基于分數(shù)階PIλDμ 的橡膠壩充排水恒流控制

單澤彪，石要武，單澤濤，石屹然，史紅偉

（1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長春130022；2.諾博橡膠制品有限公司，河北 保定072550；3.長春理工大學(xué)電子信息工程學(xué)院，長春130012）

0 引 言

橡膠壩充排水控制系統(tǒng)的恒定流量充排水控制對橡膠壩工程設(shè)施具有重要的意義。工業(yè)過程控制中流量控制的方式一般都是采用交流變頻調(diào)速器調(diào)節(jié)水泵電機的轉(zhuǎn)速，繼而實現(xiàn)輸出流量的平滑無級調(diào)節(jié)。當(dāng)需要對這類由通用變頻器加感應(yīng)電機構(gòu)成的變頻調(diào)速系統(tǒng)進行控制時，采用常規(guī)PID 往往難以達到預(yù)定的控制效果［1－2］，針對這類問題，杜欣慧等［1］提出了一種基于參數(shù)自調(diào)整模糊PID 控制的交流閉環(huán)變頻調(diào)速系統(tǒng)的設(shè)計方法；戴先中等［2］采用了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆控制的方法，使得這種變頻調(diào)速系統(tǒng)獲得了更加優(yōu)良的運行性能。然而上述研究都是基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化時的情況。

由于運行環(huán)境的復(fù)雜性和充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計的特點，橡膠壩充排水系統(tǒng)不僅表現(xiàn)出強非線性和大滯后性，而且還屬于一種變結(jié)構(gòu)、變參數(shù)的控制系統(tǒng)。針對此問題，本文提出采用能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性要求的分數(shù)階PIλDμ對其進行充排水恒流控制。分數(shù)階PIλDμ是把傳統(tǒng)整數(shù)階PID 的階次推廣到分數(shù)階領(lǐng)域，它不僅僅是比整數(shù)階PID 控制器多了兩個自由度——積分階次和微分階次，使其具有更大的調(diào)節(jié)范圍，更重要的是它具有比整數(shù)階PID 更好的控制品質(zhì)及更強的魯棒性［3］。目前已提出的幾種重要的分數(shù)階控制器有TID 控制器［4］、CRONE控制器［5］、P（ID）μ控制器［6］以 及PIλDμ控 制 器［7］等。其 中 分 數(shù) 階PIλDμ控制器在一定范圍內(nèi)對本身和被控對象的參數(shù)變化不敏感，在穩(wěn)定性和動態(tài)性能方面具有整數(shù)階PID 控制器不可比擬的優(yōu)勢。

在分數(shù)階PIλDμ控制器應(yīng)用研究方面，人們也做了不少的工作，如文獻［8］針對二階慣性系統(tǒng)的速度控制設(shè)計了一個分數(shù)階PIλDμ控制器、文獻［9］在一般時滯系統(tǒng)方面進行了分數(shù)階魯棒控制研究、文獻［10］針對車輛方向控制進行了分數(shù)階PDμ控制器的研究。然而，學(xué)者們的研究大多都是針對不同系統(tǒng)模型做的理論仿真研究，在實際系統(tǒng)中真實運用卻鮮見報道。

作者基于松花江壅水壩實際工程項目，首先把實際系統(tǒng)中的通用變頻器及其直接驅(qū)動的水泵電機看作一個整體——變頻調(diào)速控流系統(tǒng)，給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并從理論上證明了分數(shù)階PIλDμ控制器對于該充排水系統(tǒng)具有較好的魯棒特性；然后把該分數(shù)階PIλDμ控制器數(shù)字實現(xiàn)化后應(yīng)用于充排水實際系統(tǒng)中進行恒流量控制與調(diào)節(jié)；最后給出了恒流量充排水的實際控制運行曲線，結(jié)果證明了本文方法的有效性。

1 橡膠壩充排水控制系統(tǒng)

1.1 充排水系統(tǒng)

橡膠壩主要由橡膠壩袋、土建工程及充排水系統(tǒng)三部分組成，其中充排水系統(tǒng)主要由遠程監(jiān)控系統(tǒng)、充排水泵、輸水管路、變頻器、電氣控制裝置、水位監(jiān)測設(shè)備、壩袋高度及內(nèi)壓檢測裝置等組成。根據(jù)壩袋高度、壩袋內(nèi)壓以及上下游水位，通過變頻設(shè)備對水泵電機的啟停／調(diào)速控制以及輸水管路上的電動閥的開關(guān)控制等進行壩袋充排水自動控制，圖1為實際充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖1 橡膠壩充排水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System of filling and draining off water of rubber dam

