高中生抽象歸納能力的培養(yǎng)

〓〓在數(shù)學(xué)抽象歸納能力方面，不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生有不同的差異．具有較強數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在收集數(shù)學(xué)材料所提供的信息時，明顯表現(xiàn)出使數(shù)學(xué)材料形式化，能迅速地完成抽象歸納的任務(wù)，同時具有歸納的欲望，樂意地、積極主動地進(jìn)行概括．

〓〓為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠不斷地適應(yīng)這一要求，有效地提高自身在這些方面的能力和素質(zhì)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，我側(cè)重于從如下三方面進(jìn)行培養(yǎng)：由現(xiàn)象到實質(zhì)，即善于舍棄事物的非本質(zhì)的細(xì)節(jié)，抽取問題的實質(zhì)的能力；運用字母、符號進(jìn)行推廣、推想的能力；由特殊到一般，即化問題的具體提法為一般情況，進(jìn)而公式化的能力．我又從如下三種途徑進(jìn)行實施：在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力；在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力；在章節(jié)復(fù)習(xí)和高考復(fù)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力．

〓〓通過訓(xùn)練使學(xué)生明確什么叫做由具體到抽象、由特殊到一般，以及抽象的目標(biāo)、抽象的方法，明確事物在哪一個點上“抽象”了，從而總結(jié)認(rèn)識一個事物的不斷抽象的過程，最終培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力．

〓〓一、“透過現(xiàn)象，抓住實質(zhì)”的抽象舉例

〓〓在概念教學(xué)中，大量體現(xiàn)的是這種抽象過程．例如由數(shù)字到文字，由常量到變量，由有限到無限的抽象過程，就是中學(xué)代數(shù)教學(xué)過程的三次大的認(rèn)識思維能力的飛躍．《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書 （數(shù)學(xué)）》更是體現(xiàn)和突出這一特點，教師教學(xué)過程必須領(lǐng)會和實現(xiàn)這一要求．

〓〓近年來，高考中必有一道熱門考題應(yīng)用題，加強考核學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的抽象能力和解決實際問題的創(chuàng)新能力．把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括審題和聯(lián)想兩個步驟：所謂審題時指認(rèn)真讀題，弄清題設(shè)條件和所求結(jié)論的實際意義，挖掘隱含條件；所謂聯(lián)想，是指聯(lián)想與題目有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，通過抽象和概括建立數(shù)學(xué)模型．這個過程是比概念教學(xué)難度更大的“透過現(xiàn)象，抓住實質(zhì)”的抽象過程，可歸結(jié)為審題——轉(zhuǎn)化——建?！蠼狻此嫉慕忸}教學(xué)模式，下面舉一例說明．

〓〓例：流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病，某市去年11月份曾發(fā)生流感．據(jù)資料統(tǒng)計，①11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人．由于該市醫(yī)療部門采取措施．使該種病毒的傳播得到控制．②從某天起，每天的新感染者比前一天的新感染者減少30人．③到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病的患者總共有8670人．④問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．

〓〓此問題的抽象、建模、求解過程如下：

〓〓（i）閱讀理解，抓住本質(zhì)．留下標(biāo)號劃線的①②③④句，把11月1日到30日分為前n日及后第n+1日至30日止的（30-n）日兩段．

〓〓（ii）局部轉(zhuǎn)化，抽象建模．設(shè)從11月1日起第n日（n∈N，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．由①從11月1日至第n日止每日感染病毒人數(shù)依次成首項a■=20，公差d=50，an=20+50（n-1）的等差數(shù)列，前n日總?cè)藬?shù)為Sn=20n■+■=25n2-5n；由②從第n+1日起至11月30日止，每日感染人數(shù)依次成首項為b■=[20+（n-1）×50]-30=50n-60，公差d'■=-30，項數(shù)為（30-n）的等差數(shù)列，后（30-n）日的總?cè)藬?shù)為T30-n=（30-n)（50n-60)+■=-65n2+2445n-14850.

〓〓(iii)整體轉(zhuǎn)化，抽象建模．由③得基本等量關(guān)系，有Sn+T30-n=8670，即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670，化簡，得n2-61n+588=0，解得n=12，或n=49(舍去).

〓〓第12日的新患者人數(shù)為20+（12-1）×50=570.

