飽和黏彈性土中單樁的縱向振動(dòng)

高遠(yuǎn) 侯宏偉 程宇慧

摘要：基于Biot兩相介質(zhì)模型，在頻率域內(nèi)研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下飽和黏彈性土中樁縱向耦合振動(dòng)特性。借助Novak平面應(yīng)變模型推導(dǎo)了飽和黏彈性土層的控制方程。將樁等效為一維桿件模型，建立了樁的振動(dòng)方程。根據(jù)樁土連續(xù)性條件，求得了樁頂?shù)膭?dòng)力剛度和動(dòng)力阻尼。與Novak解進(jìn)行了對(duì)比，并考察了長(zhǎng)徑比、流固相互作用系數(shù)、土骨架的阻尼比、樁土模量比等參數(shù)對(duì)飽和土樁系統(tǒng)縱向振動(dòng)的影響。結(jié)果表明：?jiǎn)蜗嗪惋柡宛椥酝林袠兜膭?dòng)力特性存在一定差異；隨著長(zhǎng)徑比的增加，動(dòng)剛度因子和等效阻尼的共振效應(yīng)明顯減弱；而隨著模量比的增加，共振效應(yīng)和基頻都有所增大；流固相互作用系數(shù)和土骨架的阻尼比影響相對(duì)較小。

關(guān)鍵詞：巖土工程；飽和黏彈性土；耦合振動(dòng)；Novak平面應(yīng)變模型；參數(shù)研究

中圖分類號(hào)：TU435文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2014）03001806

Longitudinal Vibrations of a Single Pile in Saturated Viscoelastic Soil

Gao Yuan 1，Hou Hongwei2,Cheng Yuhui3

(1.School of Shipping and Port Construction Engineering,Zhejiang Ocean University, Zhoushan 316004, Zhejiang P.R. China;

2.Zhejiang Academy of Building Research & Design Co. Ltd, Hangzhou 310012, P.R. China;

3.Bridge Research Co.Ltd Zhejiang Dagang, Hangzhou 310012, P.R. China)

Abstract:Based on Biot's theory, the longitudinal vibrations of a single pile in saturated viscoelastic soil are investigated in the frequency domain subject to the harmonic load. By the Novak plane strain model, the control equations for the saturated viscoelastic soil are derived. Regarding the pile as the one瞕imensional rod model, the vibration equation of the pile is established. Based on the continuity conditions of the pile and soil, the dynamic stiffness and dynamic damping of the pile top are obtained. It is compared with the solution for Novak, and the influence of different physical parameters of the pile and soil on the longitudinal vibrations of the soil and pile system is examined. It is shown that the dynamic characteristics of the pile in the dry soil as well as the saturated soil have some differences; the resonance effect of dynamic stiffness factor and equivalent damping is obvious weakening with the increase of the ratio of the length to radius of the pile. The resonance effect and natural frequency are increasing when the modulus ratio of the pile to soil increases; the interaction coefficient of the flow瞫olid and the damping ratio of soil skeleton have few influences on the responses.

Key words:geotechnical engineering; saturated viscoelastic soil; coupled vibration; Novak plane strain model; parameters study

基樁的豎向振動(dòng)理論在高層建筑物、動(dòng)力基礎(chǔ)、海岸結(jié)構(gòu)等工程領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用。它在結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)以及樁基動(dòng)力檢測(cè)等工作中具有十分現(xiàn)實(shí)的意義［1］。目前，關(guān)于單相理想土體中樁的振動(dòng)特性研究已較為成熟。但這些研究與實(shí)際工程相差甚遠(yuǎn)，自然界中廣泛分布的軟黏土，以飽和土模型來(lái)研究更為合理。

