偽譜法在最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用淺析

王璐

(牡丹江大學(xué)機械工程學(xué)院,黑龍江牡丹江 157000)

偽譜法在最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用淺析

王璐

(牡丹江大學(xué)機械工程學(xué)院,黑龍江牡丹江 157000)

本文介紹了偽譜法在最優(yōu)控制問題中應(yīng)用。該方法是基于正交多項式的偽譜方法,在選取恰當(dāng)?shù)呐渲命c后,將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng),然后利用非線性規(guī)劃理論進(jìn)行求解,轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是如何選取配置點以及如何構(gòu)造微分方程。

偽譜法 最優(yōu)控制問題

最優(yōu)控制問題可以追溯到17世紀(jì)，當(dāng)時約翰伯努利提出了著名的最速降線問題。他向同年代的人提出了這樣一個問題，即一個垂直面上兩點間的一個物體僅在重力的作用下沿何種路徑下落可以使得下降的時間最短。之后，多位著名數(shù)學(xué)家，包括戈特弗里德威廉萊布尼茲，馬奎斯，埃塞克牛頓，約翰伯努利，雅各布伯努利等都對最速降線問題提出了解決方案。這些方案建立了最優(yōu)控制理論的雛形。

經(jīng)歷了三百多年的研究探索，最優(yōu)控制領(lǐng)域已經(jīng)取得了諸多的研究成果。包括：1733年由歐拉首次提出的的變分法，后來該方法以歐拉的名字命名。以及1950年，查理得貝爾曼率先在動力學(xué)工程發(fā)現(xiàn)的由哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程式導(dǎo)出的最優(yōu)控制問題必要條件。1962年列弗龐特里亞金提出的針對“ bang-bang”控制問題限制條件閉集約束提出的極大值原理。而隨著 20世紀(jì) 50年代計算機的發(fā)展，最優(yōu)控制問題的解決方法逐漸轉(zhuǎn)向了數(shù)值求解。目前，這類問題正吸引著越來越多的科研工作者的重視，現(xiàn)在以及未來若干年內(nèi)都將是熱點研究問題之一。

現(xiàn)今解決最優(yōu)控制問題的數(shù)值解法在逼近方法和復(fù)雜性上有著很大的不同，這些方法將連續(xù)時間問題離散化為某代數(shù)形式并用所得結(jié)果利用有限維逼近獲得結(jié)果。解決最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法主要有以下兩種形式，直接法和間接法。間接法主要是針對由變分法、龐特里亞金極大值原理獲得的最優(yōu)控制問題一階必要條件進(jìn)行探究。該法將必要條件轉(zhuǎn)化為一個哈密爾頓邊值問題( HBVP)，然后獲得最優(yōu)軌跡的數(shù)值解。并發(fā)現(xiàn)該最優(yōu)解就是通過選擇使性能指標(biāo)最低的極值軌跡。而間接法最大的優(yōu)點就是獲得的解具有很高的精確性并且滿足最優(yōu)控制問題一階必要條件。然而，間接法也有以下幾個缺點。首先， HBVP問題的解必須是解析的。其次，間接法是典型的小半徑收斂，恰當(dāng)?shù)某踔颠x擇對于問題的解決非常重要。同時，間接法需要一個準(zhǔn)確的對于協(xié)態(tài)變量的猜測，而協(xié)態(tài)變量往往沒有實際意義，所以難以選取。最后，對于路徑約束問題，得知限制或非限制路徑或可變換結(jié)構(gòu)的先驗知識也是必要的。 BNDSCO是一種解決乘子邊值問題的間接多重打靶法。在直接法中，這個連續(xù)時間最優(yōu)控制問題被離散轉(zhuǎn)化成了一個有約束條件的非線性規(guī)劃問題( NLP)。這個 NLP問題可以由 KKT( Karush-Kuhn-Tucker )條件來獲得解。直接法的優(yōu)點是不用最優(yōu)控制問題的一階必要條件，較間接法相比具有較大的收斂半徑，不需要很準(zhǔn)確的初值猜測，不需要對協(xié)態(tài)變量的猜測。重要的是變換結(jié)構(gòu)不需要預(yù)先知道。故而，有較多的應(yīng)用，但缺點是無法獲得協(xié)態(tài)變量的信息，從而無法檢驗NLP問題的解是否真的與原問題是等價的。直接法的種類是非常多的，并且包含了很多不同的方法技術(shù)。兩種常見的離散方法是將最優(yōu)軌線，路徑約束等控制約束參數(shù)化。在控制約束參數(shù)化方法中，將只把控制方程參數(shù)化，用數(shù)值積分來近似性能指標(biāo)，比如有打靶法和多重打靶法。在控制約束和最優(yōu)軌線參數(shù)化法中，將連續(xù)時間的控制問題離散化，將性能最優(yōu)控制問題的數(shù)值解一直是控制界的難點之一。按照經(jīng)典的最大值原理，最優(yōu)控制問題的求解將導(dǎo)致一組微分方程的兩點編制問題的計算。而對于大規(guī)模的系統(tǒng)而言，數(shù)值計算如何保證所求000000000000000000解的結(jié)果準(zhǔn)確變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優(yōu)控制問題存在不等式約束條件，那么數(shù)值計算變得更為困難。按照經(jīng)典的最大值原理，最優(yōu)控制問題的求解將導(dǎo)致一組微分方程的兩點邊值問題的計算。而對于大規(guī)模的系統(tǒng)而言，數(shù)值計算如何保證所求解的準(zhǔn)確性變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優(yōu)控制問題存在不等式約束條件，那么數(shù)值計算將更為困難。對于最優(yōu)控制問題的數(shù)值解，許多年來許多學(xué)者研究如何利用近似方法來求解，產(chǎn)生了控制向量參數(shù)化法 Chebyshev多項式正交近似法等。

