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    波利亞與“怎樣解題”

    2014-04-25 20:12:36楊麗霞
    中國(guó)校外教育(中旬) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:波利亞未知量對(duì)角線

    楊麗霞

    波利亞主張數(shù)學(xué)教育主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問(wèn)題的能力,教會(huì)學(xué)生思考。1944年在美國(guó)出版了《怎樣解題》(How to solve it),其中“怎樣解題”表總結(jié)了人類解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般規(guī)律和程序,對(duì)數(shù)學(xué)解題研究有著深遠(yuǎn)影響。解題方法數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)律程序波利亞曾經(jīng)教過(guò)中學(xué),長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。在漫長(zhǎng)的歲月中,他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合,產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想。波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個(gè)基點(diǎn):其一是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí),其二是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)。其中他的《怎樣解題》產(chǎn)生深刻影響。

    一、怎樣解題

    1.理解題目

    未知量是什么?已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知量,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?畫張圖,引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開,能否把它們寫下來(lái)?

    2.找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系

    如果找不出直接的聯(lián)系,可能不得不考慮輔助問(wèn)題,應(yīng)最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

    擬訂計(jì)劃:你以前見過(guò)它嗎?是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?是否知道一個(gè)可能用得上的定理?觀察未知量。試想出一個(gè)具有相同未知量或相似未知量的熟悉的問(wèn)題。能應(yīng)用它嗎?能不能利用它?能利用它的結(jié)果嗎?為了能利用它,是否應(yīng)引入某些輔助元素?能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?能不能用不同的方法重新敘述它?回到定義去。

    如果不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類比的問(wèn)題?能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分??jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分,這樣對(duì)于未知能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?

    3.執(zhí)行方案

    執(zhí)行解題方案,檢驗(yàn)每一步驟。能否清楚地看出這一步是正確的?你能否證明這一步是正確的?

    4.檢查已經(jīng)得到的解答

    回顧:能否檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題?

    二、例子

    例題:已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高,求它的對(duì)角線長(zhǎng)度。

    第一步:理解題目。

    教師和學(xué)生之間的對(duì)話可以像下面這樣開始:

    “未知量是什么?”“這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度?!?/p>

    “已知數(shù)據(jù)是什么?”“此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高?!?/p>

    “引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。用哪個(gè)字母表示未知量?”“x。”

    “你選哪些字母來(lái)表示長(zhǎng)、寬和高?”“a,b,c?!?/p>

    “聯(lián)系a、b、c與x的條件是什么?”“x是長(zhǎng)為a、寬為b和高為c的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度?!?/p>

    “這是一個(gè)合理的題目嗎?我的意思是,條件是否足以確定未知量?”“是的。如果我們已知a、b、c,我們就知道了長(zhǎng)方體,如果長(zhǎng)方體被確定,其對(duì)角線也就被確定了?!?/p>

    第二步:擬定方案。

    “你們知道一道與它有關(guān)的題目嗎?”“觀察未知量。你們是否知道有哪一道題目和這一道題目有相同的未知量?”“那么,未知量是什么?”“長(zhǎng)方體的對(duì)角線?!薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相同的未知量嗎?”“不知道,我們從來(lái)沒(méi)碰到過(guò)關(guān)于長(zhǎng)方體的對(duì)角線的題目?!薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相似的未知量嗎?”“你們看,對(duì)角線是一條線段,是一條直線的一部分。難道你們從未做過(guò)未知量是一條線段長(zhǎng)度的題目嗎?”“我們當(dāng)然做過(guò)這樣的題目。比如說(shuō)求一個(gè)直角三角形的一條邊?!薄昂芎谩_@里有一道題目和你們的題目有關(guān)而且以前解過(guò)。你們能利用它嗎?”“非常幸運(yùn)的是,你們能想起一道與你們現(xiàn)在要解的題目有關(guān),并且你們以前曾經(jīng)解答過(guò)的題目。你們想要在這里應(yīng)用它嗎?”“往這兒看,你們所記得的題目是關(guān)于一個(gè)三角形的。在你們現(xiàn)在的圖形里有沒(méi)有三角形呢?”引入一個(gè)直角三角形,圖中用陰影強(qiáng)調(diào)指出。

    “我認(rèn)為在圖中把那個(gè)三角形畫出來(lái)是一個(gè)很好的主意。你們現(xiàn)在有了一個(gè)三角形,但是你們有沒(méi)有找到未知量呢?”“未知量就是這個(gè)三角形的斜邊,我們可以用勾股定理把它計(jì)算出來(lái)。”

    “如果兩條直角邊都是已知的,你們是會(huì)計(jì)算的,但是它們是否已知呢?”“其中一條直角邊是給定的,就是c。至于另外一條,我想也不難求出。對(duì)了,這條直角邊又是另一個(gè)直角三角形的斜邊。”“太棒了!現(xiàn)在我知道你們已經(jīng)有了一個(gè)方案了?!?/p>

    第三步:執(zhí)行方案。

    學(xué)生有了解題思路。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)直角三角形,這個(gè)直角三角形的斜邊就是要求的未知量x,它的一條直角邊是已知的高度c,另一條邊是長(zhǎng)方體一個(gè)面上的對(duì)角線。也許必須激勵(lì)學(xué)生引入其他合適的符號(hào)。他應(yīng)引入y來(lái)標(biāo)記另一條直角邊,也就是長(zhǎng)方體一個(gè)面上的對(duì)角線,這個(gè)面的兩條邊長(zhǎng)分別為a和b。這樣,在引入了另一個(gè)求未知量y的輔助題目后,他解題的思路就更清晰了。最后,在先后對(duì)兩個(gè)直角三角形分別進(jìn)行計(jì)算后,他可以得到:

    第四步:回顧。

    你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎?“你用到所有的已知數(shù)據(jù)了嗎?”“所有三個(gè)已知量a、b、c都在你的對(duì)角線公式中出現(xiàn)了嗎?”“假如a、b、c互換,表達(dá)式時(shí)候保持不變?”

    三、對(duì)《怎樣解題》的評(píng)價(jià)

    正如著名數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾所說(shuō):“每個(gè)大學(xué)生,每個(gè)學(xué)者,特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書?!?/p>

    參考文獻(xiàn):

    [1]百度百科.

    [2]維基百科.

    [3]G·波利亞著.涂泓,馮承天譯.怎樣解題.上海:上??萍冀逃霭嫔纾?011.

    [4]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論.北京:高等教育出版社,2004.

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