〖=D(〗高遠(yuǎn)，等：飽和黏彈性土中單樁的縱向振動(dòng)〖=〗為此，李強(qiáng)等［2］借助Laplace變換技術(shù)和位移勢(shì)函數(shù)等數(shù)學(xué)手段得到了飽和土中端承樁頂?shù)膹?fù)剛度，并討論了飽和土和樁參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)剛度和等效阻尼的影響。在此基礎(chǔ)上，又建立了非完全黏結(jié)條件下飽和土中樁的豎向振動(dòng)模型，并推導(dǎo)了相關(guān)頻域和時(shí)域解析解［3］。Wang等［4］借助Hankel變換對(duì)半空間飽和土中各種類型群樁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究，并考察了長(zhǎng)徑比等參數(shù)對(duì)群樁的軸向力和孔壓的影響。Zhou等［5］研究了半空間飽和土中樁的瞬態(tài)響應(yīng)，利用Fourier變換技術(shù)得到了相關(guān)時(shí)域解。Cai等［6］采用Fourier睟essel方法研究了彈性波對(duì)飽和土中彈性排樁的散射問(wèn)題，討論了樁的剛度和土體滲透性系數(shù)的影響。劉林超和楊驍［78］采用多孔介質(zhì)理論在三維坐標(biāo)下研究了飽和黏彈性土中一維彈性樁的縱向振動(dòng)特性。Yang等［9］將樁等效為三維均勻彈性介質(zhì)，研究了豎向簡(jiǎn)諧荷載作用下飽和黏彈性土層中端承樁的縱向振動(dòng)特性，分析了樁土參數(shù)對(duì)動(dòng)剛度和等效阻尼的影響。楊冬英等［10］研究了三維非均質(zhì)土中變截面黏彈性樁的縱向耦合振動(dòng)。然而，上述都采用三維模型來(lái)研究飽和土中樁的振動(dòng)特性。由于三維模型的偏微分方程較為復(fù)雜，必須借助各種數(shù)學(xué)手段對(duì)此進(jìn)行求解，從而導(dǎo)致該模型難以為工程設(shè)計(jì)人員所接受。因此，Novak等［1113］建立的平面應(yīng)變模型及其演化形式得到了廣泛應(yīng)用。尚守平等［1415］將Novak薄層法應(yīng)用于飽和土中樁的水平振動(dòng)研究中，并討論了滲透系數(shù)、樁土模量比等對(duì)單樁水平、搖擺及水平慘“隈詈險(xiǎn)穸阻抗的影響。

鑒于現(xiàn)狀，本文將土體和樁分別視為液固兩相耦合介質(zhì)和一維彈性桿件模型，采用Novak平面應(yīng)變模型，并根據(jù)樁土連續(xù)性條件，求解得到了飽和黏彈性土中樁頂?shù)膹?fù)剛度。在此基礎(chǔ)上，與Novak解進(jìn)行了對(duì)比，同時(shí)討論了樁土各參數(shù)對(duì)樁頂動(dòng)態(tài)剛度和等效阻尼的影響。

1數(shù)學(xué)模型

11三維數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，厚度為H的飽和黏彈性土中有一半徑為R的端承樁。其上部作用一圓頻率為ω的簡(jiǎn)諧激振力P(t)=Peiωt(i=－1)。樁周土對(duì)樁身單位側(cè)摩擦阻力為f(z)。土體的總密度和剪切模量分別為ρT和GS。將樁周土視為飽和液固兩相耦合介質(zhì)且考慮土骨架的黏性。樁土系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)為小變形，且完全緊密接觸，無(wú)相對(duì)滑移，即樁土界面處滿足位移和應(yīng)力連續(xù)。樁底部為剛性地基；樁等效為一維圓形彈性桿件模型。

圖1三維端承樁計(jì)算模型

對(duì)于三維軸對(duì)稱問(wèn)題，根據(jù)Biot理論，土體在動(dòng)力荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程為［16］

μS2uSr+λc+μS礶祌－μSuSrr2－αM鄲篇祌=ρT2uSr祎2+ρF2wFr祎2(1)

μS2uSz+λc+μS礶祕(mì)－αM鄲篇祕(mì)=ρT2uSz祎2+ρF2wFz祎2(2)

αM礶祌－M鄲篇祌=ρF2uSr祎2+m2wFr祎2+b祑Fr祎(3)

αM礶祕(mì)－M鄲篇祕(mì)=ρF2uSz祎2+m2wFz祎2+b祑Fz祎(4)

式中：e=祏Sr祌+uSrr+祏Sz祕(mì)；ζ=－(祑Fr祌+wFrr+祑Fz祕(mì))；2=2祌2+1r氮祌+2祕(mì)2；uS和wF分別表示土骨架位移和流體相對(duì)于固相的位移；m=ρFn，n為孔隙率；b=η0k為土骨架與孔隙流體的相互作用系數(shù)；η0為流體黏滯系數(shù)；k為滲透系數(shù)；ρF；ρS分別為流體和土顆粒的材料密度；ρT=(1－n)ρS+nρF；λc=λS+α2m；λS=2vSμS(1－2vS)和μS=GS(1+2ξSi)為土骨架的拉梅常數(shù)；α、M為表征土顆粒及流體壓縮性的系數(shù)。

