折紙在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

〓〓隨著折紙技術(shù)的發(fā)展，人們在折紙過程中發(fā)現(xiàn)許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的的問題，并運用幾何學(xué)知識加以解決.折紙可以作為一個數(shù)學(xué)問題進行研究，這使得折紙逐步發(fā)展為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支，成為科學(xué)研究和教學(xué)的工具.初中幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，如果能夠把折紙活動引入課堂，既可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、觀察能力，使學(xué)生建立起動手操作與動腦思考的聯(lián)系，從而促進思維能力的發(fā)展.

〓〓一、折紙在定理推導(dǎo)中的運用

1. 三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)

〓〓（1）操作用紙：長方形紙.

〓 （2）操作步驟：①在長方形的AD邊上任意取一點P，過點P、B兩點折疊，折痕為PB（如圖1）；②以同樣方法再過點P、C兩點折疊，折痕為PC.得到△PBC（如圖2）.

〓〓（3）觀察與思考：在△PBC中，三個內(nèi)角∠BPC，∠PBC，∠PCB的和為多少？

〓〓（4）思維引導(dǎo)：由于長方形對邊AB∥BC，故可得∠PBC=∠APB，∠PCB=∠DPC，從而把△PBC的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角上，得出△PBC內(nèi)角和為180°.

〓〓（5）定理證明：根據(jù)折紙所得的思路，引導(dǎo)學(xué)生過三角形一個頂點作對邊平行線，完成定理的證明.

〓〓2. 含30°角的直角三角形性質(zhì)的推導(dǎo)

〓〓（1）操作用紙：長方形或正方形.

〓〓（2）裁出含角的直角三角形的方法：①將長方形（或正方形）紙的一組對邊與重合對折，折痕記為（如圖3）；②將點A折到EF上，且讓折痕通過點B，折痕記為BH（如圖4）；③把△ABH剪下，即為含30°角的直角三角形.

〓〓（3）性質(zhì)探索：過點H把直角邊AH對折到斜邊BH上，折痕為GH，點A'為點A的對應(yīng)點（如圖5）.再把點B與點H重合對折（如圖6），可以發(fā)現(xiàn)折痕正好為A'G，從而得到AH=A'H=A'B，即AH=■BH.

〓〓（4）定理證明：根據(jù)折紙的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在BH上取一點A′，使A′H=AH，再過點A′作A′G⊥BH交AB于G，再進行證明.

〓〓二、折紙在教學(xué)活動中的應(yīng)用

〓〓1. ■長方形

〓〓《二次根式》單元活動中，給出了常打印紙張的長和寬，讓學(xué)生通過計算器發(fā)現(xiàn)這個比值與■的關(guān)系.一般把長與寬的比為■:1的長方形稱為■長方形.這個關(guān)系通過折紙活動很容易得出.

〓〓（1）操作體驗

〓〓①將A4長方形紙ABCD的短邊AB折到AD上，折痕為AE（如圖7）.②過點A將AD折到AE上，折痕為AF（如圖8）.通過折疊發(fā)現(xiàn)點D剛好與點E重合.

〓〓（2）思考分析

由AD與AE重合，得AD=AE.若設(shè)AB=1，則AD=AE=■，故長方形ABCD的長與寬的比為■:1.

〓〓（3）拓展延伸

〓〓①把A4長方形紙ABCD較短的對邊AB與CD重合對折，折痕為EF（如圖9），所得的兩個全等的長方形也是■長方形.

〓〓②計算：由于ABCD是■長方形，設(shè)AB=1，則ED=■AD=■，故EF:ED=1:■=■:1，可得兩個長方形均為■長方形.

〓〓若把長方形繼續(xù)對折下去，每次對折所得的長方形均為■長方形（如圖10）.

〓〓2. 黃金矩形

〓〓寬與長的比是■（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形給人以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.

〓〓在《四邊形》這章節(jié)的教學(xué)活動中，教材給出了用長方形紙折黃金矩形的方法.為簡化操作，可用正方形進行折疊，并用面積法給出證明.

〓〓（1）操作方法

〓〓①將正方形紙ABCD的邊AB與CD重合對折，折痕為EF.②過點C、E兩點折疊.③將BC與CD重合對折，折痕為CH；④過點H，將AH折到BH上，折痕為HG，則長方形BCGH為黃金矩形（如圖11）.

〓〓（2）計算：連接EH，設(shè)正方形邊長為2，BH=x，則CE=■.

S△HCE=■CE·HB'=■x，又S△HCE=S正方形ABCD-S△AHC-S△BHC-S△CDE=2-■x，得■x=2-■x，解得x=■-1，所以矩形BCGH的寬與長的比為■，故矩形BCGH為黃金矩形.

〓〓三、折紙在分析中考題中的運用

〓〓圖形的變換是初中幾何的重要內(nèi)容.折疊是一種軸對稱變換，每年的中考題中都有很多與折疊相關(guān)的題目.用折紙的方法去分析這些題目，讓學(xué)生親自動手嘗試，有助于學(xué)生理解題目，開闊思路，從而提高解題能力.

〓〓例1：（2013 河南省中考）如圖12，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B'處，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，BE的長為 .

〓〓在分析題目前，教師可先讓學(xué)生動手嘗試，折出△CEB′為直角三角形的情況，并互相交流不同的折法.學(xué)生通過嘗試可以發(fā)現(xiàn)，若B′為直角頂點，則A、B′、C三點在同一直線上，也就是把AB折到對角線AC上（如圖13）.若點E為直角頂點，則要把AB折到AD邊上，此時四邊形ABEB'為正方形（如圖14）.若點C為直角頂點，則必須把點B折到CD邊上，顯然是做不到的，故共有兩種情況，對這兩種情況分別解答即可得出答案.

〓〓例2：（2013 蘇州市中考）如圖15，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點G．若■=■，則■=（用含k的代數(shù)式表示）．

〓〓可設(shè)CG=1，GB=k，則AD=BC=k+1，故此題的突破點就在如何用k來表示AB.若讓學(xué)生動手去折疊一下，在折紙過程中很容易發(fā)現(xiàn)，EC可以折到EF上，折痕剛好是EG（如圖16），故AG可表示為2+k，根據(jù)勾股定得出AB=2■，即可得出答案■.

〓〓在折紙過程的不斷嘗試中，學(xué)生會加深對幾何問題的理解，不斷提高觀察能力和想象能力，拓展思路，提高思維能力.把折紙技術(shù)引進初中數(shù)學(xué)課堂，利用折紙進行輔助教學(xué)，是提高初中幾何教學(xué)效果的有效嘗試.

責(zé)任編輯〓羅峰