巧談數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性

王蓬

對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中總共包括四類：第一類是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，第二類是點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱， 第三類是線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， 第四類是線關(guān)于線對(duì)稱.以上四類應(yīng)用中，尤其前三種，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛.

分析當(dāng)有些同學(xué)剛剛看到這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，一下子嚇著了，因?yàn)槔锩娴男问教珡?fù)雜了，根號(hào)加根號(hào)，而且兩個(gè)根號(hào)里面又都是二次函數(shù)，這個(gè)問(wèn)題難了，可是如果我們換個(gè)角度去思考，問(wèn)題也就迎刃而解了，我們可以對(duì)根號(hào)里的兩個(gè)式子進(jìn)行改寫(xiě)，考慮它們的幾何意義.

點(diǎn)評(píng)本題的知識(shí)點(diǎn)綜合性比較強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，求圓錐曲線的方程，而點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題是重點(diǎn).這就說(shuō)明了對(duì)稱問(wèn)題可以滲透到數(shù)學(xué)中的許多方面.

上述講了對(duì)稱問(wèn)題中的幾種基本情況，其實(shí)對(duì)稱問(wèn)題還有其他應(yīng)用，大家在學(xué)習(xí)橢圓的時(shí)候，橢圓中有一類題目就是對(duì)稱問(wèn)題，說(shuō)的是“弦中點(diǎn)”，它的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，這里就用到了中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

點(diǎn)評(píng)上述解法思路清晰，過(guò)程容易讓人接受與理解，是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，最后得到大家所熟悉的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率.這種方法看似通俗易懂，但是里面的運(yùn)算過(guò)程卻是十分復(fù)雜，里面都是平方，而且項(xiàng)數(shù)也比較多，只要寫(xiě)錯(cuò)一項(xiàng)，可能全部都錯(cuò)了.那么有沒(méi)有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解題方法呢？下面請(qǐng)大家看以下的解題思路.

點(diǎn)評(píng)這種方法大家看過(guò)之后，會(huì)覺(jué)得這種方法不光思路清晰，而且運(yùn)算簡(jiǎn)單，在運(yùn)算過(guò)程當(dāng)中，幾乎不需要算，要的也只是口算，這種方法是從弦端點(diǎn)出發(fā)，借助斜率問(wèn)題，里面用到了對(duì)稱：弦中點(diǎn)，即點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，最后巧妙地得到了直線m的斜率，這種方法我們稱之為“點(diǎn)差法”，它跳過(guò)了將直線方程與橢圓方程聯(lián)立這一繁瑣過(guò)程.