初中數(shù)學“概念課”教學模式探索

于清

數(shù)學作為一種文化，已成為人類文明進步的標志，對于當今社會每一個有文化的人士而言，不論他從事何種職業(yè)，都需要學習數(shù)學、了解數(shù)學和運用數(shù)學。作為中學數(shù)學教師的我們，不僅要掌握數(shù)學教材與教法，更應該深入鉆研教材和教育對象，從更廣闊的視角出發(fā)為學生創(chuàng)造發(fā)展提供更大的空間。也只有更深刻地了解學生，實事求是的根據(jù)學生的實際情況，采取具有針對性的教學方法和教學策略，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)學生的創(chuàng)新能力，進行素質(zhì)教育。讓數(shù)學回歸生活有利于學生學習興趣的培養(yǎng)，有利于提高學生的創(chuàng)新思維。

現(xiàn)代教學觀認為，教學是通過教師的努力來促進學生學會學習的過程；新課程改革要求教師要關注每個學生的個性發(fā)展；現(xiàn)實的升學壓力要求我們要構(gòu)建高效的課堂模式，在有限的課堂教學時間內(nèi)取得最豐富的學習效果……種種跡象都在提醒著我們，課堂教學改革勢在必行，必須提高效率，掌控節(jié)奏，探討出更適合目前學情的教學模式，我們的教育才能成功轉(zhuǎn)型，學校的教學才會更有效，學生的學習才能更精彩。

《義務教育數(shù)學課程標準》中有這樣的一段話：“在現(xiàn)代社會中，數(shù)學教育又是終身教育的重要方面，它是公民進一步深造的基礎，是終身發(fā)展的需要。數(shù)學教育在學校教育中占有特殊的地位，它使學生掌握數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生具有實事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學生會用數(shù)學的思考方式解決問題、認識世界?！?/p>

其中，數(shù)學概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)筑理論大廈的基石，是進行判斷、推理的基礎，是解決問題的前提。因此，數(shù)學概念在數(shù)學教學中有著不容忽視的地位。長期以來，在數(shù)學教學中存在忽視概念的形成過程，把概念變成簡單的“條文”加例題的現(xiàn)象，導致概念的形成與獲得概念是兩個不同的過程，造成數(shù)學中的概念教學始終是一個難點。

在創(chuàng)建高效課堂理念的指導下，立足于新課程的教材觀、學習觀、學生觀、教師觀和課堂觀，結(jié)合本學科的特點，初步探索了“概念課”的課堂教學模式，是否為高效的課堂，還有待進一步探索和發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)以九年級上冊“圓與圓的位置關系”為例加以解說。

一、創(chuàng)設情境，提出問題

在生活中，我們往往對做過的事情印象最深，學習也一樣，自己感受過的，想了解它的愿望也最強烈。數(shù)學課堂中，創(chuàng)設“生活數(shù)學”情景就是模擬生活，再現(xiàn)生活，使課堂教學更接近現(xiàn)實生活，使學生如臨其境、如見其人、如聞其聲，加強感知，突出重點，突破難點，激發(fā)思維。在中學數(shù)學課堂教學中雖然許多內(nèi)容都不能模擬生活場景，但教師要有意識地將現(xiàn)實問題數(shù)學化，將數(shù)學生活化，有助于學生對數(shù)學知識的更進一步的理解和掌握。著名教育家蘇霍姆林斯基說：“如果教師不想辦法使學生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識，那么這種知識能使人產(chǎn)生冷漠的態(tài)度，而使不動感情的腦力勞動帶來疲勞。”實踐證明，教師導入得好，就能吸引學生，把學生引入無比瑰麗的知識世界，喚起學生的求知欲望，燃起學生的智慧火花，使學生積極主動地思維。

