悟方法累經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)意識(shí)

王哲燕

推理是數(shù)學(xué)三大基本思維方式之一，是“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是“數(shù)學(xué)思考”這一過程性目標(biāo)中的重要組成部分。在教學(xué)中重視強(qiáng)化學(xué)生的推理意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，既有利于幫助學(xué)生形成言必有據(jù)、有條有理的良好習(xí)慣，也有利于學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法、積累思維經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)的興趣、解決問題和創(chuàng)造的能力，即增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正能量。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？對(duì)此，筆者談一些自己的體會(huì)。

一、猜想，發(fā)現(xiàn)的本源

許多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)均來(lái)自于大膽的猜想?！昂锨橥评硎侵笍囊延械氖聦?shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”，其實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。猜想是運(yùn)用非邏輯手段進(jìn)行推理的一種數(shù)學(xué)想象，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，為學(xué)生提出問題、解決問題創(chuàng)造條件。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的問題情境，使學(xué)生陷于憤悱，引發(fā)他們的認(rèn)知沖突，從而讓其產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，自始至終主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程。

然后提問：正方形的周長(zhǎng)與什么有關(guān)？圓呢？進(jìn)行第一次猜想。學(xué)生猜到圓的周長(zhǎng)與直徑（半徑）有關(guān)，那是怎樣的關(guān)系呢？讓學(xué)生進(jìn)行第二次猜想。學(xué)生1想到圓周長(zhǎng)是直徑的2倍多，而且有理有據(jù)：將圓對(duì)折一次，圓的上半個(gè)曲線比直徑長(zhǎng)，下半個(gè)曲線也比直徑長(zhǎng)，所以圓的周長(zhǎng)比直徑2倍還長(zhǎng)（如圖2）。

隨即教師充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，表?yè)P(yáng)生1進(jìn)行了有依據(jù)的猜想，然后追問：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？馬上有學(xué)生提出了異議，認(rèn)為不可能超出4倍。生2認(rèn)為4條直徑接在一起就成了正方形，比圓的周長(zhǎng)長(zhǎng)（如圖1）。生3將圓對(duì)折再對(duì)折，認(rèn)為a+b>c，a+b=直徑，4個(gè)c才是整個(gè)圓的周長(zhǎng)，所以也不可能超過4倍（如圖3）。

通過猜想確定范圍后，學(xué)生進(jìn)入了非常主動(dòng)的探究過程中。教師引導(dǎo)學(xué)生作出有依據(jù)的猜想，很好地鍛煉了學(xué)生的合情推理能力，同時(shí)教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生在各具個(gè)性的方法和理性思維之間往返穿梭，逐漸使思路清晰。

與以前認(rèn)識(shí)的平面圖形不同，圓是曲線圖形，圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系需要學(xué)生有更好的空間觀念和抽象思維能力，因此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“有根據(jù)”的猜想是有必要、有價(jià)值的?！皩W(xué)起于思，思源于疑”。有疑才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生的思維處于主動(dòng)積極、愉快獲知的狀態(tài)，喚起他們學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在生疑中主動(dòng)探究，在探究中議疑、釋疑，既習(xí)得了新知、悟得了方法，也促進(jìn)了推理能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。所以當(dāng)面臨新情況時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從進(jìn)行有依據(jù)的猜想開始。

二、示范，方法的領(lǐng)悟

波利亞指出，“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”。模仿是實(shí)踐，嘗試是實(shí)踐，創(chuàng)造也是實(shí)踐，根據(jù)小學(xué)生學(xué)習(xí)模仿性大的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中有意識(shí)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，在范例中讓學(xué)生學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比等似真推理的方法。

