例談數(shù)學思想方法在教學中的滲透

劉文林

在教學中，教師有意識地向?qū)W生滲透基本數(shù)學思想方法是提高學生數(shù)學能力和思維能力的重要手段，是數(shù)學教學中實現(xiàn)從傳授知識到培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力轉(zhuǎn)變的重要途徑。而數(shù)學思想方法不計其數(shù)，每一種數(shù)學思想方法都閃爍著智慧的火花。在小學數(shù)學知識中，隱含著許多思想方法，需要教師用心地挖掘、有機地滲透。現(xiàn)就在教學中如何滲透數(shù)學思想方法談一些筆者的體會。

一、滲透假設的思想，培養(yǎng)推理判斷能力

“假設的思想”，是要求人們對事物發(fā)展的趨勢進行一種假設，通過這種假設，使思維有繼續(xù)向前發(fā)展的依托和基礎，從而開辟出從未知通向已知的道路。假設的思想，在數(shù)學研究中應用極廣，尤其對那些逆向型的問題，更是“雪中送炭”。

在教學“分數(shù)的再認識”中，教師呈現(xiàn)了這樣一道例題：在學校舉行的捐款獻愛心活動中，小明捐了自己零花錢總數(shù)的，小芳捐了自己零花錢總數(shù)的。小芳捐的錢比小明捐的多嗎？請說明理由。

生：不一定。

師：你能想個辦法讓大家一聽就明白嗎？

生：有時小明捐的多，有時小芳捐的多，比如，小明有20元他捐的就是4元；如果小芳有10元她捐的也是4元，兩人一樣多。

生：假如小芳小明都有10元，那就是小芳捐的多。

生：假設小芳有10元，她就捐了4元；假設小明有100元，他就捐了10元，這樣就是小明捐的錢多。

師：聽出來了嗎？他剛才在解釋的時候用了一個很好的方法——

生：假設。

師：真不簡單，我們用掌聲來表揚他！我們在解決數(shù)學問題的時候，經(jīng)常會用到假設的方法，這樣可使復雜的問題簡單化。

再如這樣一道題：雞兔同籠，有22個頭、60條腿，雞兔各有多少只？假設22只全部是雞，則有腿22×2=44（條），比60條少了16條。每只兔子被假設成雞時，少了2條腿。那么，兔子一共是l6÷2=8（只），這樣就可以求出雞有22-8=14（只）。

在解題過程中，靈活地運用假設法，往往可以使問題化難為易。碰到難以表達清楚的事或抽象的、數(shù)目較大的問題，通過例子可以使學生容易理解，再按照題里的已知條件進行推算，把假定加以糾正調(diào)整，從而得到正確答案。的確，在數(shù)學學習和生活中，假設是一種非常重要的思想方法。它能讓復雜的問題簡單化，使問題易于解決。經(jīng)過不斷的滲透，讓學生在潛移默化中逐步領悟用假設法對數(shù)學問題進行推理與判斷，有時容易解決問題，從而使學生推理判斷能力提升于“潤物細無聲”中。

二、滲透對應的思想，培養(yǎng)比較分析能力

所謂“對應”是指一個系統(tǒng)中某一項在性質(zhì)、作用、位置或數(shù)量上跟另一系統(tǒng)中某一項相當。對應是人們對兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法。滲透對應的思想，有助于擴大學生的知識面，有助于加深他們對某些內(nèi)容的理解，有助于初步培養(yǎng)學生對事物進行辨析和歸類的能力，有助于培養(yǎng)學生清晰的、有條理的思考方法，也有利于進一步學習數(shù)學和現(xiàn)代科學技術。教學中，幫助學生逐步形成對應思想，掌握對應方法，對于提高學生比較問題、分析問題，進而解決問題的能力是大有裨益的。小學數(shù)學常用一一對應的直觀圖表。