疑能引思，思則生趣，利用具體又實際的問題引發(fā)學生的“思”，就會讓課堂效果更加不一般。而學生在解決具體問題時，有時會出現(xiàn)下面的情況：一是如果不學習新知識，則問題無法解決；二是解決問題后，要說明解題過程的正確性，必須用到新的知識。這些情況都可以引發(fā)問題情境，問題以生動活潑、貼近生活，能引進學生的興趣，激發(fā)認知沖突為目的。例如，本節(jié)課是以香港的回歸歷程創(chuàng)設情景，讓同學們眼前一亮，立即激起探究的欲望。

創(chuàng)設情境：

假設祖國就是一個大圓，香港就是一個小圓，從簽署條約被分割出中國，到有了第一次的談判，到有了兩方人們的溝通，到最后談判成功，至1997年7月1日回歸祖國。

提出問題：在這個過程當中，假設的這兩個圓都經(jīng)歷了什么樣的位置變化？你可以通過哪些要素來判斷兩圓的位置關系？

在黑板上畫出一個大圓，并制作一個小圓，演示小圓的運動和大圓產(chǎn)生的位置關系的變化，讓學生帶著這個問題進入新課的學習，從新學習的內(nèi)容中發(fā)現(xiàn)問題的答案。

二、探究引領，主動參與

本環(huán)節(jié)本著這樣的前提：能讓學生觀察思考的，盡量讓學生觀察思考；能讓學生表達的，盡量讓學生表達；能讓學生參與的，盡量讓學生參與；能讓學生做結(jié)論的，盡量讓學生做結(jié)論。學生是學習的主體，學生要學習的是方法，感受的是事物發(fā)展的過程，學的是生存的技能，但是，學生這樣的能力的培養(yǎng)是在老師的引領下才能變得有序和有效。比如，這個環(huán)節(jié)讓學生自己動手畫，同桌相互比較、探究、總結(jié)，分工明確，課堂氣氛有序而不失思維的活躍，從而達到了鍛煉學生的動手能力、觀察能力、總結(jié)能力的目的，能培養(yǎng)他們探究的意識和團結(jié)協(xié)作的意識。

傳統(tǒng)的數(shù)學概念課往往是這樣的。老師給出概念讓學生記憶，然后就是大量的練習，而對概念的形成過程往往忽略，這與新課程的理念嚴重違背，新課程要求我們的教學“要注重過程”，“探究引領”的這個環(huán)節(jié)就是在學生體驗概念形成的過程中，給學生指明探究的方向和方式，起到對概念探究的引領作用，引導學生對概念有初步的、感性的、直觀的感知，使學生可以完整的、本質(zhì)的獲得概念的本質(zhì)屬性，有利于學生對數(shù)學本質(zhì)的認識，促進學生數(shù)學思考。例如，本節(jié)課設計了一名同學在臺上擺放兩圓可能產(chǎn)生的位置。其他學生與同桌之間進行合作，充分發(fā)動每個學生都參與到探索圓與圓的位置關系，讓每個學生都有事情可干，讓每個同學都能積極思考，并可以和其他同學交流自己的看法。

根據(jù)問題的引導，學生就不會在探究的過程中迷失方向，就能夠順利地總結(jié)出結(jié)論，完成探究任務，通過自己的努力學會概念、理解概念，還能感受成功的喜悅。比如，上面的動態(tài)演示能讓學生大體總結(jié)出：圓與圓應該有相離、相切、相交幾種位置關系。

三、類比以往，得出結(jié)論

如果新的知識和以往的知識存在某種聯(lián)系，那么學生就不難用類比的方式，得出相應的結(jié)論并準確歸納新的定義和定位，類比法也叫“比較類推法”，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法。其結(jié)論必須由實驗來檢驗，類比對象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大。比如，本節(jié)探討的課題《圓與圓的位置關系》與《點與圓的位置關系》《直線與圓的位置關系》都有著很大的聯(lián)系，因此，在類比前兩種關系后，不難得出圓與圓的位置關系，但由于每種關系都有它的特殊性，因此，我們再進一步細化圓與圓的位置關系，包括與以往不同的情況，并作出總結(jié)，按照交點個數(shù)可分為“相離、相切、相交”三種大體的位置關系。

