圍的討論或是對參數(shù)具有的不同性質(zhì)進行討論。

6. 命題轉(zhuǎn)換的策略

在解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解比較困難，須通過變形才能解決。其實質(zhì)是根據(jù)知識間的相互聯(lián)系，將一些含糊的、抽象的、深奧的問題等價轉(zhuǎn)化為比較熟悉的、直觀的或已經(jīng)解決的問題來解決。

（作者單位：貴州省畢節(jié)市實驗高中 551700）