12平面應(yīng)變模型

圖2平面應(yīng)變計(jì)算模型

采用Novak平面應(yīng)變模型來(lái)解決飽和黏彈性土體的縱向振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，建立如圖2計(jì)算模型。假設(shè)樁周土不產(chǎn)生徑向和切向位移，且縱向振動(dòng)位移與坐標(biāo)Z無(wú)關(guān)，即滿足如下關(guān)系：

uSr=0,wFr=0,祏Sr祌=祏Sr祕(mì)=祏Sz祕(mì)=0,祑Fr祌=祑Fr祕(mì)=祑Fz祕(mì)=0(5)

2飽和黏彈性土層縱向振動(dòng)

利用平面應(yīng)變假設(shè)條件式(5)，式(1)~(4)可簡(jiǎn)化為

GS(1+2ξSi)2uSz祌+1r祏Sz祌=ρT2uSz2t+ρF2wFz2t(6)

ρF2uSz祎2+ρFn2wFz祎2+b祑Fz祎=0(7)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，設(shè)uSz=RUSzeiωt,wFz=RWFzeiωt，并引入如下無(wú)量綱量和常數(shù)：

η=rR,δ=zR,=bRρTGS,ρFT=ρFρT,λ=RωVS,VS=GSρT(8)

式中VS為剪切波速。

利用式(10)，式(6)、(7)可化為：

(1+2ξSi)d2USzdη2+1ηdUSzdη+λ2USz+ρFTλ2WFz=0(9)

－ρFTλ2USz－ρFTλ2nWFz+iλWFz=0(10)

將式(10)代入式(9)，可得

d2USzdη2+1ηdUSzdη－q2USz=0(11)

式中：q2=－a1+2ξSi，a=λ2+ρFT2λ4iλ－ρFTλ2n。

式(15)可易解得：

USz=AK0qη+BI0qη(12)

式中：A,B為待定系數(shù)；K0x,I0x為第1類和第2類零階虛宗量貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)r很大時(shí)，有

I0qr→(2πqr)－12exp(qr)(13)

K0qr→(π2qr)12exp(－qr)(14)

于是，式(12)中，B=0，即

USz=AK0(qη)(15)

利用式(15)，土體的無(wú)量綱剪應(yīng)力為

Trz=1+2ξSidUSzdη=－1+2ξSiAqK1(qη)(16)

因此，在η=1處的剪應(yīng)力為

Trz=－(1+2ξSi)AqK1(q)(17)

3端承樁縱向振動(dòng)

將樁等效為一維彈性Eluer桿件處理；在動(dòng)力荷載下樁豎向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

EbπR2d2wbdz2－2πRf(z)=ρbπR2d2wbdt2(18)

其中，f(z)=－τrz

對(duì)于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，記樁的豎向位移為wb=RWbeiωt，則式(18)可化為

E*bd2Wbdδ2－2(1+2ξSi)AqK1(q)+ρ*bλ2Wb=0(19)

式中：E*b=EbGS,ρ*b=ρbρT

根據(jù)樁土界面處連續(xù)性條件，可知：

Wb = USzη = 1= AK0(q)(20)

利用式(20)，式(19)可化為

d2Wbdδ2－β2Wb=0(21)

式(21)解得:

Wb=C5eβδ+C6e－βδ(22)

式中：C5、C6為待定系數(shù)。

假定初始時(shí)刻樁土系統(tǒng)靜止，且滿足無(wú)量綱后的邊界條件：

Wbδ = θ = 0,dWbdδδ = 0 = P*E*b(23)

式中：P*=PGSπR2,θ=H/R

結(jié)合邊界條件式(23)，求得待定系數(shù)C5、C6的具體表達(dá)式后，可得：

Wb=P*e－2βθE*bβ(e－2βθ+1)eβδ－P*E*bβ(e－2βθ+1)e－βδ(24)

因此，無(wú)量綱動(dòng)力復(fù)剛度為：

d=P*Wb(0)=E*bβ(e－2βθ+1)1－e－2βθ(25)

