到底夠不夠

張垚杰

【關(guān)鍵詞】練習(xí)題？搖思考？搖 探索

【中圖分類號(hào)】G ？搖【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）01A-

0086-03

人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊第二單元，在學(xué)習(xí)了圓柱的體積計(jì)算以后，在練習(xí)三中編排了這樣一道題目：明明家里來了兩位小客人，媽媽沖了800ml果汁。如果用下圖中的玻璃杯喝果汁，明明和客人每人一杯夠嗎？

通過計(jì)算，三只杯子的總?cè)萘繛?32.58ml，因?yàn)?00ml<932.58ml，得出結(jié)論：明明和客人每人一杯不夠。這個(gè)看似簡單的解題過程和明確的結(jié)論，卻不止一次地引發(fā)了筆者的思考。

思考一：該題以生活素材呈現(xiàn)，那么反觀現(xiàn)實(shí)中遇到此種狀況，到底夠不夠倒三杯呢？計(jì)算800÷3≈267ml，每個(gè)杯子的容積為310.86ml，兩數(shù)相比的比值約為0.86。也就是說，800ml果汁平均倒入3個(gè)杯子，約能裝滿每個(gè)杯子總?cè)莘e的86%，這是一個(gè)非常符合生活實(shí)際的結(jié)果。照此理解，題目中媽媽沖的800ml果汁分給明明和兩位客人每人一杯應(yīng)該是夠的。

思考二：結(jié)合下文例6的問題設(shè)計(jì)，筆者嘗試著將“明明和客人每人一杯夠嗎”這一問題進(jìn)行如下解讀：①800ml果汁能不能裝滿三個(gè)杯子？②這三個(gè)杯子能不能裝下800ml的果汁？

照此思路，如果是第一個(gè)問題，結(jié)果是800ml果汁不能裝滿三個(gè)杯子，但是在第二個(gè)問題中顯然這三個(gè)杯子又是可以裝下800ml果汁的，這是“果汁<總?cè)莘e”情況下得出的結(jié)論。假設(shè)“果汁>總?cè)莘e”，媽媽泡的果汁有1000ml，那么問題1的結(jié)果是1000ml果汁能裝滿三個(gè)杯子，問題2則三個(gè)杯子不能裝下1000ml的果汁。恰恰相反！這一過程可以用下圖來表示：

思考三：假如以800ml果汁能夠倒?jié)M三個(gè)杯子這一結(jié)論為前提，如果媽媽沖的果汁只有600ml……300ml……1ml……呢？按照理解，只要媽媽沖了果汁（也包括大于三個(gè)杯子總?cè)莘e的情況），分給明明和客人每人一杯都是夠的。那么問題本身還有什么意義？

總結(jié)起來看，問題“明明和客人每人一杯夠嗎”？如果不夠，有悖常理，而這個(gè)題目本身就來源于生活實(shí)際；如果結(jié)論是夠了，將會(huì)導(dǎo)致這個(gè)問題沒有任何實(shí)際意義；如果從問題本身去分析，那么兩種理解又會(huì)導(dǎo)致完全不同的兩種結(jié)果。對于此種現(xiàn)狀，筆者嘗試著從以下幾個(gè)問題入手進(jìn)行剖析。

（1）是問題的不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致理解的歧義？站在教師的角度，在遇上這樣的困惑時(shí)第一反應(yīng)是歸結(jié)于題目本身的問題。也就是說“明明和客人每人一杯夠嗎”這一問題容易使人產(chǎn)生歧義。

聯(lián)系P20例題6（如下圖），同樣是以生活實(shí)際呈現(xiàn)，但是問題是這樣表述的：下面這個(gè)杯子能不能裝下這袋奶？（杯子的數(shù)據(jù)是從里面測量得到的）通過計(jì)算杯子的容積是502.4ml，大于498ml，所以這個(gè)杯子能裝下這袋奶。表述嚴(yán)密，結(jié)論正確。

再看習(xí)題中“明明和客人每人一杯夠嗎”這一問題，如果站在“不夠”的結(jié)論上思考，此問題的表達(dá)也不存在任何邏輯錯(cuò)誤。那么，思考二中對問題的疑意從何而生呢？在深入研題并結(jié)合題意分析后得出：該問題應(yīng)該理解為媽媽泡的800ml果汁能不能倒?jié)M三個(gè)杯子。而第二種理解“三個(gè)杯子能不能裝下果汁”在筆者認(rèn)為似乎有“偷換概念”的嫌疑。

（2）是生活實(shí)際與數(shù)學(xué)情境的脫節(jié)？在數(shù)學(xué)情境中，這個(gè)問題的結(jié)論是“不夠”，在生活實(shí)際中，得出的結(jié)論是“夠了”，存在矛盾。數(shù)學(xué)貼近于學(xué)生的生活實(shí)際是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，但是在上述矛盾中，究竟該以什么作為標(biāo)準(zhǔn)呢？姑且換一種思路作如下解讀：數(shù)學(xué)要聯(lián)系生活實(shí)際，但并不是唯生活實(shí)際是從。應(yīng)該允許“純數(shù)學(xué)”的形態(tài)存在，在這個(gè)范疇中，情境、生活實(shí)際都可以并且只作為模擬與虛設(shè)。