又如，歸納推理是學(xué)生合情推理的另一種重要方式。一位教師在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證的過程就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行了歸納推理的示范，為學(xué)生今后研究類似問題做了很好的示范。當(dāng)學(xué)生猜想出“三角形內(nèi)角和是180度”后，教師拋出問題：三角形有這么多，怎么進(jìn)行驗(yàn)證？引導(dǎo)學(xué)生得出因?yàn)槭茄芯績(jī)?nèi)角，所以就研究根據(jù)角分成的三類三角形，然后教師組織學(xué)生用各種方法先研究特殊的直角三角形的內(nèi)角和，再研究鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和，讓學(xué)生將研究結(jié)果“直角三角形內(nèi)角和是180度，鈍角三角形內(nèi)角和是180度，銳角三角形內(nèi)角和是180度”這三句話并成一句話，即得出結(jié)論。隨后，教師讓學(xué)生小結(jié)了“三角形內(nèi)角和”的準(zhǔn)確完整的答案，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生回顧推理來(lái)探討問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多知識(shí)和方法都要進(jìn)行歸納總結(jié)，將教學(xué)流程設(shè)計(jì)為歸納總結(jié)的過程就是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的過程，也為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，這樣學(xué)生既受到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練，又能領(lǐng)悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的積累

教師在教學(xué)時(shí)進(jìn)行操作的過程中，需要讓學(xué)生認(rèn)真觀察、思考，對(duì)整個(gè)過程能進(jìn)行總結(jié)，也就是從動(dòng)作思維上升到表象，最終形成抽象思維。所以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作、參與推理過程，既有利于學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，又為推理積累感性經(jīng)驗(yàn)。

例如，要讓四年級(jí)學(xué)生判斷“在一個(gè)三角形中，如果∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形”。如果沒有操作作支撐，學(xué)生是很難理解的。教學(xué)“三角形內(nèi)角和”，在驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180度時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，學(xué)生得出了兩種方法，第一種將三個(gè)角折拼成平角，第二種方法是將兩個(gè)銳角疊在直角上，這樣兩個(gè)直角加起來(lái)就是180度（如圖4）。

而在研究銳角三角形、鈍角三角形用折一折拼一拼的方法時(shí)只能用第一種，第二種不能用了，讓學(xué)生根據(jù)操作結(jié)果說一說原因（如圖5）。

在綜合練習(xí)中出現(xiàn)了這道抽象性很強(qiáng)的判斷題：一個(gè)三角形中∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形。學(xué)生指著課中的操作結(jié)果很自信地判斷正確，而且能有條有理地說出理由。

對(duì)事物進(jìn)行判斷推理，就是從最初的感性經(jīng)驗(yàn)開始的，因此通過操作不斷豐富學(xué)生的感性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使推理能力在感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性經(jīng)驗(yàn)的過程中得以發(fā)展。

四、說理，能力的彰顯

語(yǔ)言的表達(dá)是由思維決定的，反之，語(yǔ)言也能促進(jìn)思維的發(fā)展，讓思維更富有邏輯性，有條理有根據(jù)地進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能提高思維的敏捷性和靈活性。說理更多用到的是演繹推理，學(xué)習(xí)和生活中隨處可見演繹推理，只是學(xué)生很少能正規(guī)系統(tǒng)地去推理。不可否認(rèn)，學(xué)生的推理能力存在著很大的差異，一些學(xué)生思維活躍，條理清晰，分析問題頭頭是道，可有些學(xué)生卻沒有邏輯性。要“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)”。同時(shí)在教學(xué)中應(yīng)規(guī)范推理的程序，多進(jìn)行追問，讓學(xué)生有條理地進(jìn)行說理，養(yǎng)成推理有序、有據(jù)的良好習(xí)慣，促進(jìn)其演繹推理能力的發(fā)展。

演繹推理的標(biāo)準(zhǔn)格式為“大前提+小前提+結(jié)論”，也就是常說的“三段論式”。在教學(xué)中可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生按照這種格式進(jìn)行說理訓(xùn)練。

例如，在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課中，出現(xiàn)了這樣一道題：在周長(zhǎng)是6厘米的長(zhǎng)方形中加一條線段后（如圖6），這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

學(xué)生出現(xiàn)了兩種意見：6厘米和7厘米，在爭(zhēng)辯中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生這樣論述：（1）因?yàn)榉忾]圖形一周的長(zhǎng)度是它的周長(zhǎng)，也就是從起點(diǎn)繞一周回到起點(diǎn)；（2）從A點(diǎn)出發(fā)就要沿長(zhǎng)方形的四條邊繞一周回到A點(diǎn)；（3）所以周長(zhǎng)還是6厘米。