4與已有解析解對(duì)比分析

Novak［10］研究了單相黏彈性土中端承樁的縱向振動(dòng)特性。將本文計(jì)算結(jié)果中令流體密度ρF=0，此時(shí)n=0,=0,a=λ2，即可退化為Novak的結(jié)果。為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性，與Novak解進(jìn)行了對(duì)比。據(jù)文獻(xiàn)［2,11］，參數(shù)取值：n=04，θ=20，vS=035，ξS=01，=10樁頂復(fù)剛度的實(shí)部代表樁的動(dòng)剛度，虛部為動(dòng)阻尼，采用動(dòng)剛度因子ReK/K0(K0為靜剛度)代替樁的動(dòng)剛度，等效黏土阻尼lmK/λ代替動(dòng)阻尼。圖3給出了在0<λ<20的頻率范圍內(nèi)文獻(xiàn)［11］、本文及飽和彈性土中樁頂?shù)膹?fù)剛度隨頻率的變化曲線。可見(jiàn)，在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，飽和彈性土中樁頂動(dòng)態(tài)剛度和等效阻尼的振蕩幅度最大，隨著阻尼比ξS的增加，而略有減??；Novak得到的單相黏彈性介質(zhì)中樁的復(fù)剛度較小。這是因?yàn)榭紫吨写嬖诹黧w，流體和土骨架相互作用所導(dǎo)致的，但文獻(xiàn)［2］得到的飽和土中樁的振動(dòng)特性與單相中樁的振動(dòng)特性差異較大，這是由于本文采用的Novak薄層法忽略了孔隙水壓力的影響。文獻(xiàn)［14］忽略水的慣性效應(yīng)，研究了飽和土中樁的水平振動(dòng)特性。圖4比較了有無(wú)慣性效應(yīng)時(shí)飽和黏彈性中樁頂復(fù)剛度的差異?？梢?jiàn)，在低頻條件下兩種情況時(shí)樁頂復(fù)剛度幾乎一致，但隨著頻率的增加，考慮水慣性效應(yīng)的飽和黏彈性土中樁頂復(fù)剛度明顯要大。

圖3本文解、Novak解樁頂復(fù)剛度的對(duì)比分析

圖4有無(wú)水慣性效應(yīng)時(shí)樁頂復(fù)剛度的對(duì)比分析

5數(shù)值結(jié)果分析

考察了長(zhǎng)徑比H/d、樁土模量比Eb/GS、流固相互作用系數(shù)、材料密度比ρb/ρT、阻尼比ξS對(duì)飽和黏彈性土中樁頂復(fù)剛度的影響。圖5表示樁的長(zhǎng)徑比變化對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響曲線。其余參數(shù)仍按上述取值，可見(jiàn)，隨著長(zhǎng)徑比的增加，動(dòng)態(tài)剛度和等效阻尼的振幅和波長(zhǎng)都明顯減小，且對(duì)于大直徑端承樁而言，動(dòng)剛度因子和等效阻尼在基頻處明顯存在共振現(xiàn)象。隨著頻率的增加，動(dòng)態(tài)剛度因子的振動(dòng)幅度逐漸增大，而等效阻尼的振幅不變。

圖5長(zhǎng)徑比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響

圖6模量比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響

圖6反映了樁頂動(dòng)態(tài)剛度因子與等效阻尼在3種不同模量比的條件下的影響曲線。其余參數(shù)按上述取值，隨著模量比的增加，動(dòng)態(tài)剛度因子和等效阻尼的振蕩幅度和波長(zhǎng)都有所增大，而當(dāng)模量比Eb/GS>1 000時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)剛度影響較小。這里表明：樁周土越軟，振幅和基頻也相應(yīng)增大。

圖7流固相互作用系數(shù)對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響

圖7表示改變液固相互作用系數(shù)對(duì)樁頂動(dòng)剛度因子和等效阻尼的影響，按上述參數(shù)取值?？梢?jiàn)，隨著的增加，動(dòng)剛度因子和動(dòng)阻尼的振幅都有所減小。這是因?yàn)樵龃髸r(shí)，土體的滲透性降低所導(dǎo)致的。當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，飽和黏彈性土體處于封閉狀態(tài)，而引起土體的阻抗減小。

圖8反映樁材料密度和土體總密度的比值對(duì)動(dòng)剛度因子和等效阻尼的影響。其余參數(shù)按上述取值?？梢?jiàn)，材料密度比對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼有很大影響。隨著材料密度比的增大，樁頂復(fù)剛度的振幅逐漸增大，共振效應(yīng)明顯增強(qiáng)。

圖8材料密度比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響

圖9阻尼比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響

圖9反映土骨架的阻尼比對(duì)樁頂動(dòng)態(tài)剛度因子與等效阻尼的影響。仍按上述參數(shù)取值，可見(jiàn)，隨著阻尼比的增大，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼略有減小，但阻尼比對(duì)樁頂復(fù)剛度影響較弱。

6結(jié)論

在頻率域內(nèi)研究了周期荷載作用下飽和黏彈性土中端承樁縱向耦合振動(dòng)特性。得到如下結(jié)論：

1)隨著長(zhǎng)徑比的增加，飽和黏彈性土中樁頂復(fù)剛度的振幅和波長(zhǎng)都明顯減小，且對(duì)于大直徑端承樁而言，動(dòng)剛度因子和等效阻尼在基頻處明顯存在共振現(xiàn)象。

