討論函數(shù)單調(diào)性的導(dǎo)函數(shù)類型

羅永紅

討論函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)考查的重點和熱點，從導(dǎo)函數(shù)類型來梳理函數(shù)單調(diào)性的討論有利于學(xué)習(xí)和教學(xué)，更有利于高考復(fù)習(xí).那么這種討論的導(dǎo)函數(shù)類型有哪些？

一、二次函數(shù)型

導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的討論型，均可用判別式的分類來進行討論解答，然而不同的特征式，卻可以有著特征的簡便解答.

1.二項型：Ax2+B（A≠0）

例1 （2012浙江卷理22）已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（Ⅰ）證明：當(dāng)0≤x≤1時，

（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（Ⅱ）若-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

解 （Ⅰ） （?。?f ′（x）=12ax2-2b=12a（x2-b6a），a>0，b∈R.

當(dāng)b≤0時，f ′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)0≤x≤1時， f（x）的最大值為f（1）=3a-b=|2a-b|+a.

當(dāng)b>0時，f ′（x）=12a（x+b6a）（x-b6a），f（x）在[0，b6a]上單調(diào)遞減，在[b6a，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)0≤x≤1時，

f（x）max=max{f（0），f（1）}=max{-a+b，3a-b}=3a-b，b≤2a，

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

綜上， 當(dāng)0≤x≤1時， 函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a.

下略.

2.分解型：a（x-x1）（x-x2）

例2 （2005山東卷文19）已知x=1是函數(shù)f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一個極值點，其中m、n∈R，m≠0.

（1）求m與n的關(guān)系表達式；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

解 （1）略. n=3m+6.

（2）由（1）知f ′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+2m）].

當(dāng)m>0時，1<1+2m，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）、（1+2m，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[1，1+2m]；

當(dāng)m<0時，1>1+2m，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[1+2m，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1+2m）、（1，+∞）.

3.判別式型Δ=b2-4ac

這種類型多在有理數(shù)集內(nèi)不能分解時的解答.

例3 （2009山東卷文21）已知f（x）=13ax3+bx2+x+3，其中a≠0.

（Ⅰ）當(dāng)a、b滿足什么條件時，f（x）取得極值？

（Ⅱ）已知a>0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

解 （Ⅰ）f ′（x）=ax2+2bx+1，a≠0.

Δ=4b2-4a.

當(dāng)Δ≤0時，a>0，f ′（x）≥0，f（x）上是增函數(shù)，無極值；a<0，f ′（x）≤0，f（x）上R是減函數(shù)，無極值.

當(dāng)Δ>0時，f ′（x）=ax2+2bx+1=0有兩個不同的解，即x1=-b-b2-aa，

x1=-b+b2-aa.

（1）當(dāng)a>0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，x1）、（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[x1，x2]，f（x）在點x1，x2處分別取得極大值和極小值；

（2）當(dāng)a<0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[x1，x2]，單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x1）、（x2，+∞），f（x）在點x1，x2處分別取得極小值和極大值.

綜上，當(dāng)a、b滿足b2>a時，f（x）能取到極值.

（Ⅱ）略.

歷年高考統(tǒng)計，對于高于二次的一元多項式導(dǎo)函數(shù)，有考查過三次和四次的，但沒有對這種高次導(dǎo)函數(shù)討論的.

二、非二次函數(shù)型

1.含指數(shù)型

例4 （2011北京卷理18）已知f（x）=（x-k）2exk.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1

e，求k的取值范圍.

解 （1）f ′（x）=2（x-k）exk+（x-k）2·1kexk=1k（x+k）（x-k）exk.

當(dāng)k>0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-k）、（k，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[-k，k]；

當(dāng)k<0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[k，-k]，單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k）、（-k，+∞）.

（2）略.

高中階段，主要是考查含以e為底的指數(shù)函數(shù).由于指數(shù)函數(shù)值的正值性和求導(dǎo)后的特征性，指數(shù)與其它類型的函數(shù)都能混合嫁接，所編造的導(dǎo)函數(shù)形式花樣迭出，創(chuàng)新頗多，新穎、陌生環(huán)境的題也最有可能.

2.對數(shù)型

例5 （2006全國Ⅱ卷理20）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解 令g（x）=f（x）-ax=（x+1）ln（x+1）-ax，g′（x）=ln（x+1）+1-a.

令g′（x）=ln（x+1）+1-a=0，解得x=ea-1-1.