又如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課，讓學(xué)生對(duì)命題“一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角或鈍角”進(jìn)行說理，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)知道但說不清的現(xiàn)象，可啟發(fā)學(xué)生從“三角形內(nèi)角和是180度去思考表述，于是有了這樣的回答：（1）三角形的內(nèi)角和是180度；（2）假設(shè)一個(gè)三角形內(nèi)有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角，那內(nèi)角和就超過180度；（3）所以一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角或鈍角。

數(shù)學(xué)是一門具有高度科學(xué)性與嚴(yán)密邏輯性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。經(jīng)常進(jìn)行邏輯推理范式語(yǔ)言的訓(xùn)練，不僅能提高學(xué)生言語(yǔ)的條理性，而且有利于學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展。

從數(shù)學(xué)本身看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法，它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開推理，而且隨知識(shí)的積累、年級(jí)的升高，運(yùn)用已知獲得新知識(shí)的成分會(huì)逐步增加，所以要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逐步體驗(yàn)領(lǐng)悟推理的方法、積累推理的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展推理能力，形成推理意識(shí)。

（浙江省寧波市北侖區(qū)教育局教研室 315800）endprint

推理是數(shù)學(xué)三大基本思維方式之一，是“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是“數(shù)學(xué)思考”這一過程性目標(biāo)中的重要組成部分。在教學(xué)中重視強(qiáng)化學(xué)生的推理意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，既有利于幫助學(xué)生形成言必有據(jù)、有條有理的良好習(xí)慣，也有利于學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法、積累思維經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)的興趣、解決問題和創(chuàng)造的能力，即增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正能量。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？對(duì)此，筆者談一些自己的體會(huì)。

一、猜想，發(fā)現(xiàn)的本源

許多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)均來(lái)自于大膽的猜想。“合情推理是指從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”，其實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。猜想是運(yùn)用非邏輯手段進(jìn)行推理的一種數(shù)學(xué)想象，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，為學(xué)生提出問題、解決問題創(chuàng)造條件。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的問題情境，使學(xué)生陷于憤悱，引發(fā)他們的認(rèn)知沖突，從而讓其產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，自始至終主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程。

然后提問：正方形的周長(zhǎng)與什么有關(guān)？圓呢？進(jìn)行第一次猜想。學(xué)生猜到圓的周長(zhǎng)與直徑（半徑）有關(guān)，那是怎樣的關(guān)系呢？讓學(xué)生進(jìn)行第二次猜想。學(xué)生1想到圓周長(zhǎng)是直徑的2倍多，而且有理有據(jù)：將圓對(duì)折一次，圓的上半個(gè)曲線比直徑長(zhǎng)，下半個(gè)曲線也比直徑長(zhǎng)，所以圓的周長(zhǎng)比直徑2倍還長(zhǎng)（如圖2）。

隨即教師充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，表?yè)P(yáng)生1進(jìn)行了有依據(jù)的猜想，然后追問：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？馬上有學(xué)生提出了異議，認(rèn)為不可能超出4倍。生2認(rèn)為4條直徑接在一起就成了正方形，比圓的周長(zhǎng)長(zhǎng)（如圖1）。生3將圓對(duì)折再對(duì)折，認(rèn)為a+b>c，a+b=直徑，4個(gè)c才是整個(gè)圓的周長(zhǎng)，所以也不可能超過4倍（如圖3）。

通過猜想確定范圍后，學(xué)生進(jìn)入了非常主動(dòng)的探究過程中。教師引導(dǎo)學(xué)生作出有依據(jù)的猜想，很好地鍛煉了學(xué)生的合情推理能力，同時(shí)教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生在各具個(gè)性的方法和理性思維之間往返穿梭，逐漸使思路清晰。