四、繼續(xù)探索，量化結(jié)論

一位教研員說：“數(shù)學不是一個只看到了什么就結(jié)束的學科，我們更多的時候需要用量化的要求來闡述某種定義，或者是某種運算，達到解決實際問題的能力，才是真正數(shù)學要做到的事情。”因此，我們不只是從直觀上給出定義，最后應該量化某種關系，讓定義或者運算更加明確化。本課《圓與圓的位置關系》進一步量化的結(jié)果就是，在小圓的運動當中，觀察兩個圓的哪些對量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化，引導學生繼續(xù)類比《點與圓的位置關系》《直線與圓的位置關系》，不難發(fā)現(xiàn)，兩圓的半徑?jīng)]有發(fā)生變化，而圓心之間的距離發(fā)生了比較明顯的變化，學生就能比較輕松的得出我們可以用圓心距和兩圓半徑的大小之間的數(shù)量關系，來刻畫《圓與圓的位置關系》。

設兩圓的半徑分別為R和r，兩圓的圓心距為d，則用如下數(shù)量關系可刻畫出圓與圓的位置關系的五種情況。

（1）外離：R+r>d （2）外切：R+r=d （3）相交：R-r

（4）內(nèi)切：R-r=d （5）內(nèi)含：R-r>d

因為是幾何圖形，故還可以結(jié)合五種圖形，給出相對應的簡單量化證明，加深記憶。

五、訓練達成

訓練的目的是達成，新課程的學生觀要求：要關注每一個學生，要讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，使大多數(shù)學生都能達到基本要求，所以，設計好練習題是十分關鍵的一環(huán)。練習題要求表述有親和力，讓學生體會生活中處處有數(shù)學，教學目標指向每個學生的“最近發(fā)展區(qū)”，練習要有利于總結(jié)規(guī)律，使知識上升為技能，提升學生的“最近發(fā)展區(qū)”，為后續(xù)知識學習埋下伏筆。 練習題要有人文性、層次性和開放性，要根據(jù)知識內(nèi)容和體系有目的地突出重點、難點，還要做到重點知識反復練，又不能給學生增加負擔。

例如，本節(jié)課的設計體現(xiàn)這些方面的有：

人文性：每一個小環(huán)節(jié)都用一個比較形象的名稱。

層次性：把本環(huán)節(jié)內(nèi)容根據(jù)知識發(fā)生發(fā)展的規(guī)律設計幾個小環(huán)節(jié)，每個下環(huán)節(jié)之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，使知識由淺入深，由單個知識點到綜合運用，形成一個高潮。

開放性：在由例題進行舉一反三時，把結(jié)論設置為開放性，以訓練學生的思維的靈活性。

生活性：利用學過的數(shù)學知識，真正解決生活中的數(shù)學，就達到了數(shù)學生活化的目的。

當然，體現(xiàn)這幾個性質(zhì)的方法不只是這幾種，我們只要通過不同的形式把它體現(xiàn)出來，學生就不會對練習題厭倦，當然也就不會對數(shù)學厭倦。本節(jié)課的設計如下：

（一）基礎夯實

從學生的實際出發(fā)，可以把教材的內(nèi)容加以整合，先從概念定義的加強理解出發(fā)加以訓練，以達到對新的概念和定理正確深入的理解。

類型一：已知兩圓位置關系，確定圓心距的取值范圍

1.已知兩圓的半徑分別是3和7，圓心距為d，根據(jù)下列條件，確定d的取值范圍。

（1）若兩圓外切，則________；（2）若兩圓內(nèi)切，則_________；（3）若兩圓外離，則_________；（4）若兩圓內(nèi)含，則 ；（5）若兩圓相交，則_________。

類型二：已知圓心距，確定兩圓的位置關系

2.已知兩圓的半徑分別是3 cm和7 cm，圓心距為d，根據(jù)下列條件確定兩圓的位置關系.