由于控制問題在工程中有著廣泛的應(yīng)用，國內(nèi)外有許多的學(xué)術(shù)機構(gòu)投身于相應(yīng)的研究中。 Harpold最早為美國的航天飛機再入提供方案，在滿足再入走廊的前提下，建立阻力加速度相對于速度的標(biāo)稱軌跡，通過對待飛航程的預(yù)測和優(yōu)化實現(xiàn)最優(yōu)再入軌跡?；贖arpold思想， Axel等人做出改進(jìn)，建立阻力加速度相對于能量的標(biāo)稱軌跡。我國的陳士櫓院士及其他一些學(xué)者，都曾求解過以最小加熱量為最優(yōu)性能指標(biāo)的再入軌跡。 Shen提出更為實用的機載實時計算再入軌跡的方法。 Betts和Tang等學(xué)者利用直接法分別求解了有約束條件下的軌跡優(yōu)化問題和星際轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題。

偽譜方法在最優(yōu)控制問題上的最早應(yīng)用是1980年。1998年，美國海軍研究生院的學(xué)者 Fahroo和Qi等人對由 Vlassenbroeck和Elnagar引入最優(yōu)控制求解領(lǐng)域的偽譜方法( PseudoSpectral Method)進(jìn)行了大量的研究和完善。研究表明，偽譜方法對于求解最優(yōu)控制問題具有良好的收斂性和較低的初值敏感度。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的一系列成功和多種新型偽譜方法的提出。偽譜方法成為最優(yōu)控制數(shù)值求解領(lǐng)域最為活躍的分支。近年來許多學(xué)者有對該方法進(jìn)行研究，例如，勒讓德( Legendre)偽譜法等。而目前較為通用的是 Gauss偽譜法， Gauss偽譜法是偽譜法的一種變化形式，是求解非線性優(yōu)化控制的一種新方法，首先由 Elnagar等引入，并由 Ross等構(gòu)造完成以求解優(yōu)化控制問題。 Benson從理論上證明了高斯偽譜法的 KKT條件準(zhǔn)確等于最優(yōu)一階必要條件的離散形式，因而保證了所求解與間接法所求解的一致，NLP問題應(yīng)用 KKT乘子向量得到的協(xié)態(tài)變量是準(zhǔn)確的，并且狀態(tài)變量和控制變量的誤差隨著離散點的增多而迅速減小。高斯偽譜法( Gauss Pseudo spectral Method)是一種正交計算方法，它的配置點是勒讓德-高斯( Legendre-Gauss，簡稱LG)點，這種方法將狀態(tài)演化和控制規(guī)律通過用多項式參數(shù)化，微分方程用正交多項式近似。高斯偽譜法是一種基于譜方法的算法，它比其他方法具有更快的收斂速率，他最初使用 Chebyshev多項式，高斯偽譜法與其它偽譜法不同之處在于動態(tài)約束不在邊界點配置。

課題名稱：高職高專創(chuàng)新型人才培養(yǎng)質(zhì)量評估體系研究，課題類別：黑龍江省職業(yè)教育學(xué)會“十二五”規(guī)劃課題，課題編號：GG0470。