分?jǐn)?shù)階偏微分方程的完全小波配置解法

李新秀

（南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210046）

0 引言

近幾十年，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)從純數(shù)學(xué)理論研究逐漸轉(zhuǎn)到實(shí)際應(yīng)用的研究。與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比，分?jǐn)?shù)階微分算子是非局域算子，具有歷史記憶性，更適合描述具有記憶和遺傳效應(yīng)的物理現(xiàn)象，所以近年來分?jǐn)?shù)階微分算子不斷的被應(yīng)用到物理和工程中來。關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的詳細(xì)描述參考[1]。本文中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是指Caputo意義下的導(dǎo)數(shù)：

其中 m≤α＜m+1.

分?jǐn)?shù)階微分方程要方便應(yīng)用于實(shí)踐，關(guān)鍵在于分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計(jì)算。 然而，分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值方法及其理論分析是十分困難的課題。分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計(jì)算中涉及的主要問題：其一是需存儲(chǔ)整個(gè)歷史數(shù)據(jù)，隨著時(shí)間的增加，信息量不斷增加，計(jì)算工作量急劇增加；其二是當(dāng)時(shí)間不斷增加時(shí)，離散誤差很難進(jìn)行控制，從而可能導(dǎo)致計(jì)算數(shù)據(jù)的失真。鑒于此，研究可行有效的分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值計(jì)算方法是十分有意義的。

文獻(xiàn)[3]把三次樣條小波配置方法成功推廣到一元分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解中。本文的目的是利用完成小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解。

1 分?jǐn)?shù)階偏微分方程的三次B-樣條小波配置方法

本節(jié)我們考慮用完全小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的初邊值問題。蔡和王在文獻(xiàn)[4]中給出一種自適應(yīng)的小波配置方法去求解整數(shù)階偏微分方程的初邊值問題。他們僅在空間方向即x方向?qū)ξ粗瘮?shù)進(jìn)行小波基函數(shù)展開，然后在時(shí)間方向即t方向利用求解微分方程的時(shí)間步進(jìn)法去求解。由于時(shí)間步進(jìn)法的誤差是非均勻分布，誤差會(huì)隨著時(shí)間的增加而累積，會(huì)產(chǎn)生計(jì)算結(jié)果的相漂移現(xiàn)象。如果直接用自適應(yīng)小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程，由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的記憶效應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算誤差的劇烈增加。

本文中所用的三次樣條小波基函數(shù)和基函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，配置點(diǎn)等，見文獻(xiàn)[3].NJ=2JL+3,小波基函數(shù)構(gòu)成的列向量為 ?J（x）= [ω1（x），…，ωNJ（x ）]T.不失一般性，我們考慮帶有非齊次源的一維分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程：

來近似方程(1)的精確解 u（x，t），其中小波系數(shù) U=（uij）Nt×Nx未知.根據(jù)近似公式（2）,可得：

展開系數(shù)U可以通過求解廣義Sylvester方程(5)-(6)得到，從而方程(1)的近似解可以通過（2）有效的重建。

2 數(shù)值例子

本節(jié)我們通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子驗(yàn)證這種方法的可行性和有效性。

例1 考慮分?jǐn)?shù)階偏微分方程

圖1分別表示當(dāng)α=0.1時(shí)利用三次樣條小波方法求解得到的計(jì)算解的絕對(duì)誤差，這里參數(shù)Jx=Jt=3.

圖1 例1中解的絕對(duì)誤差

例2 考慮初邊值條件的分?jǐn)?shù)階偏微分方程

圖2表示當(dāng)α=0.5時(shí)利用三次樣條小波方法求解得到的計(jì)算解的絕對(duì)誤差，這里參數(shù)Jx=Jt=3，圖3表示利用文獻(xiàn)[2]中的方法得到的計(jì)算解的絕對(duì)誤差。從這些圖中我們可以看用小波配置方法得到的計(jì)算解的誤差要比用有限差分方法得到的結(jié)果要小，所以小波配置方法得到的精度高一些。

圖2 例2中解的絕對(duì)誤差

3 結(jié)束語(yǔ)

本文我們提出求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的完全小波配置方法.該方法的主要特點(diǎn)是把分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化成了一個(gè)代數(shù)方程。這不僅簡(jiǎn)化了問題，而且加快了計(jì)算速度。數(shù)值結(jié)果表明該方法是求解分?jǐn)?shù)階微分方程的一種可行有效的方法。從計(jì)算精度上看，如果方程的精確解足夠光滑，該方法的結(jié)果要比其他方法的好。

圖3 文獻(xiàn)[2]得到的解的絕對(duì)誤差

［1］Podlubny I.Fractional differential equations[M].Academic Press，1999.

［2］Gao G，Sun Z，A compact finite difference scheme for the fractional sundiffusion equations[J].Comput.Phys，2011，230：586-95.

［3］Li X，Numerical solution of fractional differential equations using cubic B-spline wavelet collocation method [J].Commun Nonlinear Sci.Numer Simulat,2012,17：3934-3946.

［4］Cai W，Wang JZ，Adaptive multi-resolution collocation methods for initial boundary value problems of nonlinear PDEs[J].SIAM J.Numer.Anal.,1996，33：937-970.