與以前認(rèn)識(shí)的平面圖形不同，圓是曲線圖形，圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系需要學(xué)生有更好的空間觀念和抽象思維能力，因此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“有根據(jù)”的猜想是有必要、有價(jià)值的?！皩W(xué)起于思，思源于疑”。有疑才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生的思維處于主動(dòng)積極、愉快獲知的狀態(tài)，喚起他們學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在生疑中主動(dòng)探究，在探究中議疑、釋疑，既習(xí)得了新知、悟得了方法，也促進(jìn)了推理能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。所以當(dāng)面臨新情況時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從進(jìn)行有依據(jù)的猜想開始。

二、示范，方法的領(lǐng)悟

波利亞指出，“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”。模仿是實(shí)踐，嘗試是實(shí)踐，創(chuàng)造也是實(shí)踐，根據(jù)小學(xué)生學(xué)習(xí)模仿性大的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中有意識(shí)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，在范例中讓學(xué)生學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比等似真推理的方法。

又如，歸納推理是學(xué)生合情推理的另一種重要方式。一位教師在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證的過程就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行了歸納推理的示范，為學(xué)生今后研究類似問題做了很好的示范。當(dāng)學(xué)生猜想出“三角形內(nèi)角和是180度”后，教師拋出問題：三角形有這么多，怎么進(jìn)行驗(yàn)證？引導(dǎo)學(xué)生得出因?yàn)槭茄芯績(jī)?nèi)角，所以就研究根據(jù)角分成的三類三角形，然后教師組織學(xué)生用各種方法先研究特殊的直角三角形的內(nèi)角和，再研究鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和，讓學(xué)生將研究結(jié)果“直角三角形內(nèi)角和是180度，鈍角三角形內(nèi)角和是180度，銳角三角形內(nèi)角和是180度”這三句話并成一句話，即得出結(jié)論。隨后，教師讓學(xué)生小結(jié)了“三角形內(nèi)角和”的準(zhǔn)確完整的答案，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生回顧推理來(lái)探討問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多知識(shí)和方法都要進(jìn)行歸納總結(jié)，將教學(xué)流程設(shè)計(jì)為歸納總結(jié)的過程就是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的過程，也為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，這樣學(xué)生既受到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練，又能領(lǐng)悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的積累

教師在教學(xué)時(shí)進(jìn)行操作的過程中，需要讓學(xué)生認(rèn)真觀察、思考，對(duì)整個(gè)過程能進(jìn)行總結(jié)，也就是從動(dòng)作思維上升到表象，最終形成抽象思維。所以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作、參與推理過程，既有利于學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，又為推理積累感性經(jīng)驗(yàn)。

例如，要讓四年級(jí)學(xué)生判斷“在一個(gè)三角形中，如果∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形”。如果沒有操作作支撐，學(xué)生是很難理解的。教學(xué)“三角形內(nèi)角和”，在驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180度時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，學(xué)生得出了兩種方法，第一種將三個(gè)角折拼成平角，第二種方法是將兩個(gè)銳角疊在直角上，這樣兩個(gè)直角加起來(lái)就是180度（如圖4）。

而在研究銳角三角形、鈍角三角形用折一折拼一拼的方法時(shí)只能用第一種，第二種不能用了，讓學(xué)生根據(jù)操作結(jié)果說一說原因（如圖5）。

在綜合練習(xí)中出現(xiàn)了這道抽象性很強(qiáng)的判斷題：一個(gè)三角形中∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形。學(xué)生指著課中的操作結(jié)果很自信地判斷正確，而且能有條有理地說出理由。

對(duì)事物進(jìn)行判斷推理，就是從最初的感性經(jīng)驗(yàn)開始的，因此通過操作不斷豐富學(xué)生的感性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使推理能力在感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性經(jīng)驗(yàn)的過程中得以發(fā)展。