2)隨著樁土模量比的增加，動(dòng)剛度因子和等效阻尼的振蕩幅度和波長(zhǎng)都有所增大，而當(dāng)模量比增大到一定程度時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)剛度影響較小。

3)隨著液固相互作用系數(shù)的增加，土體的滲透性降低，動(dòng)剛度因子和動(dòng)阻尼的振幅都略有減小。

4)隨著樁土材料密度比的增加，樁頂復(fù)剛度的振幅逐漸增大，共振效應(yīng)明顯增強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］李強(qiáng)，王奎華. 飽和土中樁豎向耦合振動(dòng)理論與應(yīng)用［M］. 北京：中國(guó)水利水電出版社, 2010: 114

［2］李強(qiáng)，王奎華，謝康和. 飽和土中端承樁縱向振動(dòng)特性研究［J］. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(4): 435442

Li Q, Wang K H, Xie K H. Vertical vibration of an end bearing pile embedded in saturated soil ［J］. Acta Mechanica Sinica, 2004, 36(4): 435442

［3］李強(qiáng). 飽和土中端承樁非完全黏結(jié)下的豎向振動(dòng)特性［J］. 水利學(xué)報(bào)，2007，38(3)：349354

Li Q. Vertical vibration of piles embedded in saturated soil considering the imperfect contact ［J］. Shuili Xue bao. 2007, 38(3): 349354

［4］Wang J H, Zhou X L, Lu J F. Dynamic response of pile groups embedded in a poroelastic medium ［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2003, 23(3): 5360

［5］Zhou X L, Wang J H, Jiang L F, et al. Transient dynamic response of pile to vertical load in saturated soil ［J］. Mechanics Research Communications, 2009, 36: 618624

［6］Cai Y Q, Ding G Y, Xu C J. Amplitude reduction of elastic waves by a row of piles in poroelastic soil ［J］. Computers and Geotechnics, 2009, 36(): 463473

［7］劉林超，楊驍. 基于多孔介質(zhì)理論的飽和土樁縱向耦合振動(dòng)研究［J］. 土木工程學(xué)報(bào)，2009，42(9): 8995

Liu L C, Yang X. Study of vertical coupled vibrations of piles in saturated soils using porous medium theory ［J］.China Civil Engineering Journal, 2009, 42(9):8995.

［8］劉林超，楊驍. 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述的飽和土樁縱向振動(dòng)分析［J］. 巖土力學(xué)，2011，32(2): 526532

Liu L C, Yang X. Analysis of vertical vibrations of a pile in saturated soil described by fractional derivative model ［J］. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(2): 526532

［9］Yang X, Pan Y. Axisymmetrical analytical solution for vertical vibration of end瞓earing pile in saturated viscoelastic soil layer ［J］. Applied Mathematics and Mechanics, 2010, 31(2): 193204

［10］楊冬英，王奎華，丁海平. 三維非均質(zhì)土中粘彈性樁土縱向耦合振動(dòng)響應(yīng)［J］. 土木建筑與環(huán)境工程，2011，33(3): 8087

Yang D Y, Wang K H, Ding H P. Axial response of viscoelastic pile瞫oil coupling interaction in three瞕imensional inhomogeneous soil ［J］. Journal of Civil, Architectural and Environmental Engineering, 2011，33(3): 8087

［11］Novak M. Dynamic stiffness and damping of pile ［J］. Canadian Geotechnical Journal, 1974, 11(4):574598

［12］Novak M, Nogami T. Soil瞤ile interaction in horizontal vibration ［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1977, 5(3): 263281

［13］Novak M, Aboul E F. Impedance of functions of piles in layered media ［J］. Journal of Engineering Mechanical Division, 1978, 104(3): 643661

［14］尚守平，余俊，王海東，等. 飽和土中樁水平振動(dòng)分析［J］. 巖土工程學(xué)報(bào)，2007，29(11): 16961702

Shang S P, Yu J, Wang H D, et al. Horizontal vibration of piles in saturated soil ［J］. Chinese of Journal of Geotechnical Engineering, 2007, 29(11): 16961702

［15］劉林超，楊驍. 基于多孔介質(zhì)理論的飽和土中樁基水平振動(dòng)研究［J］. 土木工程學(xué)報(bào)，2010，43(5): 96103

Liu L C, Yang X, et al. A porous medium theory study of lateral vibration of piles in saturated soil ［J］. China Civil Engineering Journal, 2010, 43(5): 93103

［16］Maeso O, Aznarez J J, Garcia F. Dynamic impedances of piles and groups of piles in saturated soils ［J］. Computers and Structures, 2005, 83(10/11): 769782

（編輯胡玲）doi:10.11835/j.issn.16744764.2014.03.005