高職微積分教學(xué)的MM模式初探

潘鳳

【摘要】 微積分的教學(xué)是高職數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn). 由于微積分理論的高深，符號語言的抽象，解題方法的多樣，加上學(xué)生認知層次的有限，學(xué)生對微積分望而生畏. 筆者認為，將MM教學(xué)模式應(yīng)用于微積分教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，提高學(xué)生的認知水平，改善學(xué)生的固化思維，從而達到良好的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】 微積分；MM教學(xué)模式；數(shù)學(xué)認知

21世紀以來，世界各國將微積分引入職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程. 然而微積分的教學(xué)卻面臨極大挑戰(zhàn). 首先，高等數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)經(jīng)驗的沖突. 其次，教師教學(xué)方式與內(nèi)部動機的對立. 再有，強調(diào)重中之重與學(xué)無所用的矛盾. 高職微積分教育的最高目標是：以知識為載體，提煉“極限”中的返璞歸真思想，感受導(dǎo)數(shù)的演繹推理觀點，掌握積分計算的一般計算方法等，并運用這些思想、觀點、方法去分析、探究、解決今后學(xué)習(xí)工作上的難題. 而此最高目標的達成需要改變教育方式，實踐證明，MM教育方式是適合微積分教學(xué)的目標達成度最高的方式.

一、選擇MM數(shù)學(xué)教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即數(shù)學(xué)方法論的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前兩個詞頭，是波利亞方法論在中國數(shù)學(xué)的實踐運用，是由無錫市教科所的徐瀝泉同志在1989年提出并付諸實踐. 該方式的理論精髓：運用數(shù)學(xué)方法論的觀點指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新機制設(shè)計和改革數(shù)學(xué)教學(xué)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方式.[4]使用MM方式在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中遵循“2238”原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的2個功能：科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能；自覺遵循2條原則：教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)原則和既教證明又教猜想原則；瞄準3項具體目標：一般科學(xué)素養(yǎng)、社會文化素養(yǎng)、數(shù)學(xué)品質(zhì)；恰當(dāng)操作8個變量：返璞歸真教育、數(shù)學(xué)美育、發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育、演繹推理教育、合情推理教育、一般解題方法教育. 從而全面提高學(xué)生素質(zhì).

（二）大浪淘沙始見金——MM教育方式能實現(xiàn)有效教學(xué)

20世紀80年代至今，各種數(shù)學(xué)教育理論、教改方案、教學(xué)方法層出不窮，有“探究性學(xué)習(xí)”理論、“情境設(shè)置”方案、“活動課”教學(xué)方法等，然而探究無度、情境無限、活動無目的造成很多方法的片面使用. 因為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜性、相關(guān)度等的不同，教條主義已不適用，需要使用組合拳. 而MM教育方式正是幾十年來碩果僅存的數(shù)學(xué)教育方式，它不光存活，還在發(fā)展.

（三）MM教育方式對微積分教學(xué)的積極意義

對高職校的學(xué)生而言，微積分理論高深，符號語言抽象，解題方法多樣. 然而徐瀝泉認為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難，并不是它本身的抽象形式，而是離開了它抽象的背景，離開了用似真推理來發(fā)現(xiàn)它的過程，離開了在受到挫折以后對反饋信息的分析，離開了生動活潑的創(chuàng)造發(fā)明的活動機制. ”[4]那么要問：這些背景、過程、分析、發(fā)明從哪里來？答案就是MM教育方式. 解決微積分教學(xué)的困難不是把難講的證明刪去，把抽象度高的理論忽略，把考試難度降低，如果這樣，只會縱容學(xué)生的好逸惡勞、偷工減料和知難而退的心理，造成學(xué)生素質(zhì)的下降. 教師需要MM設(shè)計，把數(shù)學(xué)的精彩內(nèi)容和完美形式呈現(xiàn)；除了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識之外，教給學(xué)生從“宏觀”到“微觀”的思想，讓學(xué)生感受微積分的神奇，解決初等數(shù)學(xué)沒有辦法解決的問題，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)微積分的自豪感.

二、微積分教學(xué)中“MM設(shè)計”原則

（一）情境引入恰當(dāng)原則

由于微積分基礎(chǔ)對象復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，教學(xué)中需要創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的情境引導(dǎo)學(xué)生進入主題學(xué)習(xí)，然而只有恰當(dāng)?shù)那榫巢拍芗ぐl(fā)學(xué)生的求知欲. 教師要根據(jù)微積分教學(xué)內(nèi)容和要求，考慮學(xué)生的認知，創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)氛圍，運用適合學(xué)生理解的情境，最終促進學(xué)生知識的遷移.