四、說理，能力的彰顯

語(yǔ)言的表達(dá)是由思維決定的，反之，語(yǔ)言也能促進(jìn)思維的發(fā)展，讓思維更富有邏輯性，有條理有根據(jù)地進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能提高思維的敏捷性和靈活性。說理更多用到的是演繹推理，學(xué)習(xí)和生活中隨處可見演繹推理，只是學(xué)生很少能正規(guī)系統(tǒng)地去推理。不可否認(rèn)，學(xué)生的推理能力存在著很大的差異，一些學(xué)生思維活躍，條理清晰，分析問題頭頭是道，可有些學(xué)生卻沒有邏輯性。要“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)”。同時(shí)在教學(xué)中應(yīng)規(guī)范推理的程序，多進(jìn)行追問，讓學(xué)生有條理地進(jìn)行說理，養(yǎng)成推理有序、有據(jù)的良好習(xí)慣，促進(jìn)其演繹推理能力的發(fā)展。

演繹推理的標(biāo)準(zhǔn)格式為“大前提+小前提+結(jié)論”，也就是常說的“三段論式”。在教學(xué)中可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生按照這種格式進(jìn)行說理訓(xùn)練。

例如，在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課中，出現(xiàn)了這樣一道題：在周長(zhǎng)是6厘米的長(zhǎng)方形中加一條線段后（如圖6），這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

學(xué)生出現(xiàn)了兩種意見：6厘米和7厘米，在爭(zhēng)辯中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生這樣論述：（1）因?yàn)榉忾]圖形一周的長(zhǎng)度是它的周長(zhǎng)，也就是從起點(diǎn)繞一周回到起點(diǎn)；（2）從A點(diǎn)出發(fā)就要沿長(zhǎng)方形的四條邊繞一周回到A點(diǎn)；（3）所以周長(zhǎng)還是6厘米。

又如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課，讓學(xué)生對(duì)命題“一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角或鈍角”進(jìn)行說理，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)知道但說不清的現(xiàn)象，可啟發(fā)學(xué)生從“三角形內(nèi)角和是180度去思考表述，于是有了這樣的回答：（1）三角形的內(nèi)角和是180度；（2）假設(shè)一個(gè)三角形內(nèi)有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角，那內(nèi)角和就超過180度；（3）所以一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角或鈍角。

數(shù)學(xué)是一門具有高度科學(xué)性與嚴(yán)密邏輯性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。經(jīng)常進(jìn)行邏輯推理范式語(yǔ)言的訓(xùn)練，不僅能提高學(xué)生言語(yǔ)的條理性，而且有利于學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展。

從數(shù)學(xué)本身看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法，它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開推理，而且隨知識(shí)的積累、年級(jí)的升高，運(yùn)用已知獲得新知識(shí)的成分會(huì)逐步增加，所以要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逐步體驗(yàn)領(lǐng)悟推理的方法、積累推理的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展推理能力，形成推理意識(shí)。

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推理是數(shù)學(xué)三大基本思維方式之一，是“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是“數(shù)學(xué)思考”這一過程性目標(biāo)中的重要組成部分。在教學(xué)中重視強(qiáng)化學(xué)生的推理意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，既有利于幫助學(xué)生形成言必有據(jù)、有條有理的良好習(xí)慣，也有利于學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法、積累思維經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)的興趣、解決問題和創(chuàng)造的能力，即增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正能量。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？對(duì)此，筆者談一些自己的體會(huì)。

一、猜想，發(fā)現(xiàn)的本源

許多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)均來(lái)自于大膽的猜想。“合情推理是指從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”，其實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。猜想是運(yùn)用非邏輯手段進(jìn)行推理的一種數(shù)學(xué)想象，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，為學(xué)生提出問題、解決問題創(chuàng)造條件。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的問題情境，使學(xué)生陷于憤悱，引發(fā)他們的認(rèn)知沖突，從而讓其產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，自始至終主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程。

然后提問：正方形的周長(zhǎng)與什么有關(guān)？圓呢？進(jìn)行第一次猜想。學(xué)生猜到圓的周長(zhǎng)與直徑（半徑）有關(guān)，那是怎樣的關(guān)系呢？讓學(xué)生進(jìn)行第二次猜想。學(xué)生1想到圓周長(zhǎng)是直徑的2倍多，而且有理有據(jù)：將圓對(duì)折一次，圓的上半個(gè)曲線比直徑長(zhǎng)，下半個(gè)曲線也比直徑長(zhǎng)，所以圓的周長(zhǎng)比直徑2倍還長(zhǎng)（如圖2）。