上述充排水系統(tǒng)主要由5臺水泵電機及各管路進出水閥門構(gòu)成，其中每臺水泵電機又由一臺變頻器進行變頻調(diào)速控制。充水過程：打開閥門1、閥門3及閥門5，使之形成相應(yīng)的充水通路（圖1中箭頭表示方向），然后再啟動相應(yīng)數(shù)量的水泵進行充水，各水泵出水先匯至同一管道，最后通過閥門5后再流至橡膠壩袋方向。排水過程與之正好相反，即打開閥門1、閥門2與閥門4及相應(yīng)的進出口閥門，形成相應(yīng)排水通路，然后再啟動相應(yīng)數(shù)量的水泵對壩袋進行排水調(diào)節(jié)。

此充排水系統(tǒng)的主要控制問題就是根據(jù)橡膠壩控制運行要求，在橡膠壩總充排水量允許范圍內(nèi)，啟動相應(yīng)數(shù)量的水泵對壩袋進行充排水，并在此過程中通過變頻器變頻調(diào)節(jié)，實現(xiàn)橡膠壩袋的總進、出水流量恒定，即設(shè)計一個控制器通過變頻器去調(diào)節(jié)水泵轉(zhuǎn)速，在因系統(tǒng)設(shè)定值改變導(dǎo)致泵啟動數(shù)量和出水閥門開度的變化或受到其他干擾情況下使壩袋的總進、出水流量在較短的時間內(nèi)穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的狀態(tài)，并滿足一定的動態(tài)性能和允許的靜態(tài)誤差要求。同時還需滿足各運行水泵出口壓力均衡，以防止某出口壓力偏小造成其逆止閥關(guān)閉的情況發(fā)生。

1.2 系統(tǒng)模型的建立

橡膠壩充排水系統(tǒng)中每臺水泵電機都由一臺通用型變頻器進行變頻調(diào)速控制，把每臺變頻器及其驅(qū)動的水泵電機看成一個整體，稱之為變頻調(diào)速控流系統(tǒng)。如果忽略各水泵在整個充排水系統(tǒng)中的位置結(jié)構(gòu)差異，那么此充排水系統(tǒng)可以看成由5個相對獨立且特性相同的變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)構(gòu)成，對于每個變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)來說，給定變頻器一個頻率信號輸入就能得到水泵的一個流量輸出。

由充排水系統(tǒng)的特性可知，水泵由初始狀態(tài)向管道充排水的恒流狀態(tài)過渡時，可分為流量上升過程與恒流過程，其中流量上升過程，可近似為一個時間常數(shù)T1比較大的慣性環(huán)節(jié)；恒流過程中，流量可認為基本不變，是一個純滯后過程，則供水系統(tǒng)的模型可表示為：

式中：K1為供水系統(tǒng)的增益；τ為供水系統(tǒng)的時滯常數(shù)。

變頻器和水泵電機可近似等效為時間常數(shù)為T2的一階慣性環(huán)節(jié)［11］，表示為：

式中：K2為調(diào)速系統(tǒng)的增益。

系統(tǒng)中的其他控制或檢查環(huán)節(jié)，如繼電器控制轉(zhuǎn)換、流量測量轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)的慣性時間及延遲時間與供水系統(tǒng)的時間常數(shù)相比都可以忽略，均可等效為比例環(huán)節(jié)，故整個變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)的模型可表示為帶滯后的兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，如下式表示：

式中：K 為系統(tǒng)的總增益。

1.3 控制系統(tǒng)設(shè)計及其結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)橡膠壩充排水系統(tǒng)實際控制要求，設(shè)計了如下雙閉環(huán)控制方案，其中外環(huán)采用的是流量反饋控制，控制器應(yīng)用分數(shù)階PIλDμ控制；內(nèi)環(huán)采用的是壓力反饋控制，控制器應(yīng)用PI控制，由于該系統(tǒng)中含有5個相對獨立的變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)，故設(shè)計了5個并級形式的內(nèi)環(huán)控制環(huán)節(jié)。主回路（外環(huán)）用來進行總進、出水流量的控制，實現(xiàn)恒流量充排水；副回路（內(nèi)環(huán)）用來進行各水泵出口壓力的調(diào)節(jié)，保證各出口壓力均衡。當(dāng)總進、出水流量高于或低于給定值時，流量控制器發(fā)出校正信號，修正水泵控制系統(tǒng)的給定值，使水泵減少或增加進、出水量，經(jīng)過校正過的進、出水量將等于給定值?？刂葡到y(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 橡膠壩充排水雙閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Two closed loop control system of filling and draining off water of rubber dam