（二）符號講解詳盡原則

符號是數(shù)學(xué)的語言，是數(shù)學(xué)簡潔抽象特點的重要因素. 只有在設(shè)計中對符號的講解細致深入，配以學(xué)生的書寫練習(xí)，才能真正對微積分符號達到了然于胸的程度. 極限符號“■”的講解不光要注重與英文單詞“l(fā)imit”的聯(lián)系，更要關(guān)注字母的書寫. 可以用英文三線格給出正確的示范，讓學(xué)生感受字母相應(yīng)的位置和大小狀況. 不定積分符號“ ∫”可從它的發(fā)明者萊布尼茨講起，發(fā)現(xiàn)其是由英文單詞“sum”的首字母“s”拉長得到，這樣不光對學(xué)生進行了數(shù)學(xué)史志教育，更感受了積分的內(nèi)涵是求和.

（三）學(xué)生參與廣泛原則

學(xué)生是課堂的主體，然而微積分的教學(xué)容易變成教師的獨角戲. 在MM教育方式的指引下，為了實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法教育，需要設(shè)計出學(xué)生能夠廣泛參與的MM課堂. 布魯納（Bruner，1966）這樣說：“我們講授某個課程并不是為了形成有關(guān)該課程的小型百科全書，而是讓學(xué)生自己去思考……像歷史學(xué)家那樣去考慮問題，去參與獲得知識的過程. ”雖然微積分概念的講解學(xué)生的參與度極低，然而教師可以通過層層推進的問題幫助學(xué)生思考，用啟發(fā)創(chuàng)新的方式讓學(xué)生自己嘗試定義、命名，用黑板演練的形式加強學(xué)生符號書寫能力，從而提高參與課堂的廣泛度.

三、微積分教學(xué)中MM模式的使用

下面從微積分最重要的三個部分極限、導(dǎo)數(shù)、積分出發(fā)，探討一下學(xué)生對這幾部分的理解和認知，并給出MM設(shè)計案例，展現(xiàn)MM模式的效果.

（一）極限思想

極限思想貫穿微積分始終，是學(xué)習(xí)微積分的敲門磚. 柯爾尼（Cornu）指出：“極限教與學(xué)的困難不僅在于極限概念本身的豐富性和復(fù)雜性，還在于僅憑定義本身并不足以生成理解該概念所需的認知要素. ”[2]為了降低難度，課本刪去了“ε - N”精確定義，只有“描述性”定義. 然而如何幫助學(xué)生理解這種思想，需要精心設(shè)計，合理解讀，適時思考. 以“數(shù)列極限概念”為例，簡述MM設(shè)計過程：首先介紹牛頓和萊布尼茨發(fā)明了微積分以及它的用途，對學(xué)生進行數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育；從“生活中的極限”出發(fā)，讓學(xué)生暢所欲言，展現(xiàn)他們對“極限”最本真的認知，是一種返璞歸真；多媒體演示割圓術(shù)等古代極限思想，讓學(xué)生模糊感受數(shù)學(xué)當(dāng)中極限這個詞的意義，初步對比與自己所想“極限”的異同；學(xué)生討論得出前面給出例子中最重要的信息：一個量變化，另一個量的變化趨勢，數(shù)學(xué)中“極限”是一個過程，這遵循了教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)原則；使用數(shù)軸法讓學(xué)生觀察當(dāng)n趨于無窮時數(shù)列an的變化趨勢，用發(fā)現(xiàn)法幫助學(xué)生從不同場景中抽取共性的能力；給出數(shù)列的描述性定義，強調(diào)極限的寫法、讀法和字母大小位置的分配，并提問對“無限趨近”的理解；師生共議得出無限趨近是越來越接近，且接近的過程不會停止；通過考察數(shù)列求極限的例題，讓學(xué)生說過程、寫出極限表示、適度練習(xí). 該節(jié)課學(xué)生積極參與、熱烈討論、認真書寫，達到教學(xué)應(yīng)有的效果.