（?。┊?dāng)a≤1時，對所有x>0，g′（x）>0，則g（x）上[0，+∞）是增函數(shù).又g（0）=0，所以對x≥0都有g(shù)（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（ⅱ）當(dāng)a>1時，對于0

綜上，a的取值范圍是a≤1.

高中階段，主要是考查含以e為底的對數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)含對數(shù)型的討論考查比較少見，一旦出現(xiàn)因?qū)?shù)的個性運算題解自然有一定難度.

3.分式型

例6 （2012天津卷理20）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

（Ⅲ）證明：ni=122i-1-ln（2n+1）<2 （n∈N*）.

解 （Ⅰ）略. a=1.

（Ⅱ）當(dāng)k≤0時，f（1）=1-ln2>0，不合題意.

當(dāng)k>0時，令g（x）=f（x）-kx2=x-ln（x+1）-kx2，定義域為（-1，+∞）.

g′（x）=1-1x+1-2kx=-x[2kx-（1-2k）]x+1.

令g′（x）=0，得x1=0，x2=1-2k2k>-1.

（1）當(dāng)k≥12時，1-2k2k≤0，g′（0）<0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減.于是，對任意的x∈[0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，，即f（x）≤kx2成立.

（2）當(dāng)00，對（0，1-2k2k），g′（x）>0，故g（x）在（0，1-2k2k）內(nèi)單調(diào)遞增.

因此當(dāng)x∈（0，1-2k2k）時，g（x）>g（0）=0，即f（x）>kx2，與題意不合.

綜上，k的最小值是12.

（Ⅲ）略.

導(dǎo)函數(shù)為分式型的原函數(shù)多數(shù)是含分式型函數(shù)，或為含以e為底的對數(shù)函數(shù).解答這類題，要注意定義域，且多數(shù)情況下導(dǎo)函數(shù)都是歸結(jié)為二次函數(shù)型的討論.

4.含三角函數(shù)型

例7 （2012全國卷理20）已知函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解 （1）f ′（x）=a-sinx.

當(dāng)a≥1時，f ′（x）≥0，且僅當(dāng)a=1，x=π2時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是增函數(shù)；

當(dāng)a≤0時，f ′（x）≤0，且僅當(dāng)a=0，x=0或x=π時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是減函數(shù)；

當(dāng)0

當(dāng)x∈[0，x1）時，sinx0，f（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（x1，x2）時，sinx>a，f ′（x）<0，f（x）是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（x2，π]時，sinx0，f（x）是增函數(shù).

（2）略.

筆者對2004至2012年的高考數(shù)學(xué)試題作了冪函數(shù)考查統(tǒng)計，有2012江西卷理21，2012湖北卷理22兩省考查了導(dǎo)函數(shù)含冪函數(shù)型，但未有討論.

梳理了討論函數(shù)單調(diào)性的上述導(dǎo)函數(shù)類型，對導(dǎo)函數(shù)討論內(nèi)容必有宏觀的認識，相信對學(xué)生高考自主復(fù)習(xí)和教師為謀略性的高考教學(xué)有所益處.

綜上，a的取值范圍是a≤1.

高中階段，主要是考查含以e為底的對數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)含對數(shù)型的討論考查比較少見，一旦出現(xiàn)因?qū)?shù)的個性運算題解自然有一定難度.

3.分式型

例6 （2012天津卷理20）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

（Ⅲ）證明：ni=122i-1-ln（2n+1）<2 （n∈N*）.

解 （Ⅰ）略. a=1.

（Ⅱ）當(dāng)k≤0時，f（1）=1-ln2>0，不合題意.

當(dāng)k>0時，令g（x）=f（x）-kx2=x-ln（x+1）-kx2，定義域為（-1，+∞）.

g′（x）=1-1x+1-2kx=-x[2kx-（1-2k）]x+1.

令g′（x）=0，得x1=0，x2=1-2k2k>-1.

（1）當(dāng)k≥12時，1-2k2k≤0，g′（0）<0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減.于是，對任意的x∈[0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，，即f（x）≤kx2成立.

（2）當(dāng)00，對（0，1-2k2k），g′（x）>0，故g（x）在（0，1-2k2k）內(nèi)單調(diào)遞增.

因此當(dāng)x∈（0，1-2k2k）時，g（x）>g（0）=0，即f（x）>kx2，與題意不合.

綜上，k的最小值是12.