圖2 中，壓力PI控制器傳遞函數(shù)為Cp（s）＝Knp＋Kni／s，結(jié)合式（3）變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知整個內(nèi)環(huán)部分的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

再設(shè)分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為Cf（）s，可得整個充排水系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：N 為實際水泵啟動的數(shù)量，可見，當(dāng)N 取不同值時，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是變化的。

2 分數(shù)階PIλDμ 控制器

2.1 分數(shù)階微積分

一般的分數(shù)階微積分算子可用下式來表達：

從不同角度去考察分數(shù)階微積分可以得到不同的定義，其中最著名的是Riemann－Liouville（RL）定義，其定義如下：

式中：n－1≤α≤n，n∈N；Γ（·）為Gamma函數(shù)。

Laplace變換不僅適用于整數(shù)階系統(tǒng)，同樣也適用于分數(shù)階系統(tǒng)。根據(jù)RL 定義，分數(shù)階微分的Laplace變換為：

分數(shù)階積分的Laplace變換為：

2.2 分數(shù)階PIλDμ 控制器及其數(shù)字實現(xiàn)

整數(shù)階PID 控制器的傳遞函數(shù)描述為：

式中：U （）s 為控制器的輸出；E （）s 為控制器的誤差輸入。

把上式中的微分與積分項的階次推廣到實數(shù)，便可以得到分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)，即：

式中：積分階次λ 和微分階次μ 可以是任意正實數(shù)，而且積分項是sλ，也就是說在對數(shù)相頻曲線圖中，它的斜率不再是－20dB／dec，而是－20λ dB／dec。式（11）所對應(yīng)的時間域方程可以表示為：

與傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制器相比，分數(shù)階PIλDμ控制器除了具有KP、KI、KD三個可以用來調(diào)整系統(tǒng)性能的參數(shù)外，還增加了一個積分階次λ和一個微分階次μ 兩個參數(shù)。通過合理的參數(shù)選擇，分數(shù)階PIλDμ控制器在提高系統(tǒng)靈活性、魯棒性以及總體控制性能等方面將起到很大的積極作用，從而取得更好的控制效果。

分數(shù)階控制器是無限階次，通過計算機具體實現(xiàn)時需要對微積分算子進行離散化。在此采用Tustin＋CFE 直接離散化方法［12］對其進行數(shù)字實現(xiàn)，把分數(shù)階微積分sα用Tustin算子來表示得到階次為α的生成函數(shù)為：

式中：T 表示采樣時間。

然后用連分式將式（CFE）近似展開，形式如下：

式中：Pp（z－1）、Qq（z－1）均 為 變 量z－1多 項 式；CFE（· ） 表示進行連分式展開。一般為計算方便取p ＝q＝n，n為數(shù)字實現(xiàn)的近似階次。

2.3 基于分數(shù)階PIλDμ 的系統(tǒng)魯棒性分析

使用離散的分數(shù)階PIλDμ控制器對前面所述的充排水系統(tǒng)進行魯棒性分析，其中變頻調(diào)速控流子系統(tǒng)參數(shù)K＝1.25，T1＝35s，T2＝6s，τ＝65s是由現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)辨識而來，并經(jīng)現(xiàn)場調(diào)試整定確定分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為KP＝0.42，KI＝0.002，KD＝10.5，λ＝0.81，μ＝0.92；內(nèi)環(huán)壓力PI控制器參數(shù)KnP＝0.24，KnI＝0.05，用Tustin＋CFE直接離散方法，采樣周期T＝1s，逼近階次為3，并取N ＝2，即有兩臺水泵在運行工作狀態(tài)時，得到基于分數(shù)階PIλDμ控制器的充排水系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖如圖3所示。由圖3可知，該控制器對于在有兩臺水泵工作時的該系統(tǒng)具有較好的頻域特性，即在截止頻率ωc處幅頻特性比較平坦，說明其閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的魯棒穩(wěn)定性，而且在截止頻率ωc附近其相頻特性曲線亦比較平滑且相對平坦，說明系統(tǒng)具有較好的增益魯棒性。

圖3 基于分數(shù)階PIλDμ 的充排水系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖Fig.3 Bode diagram with fractional order PIλDμ controller