（1）當d=12 cm時，兩圓______；（2）當d=4 cm時，兩圓______；（3）當d=2 cm時，兩圓_______；（4）當d=10 cm時，兩圓________；（5）當d=7 cm時，兩圓________。

（二）小試牛刀

在對概念理解的基礎上引出本節(jié)課的又一個重點——概念和定理的應用：首先是簡單的應用，然后從簡單的應用當中比較推理，由靜到動，舉一反三，觸類旁通，以發(fā)展學生的智力培養(yǎng)能力為目的，達到鞏固、運用新知識，深化新知識。

有利于培養(yǎng)學生思考的靈活性和敏捷性。

例題：

類型三：半徑變化時，圓的位置關系的變化

3.已知⊙O的半徑為5cm，OP=8cm

（1）⊙P與⊙O外切，則⊙P的半徑為______（2）⊙P與⊙O內(nèi)切，則⊙P的半徑為_______

（3）⊙P與⊙O相切，則⊙P的半徑為_________

圓與圓相切分為外切和內(nèi)切，注意分類討論思想。

4.問題：如圖在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長均為1個單位），⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，⊙A由圖示位置以每秒1個單位的速度自左向右運動t秒.

問題：（1）當t為何值時，⊙A與⊙B外切？（2）當t為何值時，⊙A與⊙B相交？

5.定圓O的半徑是4 cm，動圓P的半徑是1 cm.

（1）設⊙O和⊙P相外切，點P與點O的距離是多少？點P可以在什么樣的線上移動？

（2）設⊙O和⊙P相內(nèi)切，情況又怎樣？

變式：若動圓P的半徑是5 cm，則上面的兩個結(jié)論又是什么情況？

當情況多樣化的時候，需要分清狀況，分類討論，分類推進，縝密思維，以求出最正確的解。

六、生活數(shù)學，數(shù)學生活

數(shù)學的目的是為了解決生活當中的問題，并可以令數(shù)學生活化，體會數(shù)學的價值之處，這樣才能讓學生體會到學習數(shù)學的有用性，積極參與到數(shù)學學習當中來。

本節(jié)課設計了如下題目，體現(xiàn)這樣的教學目的。

6.用半徑R=8 mm，r=5 mm的鋼球測量口小底大的直徑d，測得鋼球頂點與孔口平面的距離分別為a=12.5 mm，b=10.5 mm，計算出內(nèi)孔直徑d的大小。

七、拓展創(chuàng)新

數(shù)學教育的一項重要任務就是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，創(chuàng)新意識主要是指對自然和社會中的數(shù)學現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，進行探索和研究。

學習概念就是為了在理解的基礎上應用概念。而且當概念與知識、方法結(jié)合起來應用的時候，對學生的能力就是一種挑戰(zhàn)，也是一次學習能力提升的機會。

八、問題解決

本節(jié)課開始時提出了問題，在本環(huán)節(jié)將問題深入研究，由生活中的實際問題，轉(zhuǎn)化成純粹的數(shù)學問題，建立實際問題的數(shù)學模型，應用本節(jié)所學的知識點解決數(shù)學問題從而達到解決實際問題的目的，感受數(shù)學建模在實際生活中的應用，利用概念的應用使得概念的學習得到升華，達到更高的層次。

如何將“概念課”中的概念教學進行延伸、拓展、創(chuàng)設，讓其在日常教學工作中付于新的意義，這是在今后的教學工作中都要一直關注和探索的問題。本節(jié)課是對“概念課”的課堂教學模式的一個初步探索，定有不足之處，還請各位同仁批評指正！

（作者單位 廣東省廣州市廣東實驗中學）

編輯 代敏麗