隨即教師充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，表?yè)P(yáng)生1進(jìn)行了有依據(jù)的猜想，然后追問：比2倍多多少呢？可能是3倍？4倍？5倍？馬上有學(xué)生提出了異議，認(rèn)為不可能超出4倍。生2認(rèn)為4條直徑接在一起就成了正方形，比圓的周長(zhǎng)長(zhǎng)（如圖1）。生3將圓對(duì)折再對(duì)折，認(rèn)為a+b>c，a+b=直徑，4個(gè)c才是整個(gè)圓的周長(zhǎng)，所以也不可能超過4倍（如圖3）。

通過猜想確定范圍后，學(xué)生進(jìn)入了非常主動(dòng)的探究過程中。教師引導(dǎo)學(xué)生作出有依據(jù)的猜想，很好地鍛煉了學(xué)生的合情推理能力，同時(shí)教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生在各具個(gè)性的方法和理性思維之間往返穿梭，逐漸使思路清晰。

與以前認(rèn)識(shí)的平面圖形不同，圓是曲線圖形，圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系需要學(xué)生有更好的空間觀念和抽象思維能力，因此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“有根據(jù)”的猜想是有必要、有價(jià)值的。“學(xué)起于思，思源于疑”。有疑才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生的思維處于主動(dòng)積極、愉快獲知的狀態(tài)，喚起他們學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在生疑中主動(dòng)探究，在探究中議疑、釋疑，既習(xí)得了新知、悟得了方法，也促進(jìn)了推理能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。所以當(dāng)面臨新情況時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從進(jìn)行有依據(jù)的猜想開始。

二、示范，方法的領(lǐng)悟

波利亞指出，“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”。模仿是實(shí)踐，嘗試是實(shí)踐，創(chuàng)造也是實(shí)踐，根據(jù)小學(xué)生學(xué)習(xí)模仿性大的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中有意識(shí)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，在范例中讓學(xué)生學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比等似真推理的方法。

又如，歸納推理是學(xué)生合情推理的另一種重要方式。一位教師在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證的過程就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行了歸納推理的示范，為學(xué)生今后研究類似問題做了很好的示范。當(dāng)學(xué)生猜想出“三角形內(nèi)角和是180度”后，教師拋出問題：三角形有這么多，怎么進(jìn)行驗(yàn)證？引導(dǎo)學(xué)生得出因?yàn)槭茄芯績(jī)?nèi)角，所以就研究根據(jù)角分成的三類三角形，然后教師組織學(xué)生用各種方法先研究特殊的直角三角形的內(nèi)角和，再研究鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和，讓學(xué)生將研究結(jié)果“直角三角形內(nèi)角和是180度，鈍角三角形內(nèi)角和是180度，銳角三角形內(nèi)角和是180度”這三句話并成一句話，即得出結(jié)論。隨后，教師讓學(xué)生小結(jié)了“三角形內(nèi)角和”的準(zhǔn)確完整的答案，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生回顧推理來(lái)探討問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多知識(shí)和方法都要進(jìn)行歸納總結(jié)，將教學(xué)流程設(shè)計(jì)為歸納總結(jié)的過程就是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的過程，也為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理，這樣學(xué)生既受到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練，又能領(lǐng)悟到所用的推理方法。

三、操作，感性的積累

教師在教學(xué)時(shí)進(jìn)行操作的過程中，需要讓學(xué)生認(rèn)真觀察、思考，對(duì)整個(gè)過程能進(jìn)行總結(jié)，也就是從動(dòng)作思維上升到表象，最終形成抽象思維。所以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作、參與推理過程，既有利于學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，又為推理積累感性經(jīng)驗(yàn)。