3 現(xiàn)場實際控制及運行效果分析

在松花江壅水壩工程項目中進行橡膠壩恒定流量充排水控制實驗，其中數(shù)據(jù)采集周期Tc＝0.5s，其他控制器參數(shù)如同2.3節(jié)所述。該系統(tǒng)中硬件主要有ABB／ACS510－01型號變頻器，研華工業(yè)控制計算機，實現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸功能的西門子系列S7－300PLC，75kW、Y315L2－10型三相異步電動機，900ZLB－4型臥式離心泵，壓力及流量傳感器等，軟件主要是進行監(jiān)視及控制功能的WinCC組態(tài)軟件，其中分數(shù)階PIλDμ控制率是在WinCC全局腳本編輯器中采用ANSI C實現(xiàn)。

實驗1：開啟兩臺水泵，進行開關(guān)閥實驗；實際運行曲線如圖4所示。

圖4中，F(xiàn)s表示充水流量設(shè)定值，F(xiàn)表示實際充水流量值，P 表示實際調(diào)節(jié)頻率值。打開兩個壩袋進口閥門，并在t0時刻啟動1#、2#兩臺水泵，從圖4中可以看出，經(jīng)過一段時間調(diào)節(jié)，實際流量穩(wěn)定在設(shè)定值附近并保持基本恒定，說明設(shè)計的控制器具有較好的控制性能；在t1時刻，調(diào)整其中一臺水泵出口閥門開度至30%，在t2時刻，又重新完全打開該閥門，可見，流量稍微有點下調(diào)（t1時刻）和超調(diào)（t2時刻），隨后又很快回復(fù)到原設(shè)定值狀態(tài)，說明設(shè)計的控制器具有較強的抗干擾能力。另外從圖4中可以看出，此時控制輸出（頻率）基本保持不變且略高于最初狀態(tài)時，說明隨著橡膠壩不斷地充水，壩袋中的壓力也在不斷變大，體現(xiàn)出了壩袋充水過程中的非線性。

圖4 充水過程的實際控制曲線（開關(guān)閥實驗）Fig.4 Actual control curve of filling water process with open or close values

實驗2：開啟3臺水泵，進行加減泵實驗。實際運行曲線如圖5所示。

圖5 充水過程的實際控制曲線（加減泵實驗）Fig.5 Actual control curve of filling water process with increase or decrease pumps

圖5 中，初始運行狀態(tài)是3臺水泵（1#、2#與3#水泵）為三個壩袋進行充水，即圖中t0～t1時段，此時段中流量實際值等于流量設(shè)定值4.5 km3／h且保持恒定；在t1時刻，在保持流量設(shè)定值不變的情況下，對其進行減少一泵（如關(guān)閉1#泵）實驗，從圖5可以看出，流量曲線經(jīng)過幾次振蕩后又達到設(shè)定值，可保持基本穩(wěn)定，而此時頻率輸出在45 Hz處基本保持不變；在t2時刻，重新啟動剛才關(guān)閉的1#泵，流量又很快回到了原初始狀態(tài)，說明在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時設(shè)計的控制器仍具有較好的控制性能。

從上面實際運行曲線可以看出，不僅是在初始啟泵過程中可以有效控制充水總流量達到橡膠壩恒流充水的目的，而且在加減泵（系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化）和開關(guān)閥（參數(shù)變化）情況下仍能有效達到流量調(diào)節(jié)的目的，且都具有較好的控制效果?？傮w說明分數(shù)階PIλDμ控制方法具有較好的控制性能和較強的魯棒性，采用該控制方法有效解決了該充排水系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)變化、時變性及非線性等問題，達到了在充水過程中的流量恒定的控制目的。另外經(jīng)過現(xiàn)場運行試驗，在橡膠壩排水過程中同樣可以達到流量恒定控制的設(shè)計要求。

4 結(jié)束語

針對橡膠壩充排水這一復(fù)雜的實際控制系統(tǒng)，采用具有一定魯棒特性的分數(shù)階PIλDμ控制方法，在對分數(shù)階PIλDμ控制率進行數(shù)字實現(xiàn)后，把其應(yīng)用于該系統(tǒng)中進行恒定流量充排水控制與調(diào)節(jié)，現(xiàn)場實際運行效果表明該分數(shù)階PIλDμ控制方法具有較好的抗干擾性和較強的魯棒性，取得了良好的控制效果，達到了恒流量充排水控制的設(shè)計目標(biāo)及要求。

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