從專業(yè)數(shù)學(xué)角度談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

王選

【摘要】

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)的自然科學(xué).本文從大學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)角度談?wù)摿藬?shù)學(xué)學(xué)習(xí).結(jié)合自身的學(xué)習(xí)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)、復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等基礎(chǔ)課程為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)各個(gè)科目之間的聯(lián)系和本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法三個(gè)方面給出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注意的一些方法和技巧并提出了幾點(diǎn)建議.

【關(guān)鍵詞】專業(yè)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)方法

一、數(shù)學(xué)概念是基石

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么——對定義、定理、概念的理解.概念是數(shù)學(xué)的基石.究其原因是，數(shù)學(xué)是一門以公理化定義的學(xué)科.所以學(xué)習(xí)概念包括定理和性質(zhì)，不僅要知其然還要知其所以然，許多同學(xué)只注重記概念而忽視了對其背景的理解，這樣是學(xué)不好數(shù)學(xué)的.對于每一個(gè)定義、定理，我們必須在牢記其內(nèi)容的基礎(chǔ)上還應(yīng)該知道它是怎樣推導(dǎo)出來的，更為重要的是運(yùn)用到何處的，有時(shí)有必要借助習(xí)題把一些抽象的概念具體化來幫助我們理解，只有這樣我們才能更好地運(yùn)用它來解決問題.

二、掌握數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科和方法的本質(zhì)

在把握了各個(gè)學(xué)科的基本概念之后，還需要我們能從全局角度把握它們之間的主要內(nèi)容以及它們之間的聯(lián)系和本質(zhì)，進(jìn)而做到有的放矢.

對于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說，實(shí)變函數(shù)無疑是一門很重要的基礎(chǔ)學(xué)科.實(shí)變函數(shù)主要介紹一種新的積分理論——勒貝格積分，研究定義在可測集上的可測函數(shù)的積分性質(zhì).那么到底什么樣的集合是可測集呢？它的測度又是怎樣定義的呢？什么樣的函數(shù)是勒貝格可測函數(shù)呢？可測集上的可測函數(shù)又到底有哪些積分性質(zhì)？很顯然，一般的實(shí)變函數(shù)著作都是圍繞它們各自成章節(jié)展開的.

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，復(fù)變函數(shù)主要研究解析函數(shù)的解析性質(zhì)，而近世代數(shù)則主要研究群、環(huán)、域的：①存在問題；②數(shù)量問題；③構(gòu)造問題.這也是研究任何一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)所要解決的三個(gè)最基本最主要的問題，而一般的描述代數(shù)系統(tǒng)的著作也主要圍繞這三個(gè)問題來展開論述的.

此外，解決數(shù)學(xué)問題所運(yùn)用的方法的本質(zhì)大多是相同的.根據(jù)數(shù)學(xué)理論知識知道五次及五次以上多項(xiàng)式的根沒有顯式表達(dá)式求解，因此對于這些高次多項(xiàng)式或者復(fù)雜的一元方程我們必須借助計(jì)算機(jī)近似求解，常用算法有二分法、弦位法、牛頓法，而我們在優(yōu)化理論中，求解一元函數(shù)無約束極小化問題使用的也是這三種方法，顯然它們的本質(zhì)都是求解方程的根，只是后者求的是導(dǎo)函數(shù)方程的根而已.在優(yōu)化方法中，求解多元函數(shù)的無約束極小化問題方法有最速下降法、共軛梯度法等等，在數(shù)值代數(shù)中，我們可以通過變分原理將系數(shù)矩陣為正定的線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的無約束極小化問題，然后采用最速下降法或共軛梯度迭代算法來求解，而目前采用最多的是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的預(yù)條件共軛梯度法.顯然這些理論方法的本質(zhì)是相同的.

三、掌握數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)各個(gè)科目之間是互相聯(lián)系、彼此滲透的. 數(shù)學(xué)，其中很大一部分理論都是在研究函數(shù)、映射.比如數(shù)學(xué)分析中主要研究函數(shù)極限、連續(xù)性、可微性、可積性，以及初等函數(shù)在其收斂域內(nèi)的泰勒級數(shù)、傅里葉級數(shù)展開式.還有高等代數(shù)里的線性變換，近世代數(shù)里的同態(tài)、同構(gòu)映射，復(fù)變函數(shù)論里討論的解析函數(shù)，實(shí)變函數(shù)論里討論的可測函數(shù)，泛函分析理論里所討論的泛函和算子等等，研究對象都是函數(shù)或映射.

再來看看函數(shù)的研究對象：集合.集合論也是數(shù)學(xué)理論中最基礎(chǔ)的部分，在一般的高等代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、概率論著作中都有有關(guān)集合論知識的獨(dú)立章節(jié)，無非就是談元素與集合之間屬于、不屬于關(guān)系，集合與集合之間的相等、包含、互斥的關(guān)系以及集合之間的并（可列并）、交（可列交）、差、余（補(bǔ)）四則運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律.另外有關(guān)點(diǎn)集的分類，即有關(guān)聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開集、閉集、導(dǎo)集、閉包的理論.在數(shù)學(xué)分析中，它們是二維平面上完備性理論的基礎(chǔ)；在拓?fù)鋵W(xué)中，可以用開集、閉集、導(dǎo)集、閉包對函數(shù)連續(xù)性做等價(jià)刻畫；在實(shí)變函數(shù)中，集合可測性以及可測集的測度都是借助于包含它的開集測度的下確界（外側(cè)度）與包含于它的閉集測度的上確界（內(nèi)測度）來刻畫的.因此，我們在學(xué)習(xí)的過程要把握各個(gè)學(xué)科之間的這些相同的最基本的概念理論.