（一）在計算教學中滲透對應思想

欄式題目右邊的方框里的數(shù)是這欄式題的得數(shù)，把每道題和它的得數(shù)用線段連起來。通過這種練習可以復習已學的加、減法。

（二）在應用題教學中滲透對應思想

解答分數(shù)應用題，抓準分率與實際的量的對應關系是解答的關鍵。分數(shù)應用題的數(shù)量關系比較抽象，必須充分利用線段圖作為解題工具。通過分析線段圖，明確誰是單位“1”、誰是對應分率，它可以幫助學生在復雜的條件和問題中，理清思路，找到解題線索，有利于發(fā)展學生的邏輯思維能力。

例如：小青看一本書，第一天看的頁數(shù)比總頁數(shù)的多16頁，第二天看的頁數(shù)比總頁數(shù)的少2頁，還余下88頁，這本書共有多少頁？

三、滲透函數(shù)的思想，培養(yǎng)推理判斷能力

函數(shù)思想是與現(xiàn)實世界聯(lián)系最密切的內(nèi)容之一，其可貴之處在于它是用運動、變化的觀點，去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律，如溫度的變化、速度的變化、物價的變化、股市的變化、月相的變化、身高體重的變化等。函數(shù)思想體現(xiàn)在：（1）認識到這個世界是普遍聯(lián)系的，各個量之間總是相互依存的，即“普遍聯(lián)系”的思想。（2）于“變化”中尋求“規(guī)律”（關系式），即“模式化”思想。（3）于“規(guī)律”中追求“有序”“結構化”“對稱”等思想。（4）感悟“變化”有快有慢，有時變化的速度是固定的，有時是變化的。（5）根據(jù)“規(guī)律”判斷發(fā)展趨勢，預測未來，并把握未來。由此可見教師在教學中滲透函數(shù)思想，必將為學生推理判斷能力的提高打下堅實基礎。

例如：教學“用字母表示數(shù)”，教師借助課件演示擺三角形，學生探究得出：三角形的個數(shù)可以用字母來表示，所需小棒根數(shù)可用含有字母的式子來表示。如用a表示三角形的個數(shù)，就用a×3表示所需要的小棒根數(shù)。通過師生交流，函數(shù)思想就自然地滲透于教學之中。

這個過程讓學生體會到字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示一些關系式。在學生自主探究的過程中滲透了函數(shù)思想，揭示了“用字母表示數(shù)”的內(nèi)涵，使學生收獲的不僅僅是知識技能，更重要的是數(shù)學思想方法。

四、滲透化歸的思想，培養(yǎng)分析概括能力

化歸，就是通過問題的轉(zhuǎn)化來解決問題的一種方法，它是最具有數(shù)學思維特色的一種方法。人們學習新知識之前往往會利用已有的知識去認識，從而形成新的經(jīng)驗，變成自己的知識，而這一過程其實就是一個“化歸”的過程?；瘹w的方向是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由暗到明。平時教學中不斷向?qū)W生滲透化歸的思想，學生就能在學習數(shù)學新知識時對舊知識進行分析概括，轉(zhuǎn)化為已知的舊知識。這樣可以激發(fā)學生的探索欲望和求知欲望，從而提高學生分析概括能力。

“植樹問題”兩種教學思路的比較。endprint

教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數(shù)、棵數(shù)，從而得出間隔數(shù)與棵數(shù)的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側(cè)種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰(zhàn)性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發(fā)，先來找一找其中的規(guī)律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數(shù)與間隔的個數(shù)有怎樣的關系呢？于是可啟發(fā)學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發(fā)現(xiàn)在一段路上兩端都種樹時棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關系：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規(guī)律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數(shù)學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養(yǎng)觀察探究能力

數(shù)學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的機會，能鍛煉數(shù)學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數(shù)學的信心，激發(fā)學習數(shù)學的主動性和參與性，從而更好地發(fā)展創(chuàng)造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內(nèi)角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯(lián)系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內(nèi)角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗?？纯茨銈兊牟孪胧欠裾_？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內(nèi)角的度數(shù)，再相加。發(fā)現(xiàn)有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內(nèi)角剪下來，和第一個內(nèi)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內(nèi)角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內(nèi)角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內(nèi)角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內(nèi)角，求另一個內(nèi)角等。