行文至此，一個(gè)低年級(jí)數(shù)學(xué)教師對該題的理解引起了筆者的注意：如果這個(gè)問題放在低年級(jí)的孩子中來教學(xué)，那我們師生一定會(huì)得出一致的結(jié)論是“夠的”。因?yàn)榻鉀Q問題本來就是解決生活實(shí)際中的一些問題，在“夠”與“不夠”的爭論中若以“客觀實(shí)際”為準(zhǔn)繩，問題的結(jié)論則顯而易見了。

又是一組矛盾——低年級(jí)認(rèn)為的“夠”與高年級(jí)結(jié)論的“不夠”。對于這個(gè)問題，或許可以從新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的不同學(xué)段教學(xué)建議中找到答案：第一學(xué)段（1～3年級(jí)）讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；第二學(xué)段（4～6年級(jí)）讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)。也可以這么說：低年級(jí)的學(xué)生以形象思維為主，而高年級(jí)學(xué)生已具備初步的邏輯思維能力，這一區(qū)別造成了對同一題目可能存在的不同理解。

（3）如何在教學(xué)中妥善處理這一問題？顯而易見，針對該習(xí)題的所有思考最終指向教師的教學(xué)實(shí)際。對待這些多想一步就可能產(chǎn)生不同理解的題目，避而不談堅(jiān)持“一刀切”直接得出“不夠”的結(jié)論顯然有欠妥之處?；蛘呒兇庾鳛橐活}作業(yè)，極少數(shù)的學(xué)生在完成后得出了相反的結(jié)論，教師又該作何處理？如果判“錯(cuò)”，以怎樣的解釋去說服學(xué)生可能已經(jīng)固有的理解呢？如果判“對”，則自然而然地導(dǎo)致了模棱兩可的現(xiàn)象。

課堂實(shí)踐與體會(huì)：

結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段教學(xué)建議：要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識(shí)背景密切相關(guān)的，又是學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程。筆者在該題的教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試：

【教學(xué)片段】人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊P22習(xí)題9。

（環(huán)節(jié)1）出示習(xí)題，學(xué)生計(jì)算、比較、得出結(jié)論（過程略）。

提問：明明和客人每人一杯夠嗎？（絕大部分學(xué)生根據(jù)計(jì)算得出“不夠”）

師：請大家聯(lián)系生活實(shí)際再次思考，你會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

部分學(xué)生（小聲的）：每人一杯應(yīng)該夠了；好像夠了？！

（環(huán)節(jié)2）師：我們來回顧一下這個(gè)題目（出示例題6）。

學(xué)生觀察思考之后提問：誰能用這樣的方式來表述一下這個(gè)題目的問題？

生1：這三個(gè)杯子能不能裝下800ml果汁？

師：能不能？為什么？

生2：能，因?yàn)楸拥目側(cè)莘e932.58ml>800ml。

師：那么你得出不夠的結(jié)論時(shí)是怎樣理解題目中的問題的呢？

生3：800ml果汁能不能倒?jié)M三個(gè)杯子。

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，可不可能將杯子完全倒?jié)M？（生：不可能）課前老師進(jìn)行了計(jì)算，800ml果汁平均分約能倒?jié)M一個(gè)杯子86%，（實(shí)物演示）感知得出：這是一個(gè)非常符合常理的結(jié)果。

師：在題目中我們得出了“不夠”的結(jié)論，但是在生活實(shí)際中卻是“夠的”，并且非常合理。針對這一狀況，誰來說說自己的理解？

生4：我認(rèn)為最終的結(jié)論是“不夠”，題目中根據(jù)計(jì)算的結(jié)果去比較再得出結(jié)論沒有問題。

生5：是問題本身出現(xiàn)了問題吧？因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的角度可以去理解了。

師：假設(shè)媽媽沖的果汁有1000ml，我們再來看這兩個(gè)問題，1000ml果汁能不能倒?jié)M這三個(gè)杯子？（能）那么，這三個(gè)杯子能不能裝下1000ml果汁呢？（不能）（整個(gè)講解過程逐步形成上文思考二的板書）

（學(xué)生較長時(shí)間地陷入了“怎么會(huì)產(chǎn)生這種結(jié)論”的思考）

師：針對這一現(xiàn)象，你認(rèn)為該題的最終解決應(yīng)該選擇哪一個(gè)問題？請結(jié)合題目的意思加以思考。

（全體學(xué)生讀題并思考）

師：誰來說說自己的理解？

生6：我認(rèn)為，從題目的意思來看應(yīng)該是800ml果汁能不能倒?jié)M三個(gè)杯子。

師：是這樣理解問題的同學(xué)請舉手。（約70%的學(xué)生）（小結(jié)）在解決問題中，對問題的理解直接關(guān)系到最終結(jié)論的得出，而分析問題要盡可能的結(jié)合題意。

