《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》的認(rèn)知過(guò)程及思維方式分析

慎立美

(南京市揚(yáng)子第三小學(xué)，江蘇南京，210048)

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是小學(xué)階段有關(guān)分?jǐn)?shù)知識(shí)的一個(gè)非常重要的內(nèi)容。這部分內(nèi)容以分?jǐn)?shù)的意義為基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)約分、通分和異分母分?jǐn)?shù)加減法及其他分?jǐn)?shù)知識(shí)的重要前提。了解學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的認(rèn)知過(guò)程及思維方式，才能合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提高教與學(xué)的效果。以下是學(xué)生對(duì)該內(nèi)容的三個(gè)認(rèn)知階段。

一、感知和體會(huì)“分子、分母都各不相同的分?jǐn)?shù)的大小可以相等”

學(xué)生在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中，對(duì)分?jǐn)?shù)的大小已經(jīng)有了一些感性理解和簡(jiǎn)單歸納，對(duì)“大小相等的分?jǐn)?shù)”有初步的感知，但是還沒(méi)有形成清晰的認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，首先要進(jìn)一步感知和體會(huì)“分子、分母都各不相同的分?jǐn)?shù)，大小可以相等”。

這一目標(biāo)可以通過(guò)學(xué)生充分的體驗(yàn)感知達(dá)成。蘇教版教材首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些分?jǐn)?shù)的分子分母并不相同但大小卻相等的現(xiàn)象，讓學(xué)生形成“大小相等的分?jǐn)?shù)”的直觀表象;接著引導(dǎo)學(xué)生利用折紙操作，找出幾個(gè)和1/2大小相等的分?jǐn)?shù)，以親歷體驗(yàn)的方式使學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)等價(jià)類”思想獲得初步的感知。分?jǐn)?shù)等價(jià)類中每一個(gè)表示，各有各的用處，都有特定的價(jià)值。分?jǐn)?shù)的這個(gè)特點(diǎn)，既有學(xué)習(xí)難度，又有思想高度，是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法［1］。這一思想方法需要在教學(xué)中進(jìn)行滲透，以有利于它將來(lái)的發(fā)展。

首先，觀察能力的高低影響學(xué)生的水平。例如：學(xué)生發(fā)現(xiàn)分子分母并不相同但大小卻相等的分?jǐn)?shù)的現(xiàn)象，不僅要注意到分?jǐn)?shù)的大小相等，而且要注意到這些分?jǐn)?shù)的分子分母并不相同，它們是不同的分?jǐn)?shù)。教師要引導(dǎo)學(xué)生在形成整體印象的基礎(chǔ)上細(xì)致地觀察局部，通過(guò)比較來(lái)了解事物之間的聯(lián)系。

如學(xué)生在尋找和1/2大小相等的分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，不僅僅著眼于如何找到分?jǐn)?shù)，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注意在折紙的過(guò)程中正方形的涂色部分分?jǐn)?shù)所發(fā)生的變化，為抽象和驗(yàn)證分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)建立直觀的表象基礎(chǔ)。

其次，學(xué)生親歷操作活動(dòng)所獲得的經(jīng)驗(yàn)有利于思維活動(dòng)的順利進(jìn)行。例如：通過(guò)涂色來(lái)表示1/2這個(gè)操作步驟意義重大，學(xué)生在涂色的過(guò)程中，深化了分?jǐn)?shù)與面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)所涂色區(qū)域形成強(qiáng)烈的認(rèn)同感和很高的關(guān)注度，從而給學(xué)生留下深刻的印象。如果教師為了節(jié)約時(shí)間，提供事先已經(jīng)涂好色的正方形紙片給學(xué)生，那是達(dá)不到上述效果的。

如折紙的操作讓學(xué)生在動(dòng)手的過(guò)程中眼、手、腦都積極地參與到活動(dòng)中來(lái)，使學(xué)生為將來(lái)形成“分?jǐn)?shù)等價(jià)類”的思想做準(zhǔn)備。

二、發(fā)現(xiàn)和歸納“分?jǐn)?shù)的分子和分母怎樣變化，分?jǐn)?shù)的大小不變”

通過(guò)第一階段的觀察和操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式中分子分母變化的規(guī)律是比較容易的，主要問(wèn)題是語(yǔ)言表述的全面、準(zhǔn)確與精煉。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)細(xì)致的觀察分析進(jìn)行歸納，通過(guò)分享交流、比較反思得出明確的結(jié)論。

這個(gè)階段的教學(xué)以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納推理，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力為主。

歸納推理是合情推理的一種，合情推理憑借的是經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)。在這里，僅僅依靠學(xué)生的行為操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納推理是不夠的，還要依靠學(xué)生的思維操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，教材讓學(xué)生脫離具體的圖形，直接觀察和分析等式中分?jǐn)?shù)的分子分母的變化情況。教師不能急于求成，應(yīng)該讓學(xué)生具體說(shuō)一說(shuō)每個(gè)等式的變化情況，并將變化過(guò)程清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生歸納，較為完整地經(jīng)歷歸納推理的思維過(guò)程。