〓〓（iv）由④作答：11月12日，該市感染此病毒的人數(shù)最高，且這一天的新患者人數(shù)為570人．

〓〓二、“推廣與推想”抽象舉例

〓〓在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“推廣與推想”的抽象能力可從解題教學(xué)的“解題反思”中，進(jìn)行一題多解、多題一解的訓(xùn)練，有計劃地變化題目的形式，舉一反三，從而使他們由懂得一個問題而熟悉一類問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題，以及掌握特殊與一般的辯證關(guān)系的創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)．下面舉一例說明．

〓〓例：式子■分母有理化的推廣與推想． 顯然■=■=■+■

特點：■+■與■-■互為倒數(shù).

〓〓推廣：■=■?芎■，n是非負(fù)整數(shù)；

〓〓■=■?芎■，a是非負(fù)實數(shù)；

〓〓■=■(■?芎■，a≥0且d＞0.

由上面的推廣，繼續(xù)推想，便可解決如下問題：

〓〓（1）倘若注意到(2+■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.

不難有：■·■·■=1.

〓〓類似地推廣開來，可有：■·■···■■=1.

（2）計算：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1.

同理有：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1（a＞0）.

〓〓log■(■)=1（a≥0 ，ｄ＞0且a=0時ｄ≠1）. 〓〓（3）解方程:(■-■)■=(■+■)■.

〓〓由上面結(jié)論，可得(■+■)■=(■-■)■

〓〓故3x-7=-7x-3，x=■

〓〓對于 (■-■)■=(■+■)■a≥0，可仿上法解之．

〓〓三、“特殊與一般”抽象的舉例

〓〓若被研究的對象很抽象或困難，一時無從下手，往往可以先將問題特殊化，或者利用圖形直觀觀察，或者用具體數(shù)字代替字母驗證；或者用有限代替無限；或者把運動問題暫時化為靜止?fàn)顟B(tài)；或者削弱問題的某些條件限制，即從“特殊化”或“簡單化”的情況下尋求問題解決的方法，猜想問題的普遍性結(jié)論，分析特殊性與普遍性的內(nèi)在聯(lián)系，并在一般性狀態(tài)下予以解決論證．其典型例子莫過于數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用．

〓〓例： (2012年武漢市調(diào)研試題)設(shè)a■是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．

〓〓（1）寫出數(shù)列a■的前三項；(2)求數(shù)列a■的通項公式(寫出推證過程).

〓〓解: （1）略解前三項分別為2，6，10．

〓〓（２）解：由前三項猜想數(shù)列有通項公式a■=4n-2.

〓〓證明：（a）當(dāng)n=1時，∵ 4×1-2=2，又由（１）知a1=2，故結(jié)論成立．

〓〓（b）假設(shè)n=k (n?叟1，k∈N)有ak=4k-2成立．

〓〓由題意，■=■ ，且ak=4k-2，得2k=■，

〓〓解得Sk=2k2，又■=■，

〓〓且S■=S■+ak+1，

〓〓將Sk=2k2代入上式，得(■)=2(ak+1+2k2).

〓〓整理得a2■■-4ak+1+4-16k2=0，由于ak+1＞0，解得ak+1=2+4k=4(k+1)-2，即n=k+1時，結(jié)論正確．

根據(jù)（a）（b），可知結(jié)論對一切自然數(shù)n均成立．

〓〓上面數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用舉例，就是典型的由特殊到一般，有限到無限的遞推、猜想、證明的概括與抽象的范例．

〓〓在概念教學(xué)、解題教學(xué)以及高考復(fù)習(xí)教學(xué)中實施對學(xué)生抽象能力培養(yǎng)的思路和方法，能使學(xué)生對當(dāng)前高考側(cè)重考核能力和素質(zhì)的適應(yīng)性不斷增強，取得較好效果．總之，培養(yǎng)學(xué)生的抽象歸納能力的方法和形式是多樣的，只要教師能根據(jù)教材特點，結(jié)合學(xué)生實際，善于思考學(xué)生抽象歸納思維發(fā)展的規(guī)律，就一定能在教學(xué)中培養(yǎng)出抽象歸納能力出色的好學(xué)生．

〓〓責(zé)任編輯〓羅〓峰