（環(huán)節(jié)3）師：但是，大家發(fā)現(xiàn)了嗎？“到底夠不夠”這一矛盾并沒有得以解決。也就是：數(shù)學(xué)中理解的“不夠”和生活中的“夠”。

生：（若有所思）（輕聲地交流）是啊……

師：但是解決問題的指向已經(jīng)越來越明朗。誰能來說說自己的見解？

生7：應(yīng)該是數(shù)學(xué)和生活理解的標(biāo)準(zhǔn)不同吧。

師：非常好。那么在這兩種不同標(biāo)準(zhǔn)的理解中，你更傾向于用哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來用于這個(gè)問題的最終結(jié)論的得出呢？我給大家?guī)追昼姇r(shí)間的思考。（學(xué)生思考）

師：統(tǒng)計(jì)一下，認(rèn)為“不夠”的同學(xué)請舉手（約占全班65%的學(xué)生），認(rèn)為“夠”了的同學(xué)（約占全班25%）。（另有10%的學(xué)生仍然沉浸在思考中沒來得及得出結(jié)論）

（環(huán)節(jié)4）師：大家想過嗎？如果按照生活中的理解得出結(jié)論是每人一杯“夠”了，那么媽媽泡的果汁是600ml呢？每人一杯？（也夠）200ml呢？1ml呢？往大了假設(shè)，每人一杯必然是夠的。就會(huì)得出這樣的結(jié)論：只要媽媽泡了果汁，每人一杯都是夠的？（學(xué)生思考）

師追問：那么問題本身還有什么意義呢？

生：（愕然）……

師小結(jié)：這個(gè)題目的最終結(jié)論由同學(xué)們自己去得出，在作業(yè)中按照個(gè)人的理解和思考去完成，也可以把理由寫下來。

【設(shè)計(jì)意圖】（環(huán)節(jié)1）是問題的呈現(xiàn)；（環(huán)節(jié)2）是對思考二的理解并結(jié)合上文“是問題的不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致理解的歧義”進(jìn)行教學(xué)，最終引導(dǎo)得出應(yīng)該用第一種方式去理解該問題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)了分析題意的重要性；（環(huán)節(jié)3）再次設(shè)疑，但是以前面的討論作為基礎(chǔ)問題解決的指向趨于明顯，給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓他們用自己的理解去判斷并得出結(jié)論；（環(huán)節(jié)4）是結(jié)合思考3的拓展，仔細(xì)去分析，如果站在生活實(shí)際中“夠”的結(jié)論上思考，則假設(shè)的問題中媽媽沖的果汁應(yīng)該符合“平均分約能倒?jié)M一個(gè)杯子86%”作為前提，這樣一來，對于其他數(shù)據(jù)的假設(shè)實(shí)際上是把生活實(shí)際的問題又納入到數(shù)學(xué)情境中去思考了。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)有這樣的擔(dān)心：有些題目講不清楚或者講不透。教師的理解尚且如此，學(xué)生的反應(yīng)可想而知。因而，這類問題往往會(huì)成為教師的“心結(jié)”、學(xué)生的“死結(jié)”。換個(gè)方式去思考，其實(shí)知識(shí)是有其特有的“生命力”的，這種生命力一方面體現(xiàn)為滲透，另一方面體現(xiàn)為生長。上述教學(xué)實(shí)踐中，用足夠的時(shí)間，把能想到的所有問題和可能都呈現(xiàn)給學(xué)生。不必奢求每個(gè)學(xué)生都能理解這當(dāng)中的全部問題，相對于教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生經(jīng)歷的思考、探索的整個(gè)過程，最終結(jié)論的意義還會(huì)顯得那么重要嗎？

作業(yè)反饋后記：所任教班級(jí)46名學(xué)生，該題圓柱的體積計(jì)算部分準(zhǔn)確率為97.8%；結(jié)論為“不夠”的約占67.4%，結(jié)論為“夠”的約占32.6%；約43.5%的學(xué)生在得出結(jié)論后寫下自己的理解，部分摘錄如下：①我認(rèn)為夠了，因?yàn)轭}目中又沒說果汁一定要裝滿杯子。②不夠。如果不以裝滿為標(biāo)準(zhǔn)，那么800ml只能裝每個(gè)杯子的86%就不符合題目要求了，按照數(shù)學(xué)的理解杯的容量大于果汁那肯定不會(huì)裝滿，所以不夠。③不夠。800ml雖然能平均分三份倒入3個(gè)同樣的杯子，但卻裝不滿，生活實(shí)際當(dāng)中不倒?jié)M可以說成是一杯，數(shù)學(xué)理解中卻只能表示成幾分之幾杯。④我認(rèn)為這個(gè)問題在數(shù)學(xué)中理解應(yīng)該是不夠，但是在生活實(shí)際中是夠了，主要以杯子是否倒?jié)M為標(biāo)準(zhǔn)。⑤在生活實(shí)際中理解為“夠”了，那么老師的最后一個(gè)問題（指環(huán)節(jié)4，筆者注），泡1ml也是不符合生活實(shí)際的。

可見，只要教師引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生的思維是積極主動(dòng)的。