（二）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

研究表明，學(xué)生對簡單函數(shù)的求導(dǎo)運算掌握得不錯，在于能夠記得公式和運算法則. 然而關(guān)于導(dǎo)數(shù)的深層次的理解還相當(dāng)欠缺，舉個最簡單的例子：為什么（sin x）′ = cos x？答：公式就這么給的. 這也就造成了導(dǎo)數(shù)記公式，應(yīng)用背步驟，考試背題目，毫無探索、發(fā)現(xiàn)、掌握的樂趣. 用MM模式設(shè)計導(dǎo)數(shù)，能夠讓學(xué)生知其然更知其所以然，通過獲得知識的努力感受成功的喜悅. 下面就以（sin x）′ = cos x為例給出MM設(shè)計：首先教師根據(jù)定義證明（sin x）′ = cos x；其次，對結(jié)論剖析：涉及兩個函數(shù)，一個函數(shù)為f（x） = sin x，另一個函數(shù)為f（x） = sin x的導(dǎo)（函）數(shù)f′（x） = cos x；再有，從函數(shù)的觀點討論導(dǎo)函數(shù)如何得來的，每一個點x0，就有過x0切線的斜率值即k0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，k0 = f ′（x0），x0與f′（x0）形成一種對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)成新的函數(shù)y1 = f′（x），我們稱為導(dǎo)（函）數(shù)；最后，選取定義域為[0，2π]的函數(shù)圖像（圖1），作出切線斜率變化的趨勢分析，師生共同完成表格，并觀察表格中的一、三兩行猜想得出結(jié)論：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 該設(shè)計既教證明又教猜想，為的是讓學(xué)生感受思維的過程，體會結(jié)論得之不易的艱辛，領(lǐng)悟簡單公式蘊藏的深刻聯(lián)系. 經(jīng)過此番講解，學(xué)生對求某點切線斜率也就得心應(yīng)手了，因為導(dǎo)數(shù)公式求得的就是導(dǎo)（函）數(shù)，有了導(dǎo)（函）數(shù)就能求得某點的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率值. 不光如此，在后續(xù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的章節(jié)中學(xué)生也能夠自己分析得出很多重要的結(jié)論.

（三）原函數(shù)概念

積分與微分互為逆運算，然而貝里（Berry）和尼曼（Nyman）發(fā)現(xiàn)學(xué)生把積分看成是一系列的運算技巧，這也造成了如果不打破常規(guī)，尋求可行的教學(xué)方式，學(xué)生只會成為照搬結(jié)論、不會思考的公式的奴隸. 原函數(shù)是積分中一個重要的概念，下面就從原函數(shù)出發(fā)探討MM設(shè)計：從最熟悉的公式（x2）′ = 2x與d（x2） = 2xdx出發(fā)，復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分：

從圖示發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)間有關(guān)系，已經(jīng)知道2x稱為x2的導(dǎo)（函）數(shù)，如今也給x2取個名字，叫2x的原函數(shù)；給出原函數(shù)定義后，師生共同探討原函數(shù)的個數(shù)；從d（x2） = 2xdx出發(fā)，以小組接龍形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的結(jié)果，并說出誰是誰的原函數(shù)，誰是誰的導(dǎo)數(shù)，讓學(xué)生更清楚原函數(shù)的概念；學(xué)生發(fā)現(xiàn)2x的原函數(shù)有無數(shù)多個，并舉出了不同的實例；進一步設(shè)問：你能用一個表達式表示這無數(shù)多個原函數(shù)嗎？學(xué)生思維活躍，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案紛紛出爐，最后得出結(jié)論x2 + C（C為常數(shù)）. 有了上述分析，學(xué)生自己很輕松地得出原函數(shù)族定理，獲得極大的成就感，覺得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

總之，在嘗試“MM教育方式”下，高職數(shù)學(xué)的微積分教學(xué)在不斷地尋求突破、找到捷徑、取得效果. 萬里長征開頭難，為了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合提升，需要堅持不懈地貫徹MM的“2238”原則，將數(shù)學(xué)應(yīng)有的教育功能完美呈現(xiàn).

【參考文獻】

[1]羅伯特·斯萊文.教育心理學(xué)[M].北京：人民郵電出版社，2011.

[2]李士锜，吳穎康.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2007.

[4]徐利治，徐瀝泉.MM教育方式簡介[J].自然雜志，2008.

[5]劉妍妮.微積分的地位和作用[J].今日科苑，2009.