二次函數(shù)的對稱美

姚曉娟

摘 要： 二次函數(shù)的圖像拋物線是軸對稱圖形，解決有關(guān)拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則?？梢越o出簡捷的解法，化難為易，形象直觀.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 拋物線 軸對稱性

數(shù)學美，美在哪里？一種美是因為她的對稱和諧，對稱美，是指組成某種事物或?qū)ο蟮膬蓚€部分的對等性，是統(tǒng)一性的特殊表現(xiàn).數(shù)學的對稱美絕不單單體現(xiàn)在一些因?qū)ΨQ而美的圖形，更體現(xiàn)在應用軸對稱性簡單地解決一些問題.二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像為拋物線，她具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等.本文主要研究二次函數(shù)的軸對稱性，解決有關(guān)拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則?？梢越o出簡捷的解法，化難為易，形象直觀.

一、美在形

（一）作圖

研究函數(shù)都要先研究函數(shù)的圖像，列表、描點、連線，用光滑的曲線連接，會發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，可以讓學生自己嘗試畫圖，感受一下，也可以用軟件精準地展示出二次函數(shù)的圖形.由于二次函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，因此列表時我們可以在對稱軸兩側(cè)找，簡化作圖步驟，即“五點作圖法”.

（二）二次函數(shù)的對稱點式

二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像與x軸相交于點A（x■，0）和B（x■，0），也就是一元二次方程ax■+bx+c=0的解為x■，x■，則根據(jù)韋達定理有x■+x■=-■，x■x■=■.所以

y=ax■+bx+c=a（x■+■x+■）=a[x■-（-■）x+■]=a[x■-（x■+x■）x+x■x■]=a（x-x■）（x-x■）.

點A和點B是拋物線上的一組特殊的對稱點，于是我們得到了二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x-x■）（x-x■），但這種形式僅僅適用于與x軸有交點的二次函數(shù)，使用時有其局限性.但是由此我們可以得到二次函數(shù)的對稱點式，相當于把二次函數(shù)與x軸的交點上下平移，也就是把函數(shù)圖像上下平移，這樣A、B兩點的坐標就變?yōu)椋▁■，k），（x■，k），即y=a（x-x■）（x-x■）+k，這就是二次函數(shù)的對稱點式.有了它，我們只要知道拋物線上的一組對稱點就可以使用對稱點式求出函數(shù)解析式.反過來，如果我們有條件：（x■，k），（x■，k）是拋物線y=ax■+bx+c（a≠0）上的一組對稱點，也就可以得出此拋物線的對稱軸是直線x=■.

二、美在隱

在求二次函數(shù)解析式的問題時，要挖掘題中的隱含的條件，利用二次函數(shù)的對稱性解題.例：已知x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x■+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x■+4x+6的值等于？搖 ？搖.

本題可以引入一個變量，設多項式為y=x■+4x+6=（x+2）■+2.

當x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x■+4x+6的值相等，y值相等，且m-n+2≠0，意味著2m+n+2≠m+2n，那么x=2m+n+2和x=m+2n這兩點是拋物線上的一組對稱點，所以2m+n+2+m+2n=-4，即m+n=-2.所以當x=3（m+n+1）時，多項式y(tǒng)=x■+4x+6=（x+2）■+2=（3m+3n+5）■+2=[3×（-2）+5]■+2=3.

三、美在簡

二次函數(shù)圖像是一條具有對稱性的拋物線，如果能合理利用二次函數(shù)的對稱性解決相關(guān)問題，就會大大簡化解題，達到事半功倍的效果.

例1.初三數(shù)學課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax■+bx+c的圖像時，列了如下表格：

根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)y=ax■+bx+c在x=3時，y=？搖 ？搖.

本題乍一看需要帶入三個點的坐標，求出a、b、c的值，得到二次函數(shù)關(guān)系式，然后再代入當x=3時求y的值.但是仔細觀察一下，當x分別取0和2時，對應的y值都是-2■，根據(jù)二次函數(shù)的軸對稱性可以確定二次函數(shù)的對稱軸為x=1，再來看要求x=3時求y的值，根據(jù)二次函數(shù)的軸對稱性應該等于x=-1時的y值，從而可以很快得到y(tǒng)=-4.巧妙運用二次函數(shù)的軸對稱性可以大大簡化解題，從而節(jié)省解題時間.

例2.已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.

（1）試直接寫出點D的坐標；

（2）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP.

①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO-TB|的值最大.

本題最后一問要用二次函數(shù)的對稱性解決，存在點T，使得|TO-TB|的值最大.由前面可得拋物線y=■x■-■x的對稱軸為直線x=■，設拋物線與x軸的另一個交點為E，則點E（■，0），∵點O、點E關(guān)于直線x=■對稱∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即使得|TE-TB|的值最大.根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE-TB|的值最大.設過B、E兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），∴3k+b=2■k+b=0，解得：k=■b=-2，∴直線BE的解析式為y=■x-2.當x=■時，y=■×■-2=-1，∴存在一點T（■，-1）使得|TO-TB|最大.

本題借助拋物線的軸對稱性，把位于對稱軸兩側(cè)的點變換到了同一側(cè)，使得問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊之間的關(guān)系，使得解題思路簡單清晰.

古代哲學家普洛克拉斯說過：哪里有數(shù)學，哪里就有美.作為科學語言的數(shù)學，具有一般語言文學與藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有自身的某種美，即數(shù)學美.就二次函數(shù)而言，由于拋物線是軸對稱圖形，因此對稱性在學習二次函數(shù)的過程中發(fā)揮了非常重要的作用.對于有關(guān)二次函數(shù)的一些題目，如果用其他方法解決可能就會繞很長的彎路，但若利用二次函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合地解決問題，就會事半功倍.