發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)策略可能掌握許多重要的技巧，但是發(fā)現(xiàn)并不意味著掌握。［2］在歸納推理的過(guò)程結(jié)束之后，教材要求學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，寫(xiě)出一組相等的分?jǐn)?shù)，這是“發(fā)現(xiàn)”后及時(shí)“掌握”所必需的環(huán)節(jié)，不能忽略。教師可以結(jié)合第一階段學(xué)生看到的和找到的兩組分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生再說(shuō)一說(shuō)其他和1/3或1/2相等的分?jǐn)?shù)。這一方面達(dá)成了及時(shí)掌握的目標(biāo)，同時(shí)讓學(xué)生清晰地感受到每組中大小相等的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，進(jìn)一步滲透“分?jǐn)?shù)等價(jià)類”的思想。

三、驗(yàn)證和解釋“為什么分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變”

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)缺少兩樣?xùn)|西：通過(guò)條件預(yù)測(cè)結(jié)果能力的培養(yǎng)和依據(jù)結(jié)論探究成因能力的培養(yǎng)。學(xué)生缺少這兩項(xiàng)能力，就無(wú)法完成一次真正的創(chuàng)造過(guò)程，也不利于創(chuàng)新型人才的成長(zhǎng)［3］。通過(guò)上述兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生看到了現(xiàn)象，也歸納出了規(guī)律，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從直觀到抽象的過(guò)程，通過(guò)條件預(yù)測(cè)結(jié)果的能力也得到了提高。但是學(xué)生對(duì)規(guī)律內(nèi)在成因的感知比較模糊，應(yīng)該讓抽象的結(jié)論再回到直觀的經(jīng)驗(yàn)中，并與過(guò)去的知識(shí)建立聯(lián)系，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)結(jié)論探究成因的能力。

這個(gè)階段的教學(xué)以指導(dǎo)學(xué)生分別運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”的思想方法進(jìn)行驗(yàn)證和解釋，以滲透數(shù)學(xué)思想方法為主。

通過(guò)歸納推理得出分?jǐn)?shù)大小不變的規(guī)律只能算是一種猜想，需要通過(guò)驗(yàn)證才能真正稱為分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)可以通過(guò)舉例加以驗(yàn)證，但這并不是科學(xué)的驗(yàn)證方法，充其量就是概念、定理外延的擴(kuò)展罷了，當(dāng)然，舉反例另當(dāng)別論。鑒于小學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展的階段性，教材試圖引導(dǎo)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)與除法內(nèi)在的密切聯(lián)系，將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為商不變的規(guī)律，用已有的知識(shí)來(lái)驗(yàn)證新知，這是一個(gè)非常合理的選擇。實(shí)際教學(xué)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生較為完整地經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，不能一帶而過(guò)。

教材中練習(xí)十一的第一題讓學(xué)生在同一幅方格圖中尋找表示相同涂色部分的不同分?jǐn)?shù)，教師可以利用這道題幫助學(xué)生通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解釋分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。當(dāng)學(xué)生提到1/2=4/8時(shí)，腦海中既有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形，也有分子分母同乘4的算式。但是由于整數(shù)認(rèn)知對(duì)分?jǐn)?shù)的干擾，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：一個(gè)分子是1，一個(gè)分子是4，它們的大小怎么會(huì)相等呢?教師可以利用學(xué)生折紙時(shí)對(duì)1/2形成的深刻印象，將分子分母同乘4的過(guò)程通過(guò)課件在正方形中畫(huà)出來(lái)。通過(guò)畫(huà)圖讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)到將正方形從平均分成2份變成平均分成8份，就是將其中的每一份都平均分成4份，4/8所表示的“4份”就是原來(lái)1/2所表示的“1份”，所以1/2=4/8。

綜上所述，學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”經(jīng)歷了感知和體會(huì)、發(fā)現(xiàn)和歸納、驗(yàn)證和解釋的認(rèn)知過(guò)程，學(xué)生的思維活動(dòng)由直觀到抽象，再回到直觀。教材的編寫(xiě)遵循這樣的認(rèn)知與思維過(guò)程，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)該充分利用教材，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程和思維方式精心設(shè)計(jì)教學(xué)，切實(shí)提高教學(xué)的效果。

［1］ 張奠宙，等．小學(xué)數(shù)學(xué)研究［M］．北京：高等教育出版社，2009．

［2］ 〔美〕戴蒙(Damon，W)，〔美〕勒納(Lerner，R．M)．兒童心理學(xué)手冊(cè)：第二卷上［M］．林崇德，李其維，董奇，等，譯．第六版．上海：華東師范大學(xué)出版社，2009．

［3］ 王瑾，史寧中，等．中小學(xué)數(shù)學(xué)中的歸納推理：教育價(jià)值、教材設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談之六［M］．北京：人民教育出版社，2011．