例如，要讓四年級(jí)學(xué)生判斷“在一個(gè)三角形中，如果∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形”。如果沒有操作作支撐，學(xué)生是很難理解的。教學(xué)“三角形內(nèi)角和”，在驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180度時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊的直角三角形入手，得出了量一量算一算、撕一撕拼一拼、折一折拼一拼等方法，在折一折拼一拼中，學(xué)生得出了兩種方法，第一種將三個(gè)角折拼成平角，第二種方法是將兩個(gè)銳角疊在直角上，這樣兩個(gè)直角加起來(lái)就是180度（如圖4）。

而在研究銳角三角形、鈍角三角形用折一折拼一拼的方法時(shí)只能用第一種，第二種不能用了，讓學(xué)生根據(jù)操作結(jié)果說一說原因（如圖5）。

在綜合練習(xí)中出現(xiàn)了這道抽象性很強(qiáng)的判斷題：一個(gè)三角形中∠1+∠2=∠3，這個(gè)三角形一定是直角三角形。學(xué)生指著課中的操作結(jié)果很自信地判斷正確，而且能有條有理地說出理由。

對(duì)事物進(jìn)行判斷推理，就是從最初的感性經(jīng)驗(yàn)開始的，因此通過操作不斷豐富學(xué)生的感性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使推理能力在感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性經(jīng)驗(yàn)的過程中得以發(fā)展。

四、說理，能力的彰顯

語(yǔ)言的表達(dá)是由思維決定的，反之，語(yǔ)言也能促進(jìn)思維的發(fā)展，讓思維更富有邏輯性，有條理有根據(jù)地進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能提高思維的敏捷性和靈活性。說理更多用到的是演繹推理，學(xué)習(xí)和生活中隨處可見演繹推理，只是學(xué)生很少能正規(guī)系統(tǒng)地去推理。不可否認(rèn)，學(xué)生的推理能力存在著很大的差異，一些學(xué)生思維活躍，條理清晰，分析問題頭頭是道，可有些學(xué)生卻沒有邏輯性。要“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)”。同時(shí)在教學(xué)中應(yīng)規(guī)范推理的程序，多進(jìn)行追問，讓學(xué)生有條理地進(jìn)行說理，養(yǎng)成推理有序、有據(jù)的良好習(xí)慣，促進(jìn)其演繹推理能力的發(fā)展。

演繹推理的標(biāo)準(zhǔn)格式為“大前提+小前提+結(jié)論”，也就是常說的“三段論式”。在教學(xué)中可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生按照這種格式進(jìn)行說理訓(xùn)練。

例如，在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課中，出現(xiàn)了這樣一道題：在周長(zhǎng)是6厘米的長(zhǎng)方形中加一條線段后（如圖6），這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

學(xué)生出現(xiàn)了兩種意見：6厘米和7厘米，在爭(zhēng)辯中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生這樣論述：（1）因?yàn)榉忾]圖形一周的長(zhǎng)度是它的周長(zhǎng)，也就是從起點(diǎn)繞一周回到起點(diǎn)；（2）從A點(diǎn)出發(fā)就要沿長(zhǎng)方形的四條邊繞一周回到A點(diǎn)；（3）所以周長(zhǎng)還是6厘米。

又如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課，讓學(xué)生對(duì)命題“一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角或鈍角”進(jìn)行說理，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)知道但說不清的現(xiàn)象，可啟發(fā)學(xué)生從“三角形內(nèi)角和是180度去思考表述，于是有了這樣的回答：（1）三角形的內(nèi)角和是180度；（2）假設(shè)一個(gè)三角形內(nèi)有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角，那內(nèi)角和就超過180度；（3）所以一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角或鈍角。

數(shù)學(xué)是一門具有高度科學(xué)性與嚴(yán)密邏輯性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。經(jīng)常進(jìn)行邏輯推理范式語(yǔ)言的訓(xùn)練，不僅能提高學(xué)生言語(yǔ)的條理性，而且有利于學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展。

從數(shù)學(xué)本身看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法，它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開推理，而且隨知識(shí)的積累、年級(jí)的升高，運(yùn)用已知獲得新知識(shí)的成分會(huì)逐步增加，所以要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逐步體驗(yàn)領(lǐng)悟推理的方法、積累推理的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展推理能力，形成推理意識(shí)。

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