除了這些基本概念相同之外，學(xué)科之間的理論體系也密切相關(guān).如數(shù)學(xué)分析主要研究實(shí)數(shù)域上初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)的基本性質(zhì)，而復(fù)變函數(shù)則研究復(fù)數(shù)域上函數(shù)的這些基本性質(zhì).近世代數(shù)是高等代數(shù)的進(jìn)一步抽象，高等代數(shù)是近世代數(shù)的一個(gè)雛形.這樣我們就可以通過下面類比的數(shù)學(xué)方法更輕松地掌握這些理論知識.這些都說明數(shù)學(xué)各科目之間是彼此相互聯(lián)系、互相滲透的，只有把握各科目之間的聯(lián)系，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué).

四、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

除了了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)各科目之間的性質(zhì)特點(diǎn)之外，要想學(xué)好數(shù)學(xué)還應(yīng)該掌握常用的數(shù)學(xué)方法：

1.類比方法：在概率論中，概率有非負(fù)性、單調(diào)性、半可加性、完全可加性，而實(shí)變函數(shù)里可測集的測度的非負(fù)性、單調(diào)性、半可加性、完全可加性顯然可以等價(jià)類比過來.

在數(shù)學(xué)分析中，在給出了無窮大反常積分的斂散性的定義和積分收斂的判別方法后，無窮級數(shù)斂散性問題不也可以這樣類比地學(xué)習(xí)嗎？實(shí)際上無窮大反常積分與無窮級數(shù)實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)問題的不同表現(xiàn)形式，無窮大反常積分是連續(xù)的求和，而無窮級數(shù)則是離散的求和.

2.推廣方法：在高等代數(shù)里面通過線性空間的子空間來推測整個(gè)線性空間的性質(zhì)，在近似代數(shù)里面通過子群、子環(huán)來推測整個(gè)群、環(huán)的性質(zhì).這些通過部分來推測整個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，將整個(gè)系統(tǒng)不斷細(xì)化的方法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用.

4.等價(jià)、同構(gòu)的方法：利用等價(jià)關(guān)系可以根據(jù)一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)推測另一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)

的性質(zhì)，將這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)里的元素進(jìn)行分類，當(dāng)所討論的兩個(gè)對象等價(jià)或同構(gòu)時(shí)，那么它們之間的元素并不只是單純地建立了一個(gè)一一對應(yīng)的關(guān)系，更重要的是，它們之間具有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，唯一的區(qū)別只是各自在表現(xiàn)這些性質(zhì)時(shí)所用的載體不同.

5.數(shù)學(xué)還遵從從簡單到復(fù)雜，從一維到多維，從有界到無界，由淺入深，循序漸進(jìn)的思維模式.以勒貝格測度理論為例：先講一維空間開集、閉集的構(gòu)造，通過開集的構(gòu)造引進(jìn)開集的測度，再借助開集的測度來定義閉集的測度，然后利用開集、閉集的測度去定義任何有界集的外測度與內(nèi)測度，直到有界可測集的測度，最后將有界集的測度推廣到無界集的測度，將一維空間點(diǎn)集的測度推廣到多維空間點(diǎn)集的測度，它們的本質(zhì)是相同的，只是在細(xì)節(jié)上有所差異，無界集和多維情形顯得復(fù)雜而已.

五、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建議

1.作為一名學(xué)生，是永遠(yuǎn)離不開課堂和課本的.新知識的接受、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，也主要在課堂上進(jìn)行，所以一定要注意在課堂上的學(xué)習(xí)效率.而教材和課本永遠(yuǎn)是最好的參考書.對課堂上未完全消化的知識要及時(shí)復(fù)習(xí)，不留疑點(diǎn)，打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題以幫助我們開闊思路，提高自己分析、解決問題的能力，掌握一般解題規(guī)律和基本技能.

2.學(xué)會總結(jié)和積累，在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中都要進(jìn)行整理和歸納總結(jié).對于課本上的內(nèi)容體系，我們要把知識的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來，交織成網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識體系中.同時(shí)，還要積累一些做題和處理特殊問題的方法.例如，對于數(shù)學(xué)物理方程中具有球?qū)ΨQ的三維波動(dòng)方程的初值問題可以通過變量變換的方法將其轉(zhuǎn)化為一維波動(dòng)問題，而對于未知函數(shù)不是球?qū)ΨQ函數(shù)的一般情形，我們就不能轉(zhuǎn)化了，但是我們可以借助球?qū)ΨQ的特例的啟示，將每一點(diǎn)看作以該點(diǎn)為球心，半徑無限小球的極限，通過這樣的球面平均值處理，我們也可以將這種一般情形三維波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為一維問題. 對于課本上的內(nèi)容，要做到隨用隨調(diào)，對于一些特殊的處理方法，要做到活學(xué)活用，以為前者是科研的基礎(chǔ)，后者是方法.

3.眾所周知，學(xué)計(jì)算機(jī)需要有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而現(xiàn)在作為數(shù)學(xué)系學(xué)生，更應(yīng)該懂得計(jì)算機(jī)，特別是一些常用的數(shù)學(xué)軟件.工欲善其事，必先利其器，這里強(qiáng)烈推薦四款數(shù)學(xué)軟件：Matlab、Maple、Mathematica，還有優(yōu)化軟件Lingo.其中Matlab以數(shù)值計(jì)算見長，Mathematica，Maple以符號計(jì)算和公式推導(dǎo)為主，Lingo軟件可以解決大規(guī)模的優(yōu)化問題.需要注意這些軟件是建立在扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的，只有當(dāng)我們把基礎(chǔ)打牢，才能夠更好地借助這些軟件工具幫助我們解決數(shù)學(xué)問題.