猜想—實驗—發(fā)現(xiàn)—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據(jù)教學環(huán)節(jié)及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發(fā)現(xiàn)”“驗證”“應用”等體現(xiàn)數(shù)學思想方法的術語，把隱含在知識中的數(shù)學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數(shù)學思想方法。

以上五種數(shù)學思想，僅僅是數(shù)學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質(zhì)的基礎，此外，還有符號思想、代數(shù)思想、極限思想、集合思想、建模思想、數(shù)形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數(shù)學思想，以達到提高學生數(shù)學能力和思維品質(zhì)的目的。

（浙江省龍游縣下庫小學 324400）endprint

教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數(shù)、棵數(shù)，從而得出間隔數(shù)與棵數(shù)的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側(cè)種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰(zhàn)性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發(fā)，先來找一找其中的規(guī)律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數(shù)與間隔的個數(shù)有怎樣的關系呢？于是可啟發(fā)學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發(fā)現(xiàn)在一段路上兩端都種樹時棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關系：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規(guī)律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數(shù)學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養(yǎng)觀察探究能力

數(shù)學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的機會，能鍛煉數(shù)學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數(shù)學的信心，激發(fā)學習數(shù)學的主動性和參與性，從而更好地發(fā)展創(chuàng)造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內(nèi)角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯(lián)系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內(nèi)角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗?？纯茨銈兊牟孪胧欠裾_？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內(nèi)角的度數(shù)，再相加。發(fā)現(xiàn)有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內(nèi)角剪下來，和第一個內(nèi)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內(nèi)角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內(nèi)角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內(nèi)角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內(nèi)角，求另一個內(nèi)角等。

猜想—實驗—發(fā)現(xiàn)—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據(jù)教學環(huán)節(jié)及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發(fā)現(xiàn)”“驗證”“應用”等體現(xiàn)數(shù)學思想方法的術語，把隱含在知識中的數(shù)學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數(shù)學思想方法。

以上五種數(shù)學思想，僅僅是數(shù)學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質(zhì)的基礎，此外，還有符號思想、代數(shù)思想、極限思想、集合思想、建模思想、數(shù)形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數(shù)學思想，以達到提高學生數(shù)學能力和思維品質(zhì)的目的。

（浙江省龍游縣下庫小學 324400）endprint

教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數(shù)、棵數(shù)，從而得出間隔數(shù)與棵數(shù)的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側(cè)種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰(zhàn)性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發(fā)，先來找一找其中的規(guī)律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數(shù)與間隔的個數(shù)有怎樣的關系呢？于是可啟發(fā)學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發(fā)現(xiàn)在一段路上兩端都種樹時棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關系：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規(guī)律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數(shù)學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養(yǎng)觀察探究能力

數(shù)學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的機會，能鍛煉數(shù)學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數(shù)學的信心，激發(fā)學習數(shù)學的主動性和參與性，從而更好地發(fā)展創(chuàng)造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內(nèi)角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯(lián)系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內(nèi)角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗?？纯茨銈兊牟孪胧欠裾_？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內(nèi)角的度數(shù)，再相加。發(fā)現(xiàn)有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內(nèi)角剪下來，和第一個內(nèi)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內(nèi)角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內(nèi)角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內(nèi)角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內(nèi)角，求另一個內(nèi)角等。

猜想—實驗—發(fā)現(xiàn)—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據(jù)教學環(huán)節(jié)及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發(fā)現(xiàn)”“驗證”“應用”等體現(xiàn)數(shù)學思想方法的術語，把隱含在知識中的數(shù)學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數(shù)學思想方法。

以上五種數(shù)學思想，僅僅是數(shù)學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質(zhì)的基礎，此外，還有符號思想、代數(shù)思想、極限思想、集合思想、建模思想、數(shù)形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數(shù)學思想，以達到提高學生數(shù)學能力和思維品質(zhì)的目的。

（浙江省龍游縣下庫小學 324400）endprint