（Ⅲ）略.

導(dǎo)函數(shù)為分式型的原函數(shù)多數(shù)是含分式型函數(shù)，或為含以e為底的對數(shù)函數(shù).解答這類題，要注意定義域，且多數(shù)情況下導(dǎo)函數(shù)都是歸結(jié)為二次函數(shù)型的討論.

4.含三角函數(shù)型

例7 （2012全國卷理20）已知函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解 （1）f ′（x）=a-sinx.

當(dāng)a≥1時，f ′（x）≥0，且僅當(dāng)a=1，x=π2時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是增函數(shù)；

當(dāng)a≤0時，f ′（x）≤0，且僅當(dāng)a=0，x=0或x=π時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是減函數(shù)；

當(dāng)0

當(dāng)x∈[0，x1）時，sinx0，f（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（x1，x2）時，sinx>a，f ′（x）<0，f（x）是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（x2，π]時，sinx0，f（x）是增函數(shù).

（2）略.

筆者對2004至2012年的高考數(shù)學(xué)試題作了冪函數(shù)考查統(tǒng)計，有2012江西卷理21，2012湖北卷理22兩省考查了導(dǎo)函數(shù)含冪函數(shù)型，但未有討論.

梳理了討論函數(shù)單調(diào)性的上述導(dǎo)函數(shù)類型，對導(dǎo)函數(shù)討論內(nèi)容必有宏觀的認識，相信對學(xué)生高考自主復(fù)習(xí)和教師為謀略性的高考教學(xué)有所益處.

綜上，a的取值范圍是a≤1.

高中階段，主要是考查含以e為底的對數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)含對數(shù)型的討論考查比較少見，一旦出現(xiàn)因?qū)?shù)的個性運算題解自然有一定難度.

3.分式型

例6 （2012天津卷理20）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

（Ⅲ）證明：ni=122i-1-ln（2n+1）<2 （n∈N*）.

解 （Ⅰ）略. a=1.

（Ⅱ）當(dāng)k≤0時，f（1）=1-ln2>0，不合題意.

當(dāng)k>0時，令g（x）=f（x）-kx2=x-ln（x+1）-kx2，定義域為（-1，+∞）.

g′（x）=1-1x+1-2kx=-x[2kx-（1-2k）]x+1.

令g′（x）=0，得x1=0，x2=1-2k2k>-1.

（1）當(dāng)k≥12時，1-2k2k≤0，g′（0）<0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減.于是，對任意的x∈[0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，，即f（x）≤kx2成立.

（2）當(dāng)00，對（0，1-2k2k），g′（x）>0，故g（x）在（0，1-2k2k）內(nèi)單調(diào)遞增.

因此當(dāng)x∈（0，1-2k2k）時，g（x）>g（0）=0，即f（x）>kx2，與題意不合.

綜上，k的最小值是12.

（Ⅲ）略.

導(dǎo)函數(shù)為分式型的原函數(shù)多數(shù)是含分式型函數(shù)，或為含以e為底的對數(shù)函數(shù).解答這類題，要注意定義域，且多數(shù)情況下導(dǎo)函數(shù)都是歸結(jié)為二次函數(shù)型的討論.

4.含三角函數(shù)型

例7 （2012全國卷理20）已知函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解 （1）f ′（x）=a-sinx.

當(dāng)a≥1時，f ′（x）≥0，且僅當(dāng)a=1，x=π2時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是增函數(shù)；

當(dāng)a≤0時，f ′（x）≤0，且僅當(dāng)a=0，x=0或x=π時，f ′（x）=0，所以f（x）在[0，π]上是減函數(shù)；

當(dāng)0

當(dāng)x∈[0，x1）時，sinx0，f（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（x1，x2）時，sinx>a，f ′（x）<0，f（x）是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（x2，π]時，sinx0，f（x）是增函數(shù).

（2）略.

筆者對2004至2012年的高考數(shù)學(xué)試題作了冪函數(shù)考查統(tǒng)計，有2012江西卷理21，2012湖北卷理22兩省考查了導(dǎo)函數(shù)含冪函數(shù)型，但未有討論.

梳理了討論函數(shù)單調(diào)性的上述導(dǎo)函數(shù)類型，對導(dǎo)函數(shù)討論內(nèi)容必有宏觀的認識，相信對學(xué)生高考自主復(fù)習(xí)和教師為謀略性的高考教學(xué)有所益處.