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    抽象函數(shù)的概念及應(yīng)用

    2014-04-09 12:01:36劉艷英
    學(xué)周刊 2014年8期
    關(guān)鍵詞:奇偶性值域定義域

    劉艷英

    抽象函數(shù)能有效地反映學(xué)生對知識的掌握、理解、應(yīng)用及遷移的能力,對培養(yǎng)和提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維等能力有很好的促進(jìn)作用。因此,這類問題在高中數(shù)學(xué)的各類考試中經(jīng)常出現(xiàn),它涉及函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識,它滲透著換元、遞推、賦值、猜想、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊等思想方法,綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了高考加大對理性思維能力考查的命題思想。本文結(jié)合例題說明抽象函數(shù)的應(yīng)用。

    一、抽象函數(shù)在求解定義域方面的應(yīng)用

    求抽象函數(shù)的定義域一般表現(xiàn)為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的定義域,有三種常見題型:

    例1:若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,1], 則函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)?。

    例2:若函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?。

    例3:若函數(shù)y=f(x2-2)的定義域?yàn)閇1,3],則y=f(3x+2)定義域?yàn)?。

    解:1.∵f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],∴-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1。

    ∴f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1]。

    2.∵f(2x-1)的定義域?yàn)閇-1,1],∴-1≤x≤1,∴-3≤2x-1≤1 ∴f(x)的定義域?yàn)閇-3,1]。

    3.∵f(x2-2)的定義域?yàn)閇1,3],∴1≤x≤3,1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7,

    ∴-1≤3x+2≤7,-1≤x≤■∴f(3x+2)的定義域?yàn)閇-1,■]。

    解決好這類問題關(guān)鍵抓好兩點(diǎn):一是明確函數(shù)的定義域是指自變量的范圍;二通俗地講就是“誰占了誰的地方,原本的地方大小不變”。

    二、抽象函數(shù)在求解值域方面的應(yīng)用

    求函數(shù)的值域是函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),與抽象函數(shù)結(jié)合其解法更顯靈活,而且體現(xiàn)了“換元”法的運(yùn)用。

    例4:已知f(x)的值域?yàn)閇■,■],試求y=f(x)+■的值域。

    解:∵f(x)∈[■,■] ∴■≤1-2f(x)≤■ 即■≤■≤■

    令■=t (■≤t≤■)

    則 f(x)=■(1-t2),

    函數(shù)化為y=■(1-t2)+t=-■(t-1)2+1

    ∴t=■時,y最小為■;t=■時y最大為■。

    ∴y=f(x)+■值域?yàn)閇■,■]。

    抓住求值域即求y的范圍的本質(zhì),換元法把f(x)看做一個整體,運(yùn)用“整體性”思想,把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)來解決,降低了難度。

    三、抽象函數(shù)在求解析式方面的應(yīng)用

    抽象函數(shù)沒有具體的解析式,而它在與解析式的綜合方面體現(xiàn)了由抽象到具體的思想,通過“賦值法”把抽象的與具體的聯(lián)系起來。

    例5:設(shè)f(x)滿足f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)解析式。

    (法一)∵f(0)=1,令x-y=0得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)

    ∴f(x)=x2+x+1

    (法二)∵f(0)=1,令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1)

    ∴f(-y)=1-y(-y+1)

    用x代替-y,得 f(x)=1+x(x+1)

    即f(x)=x2+x+1

    利用已知條件,合理賦值(賦具體值或代數(shù)式)是解決抽象函數(shù)問題的基本方法。

    四、抽象函數(shù)在考查函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用

    函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是函數(shù)的“核心”。抽象函數(shù)是只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的一類函數(shù),由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性,使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一,其性質(zhì)常常是隱而不漏,但一般情況下以學(xué)過的常見函數(shù)的背景對函數(shù)性質(zhì)通過代數(shù)表述給出。

    例6:已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,滿足對任意x,y∈R都有f(xy)=f(x)f(y)且f(-1)=1。當(dāng)0≤x<1時f(x)∈[0,1)。

    (1)判斷f(x)的奇偶性。

    (2)判斷f(x)在[0,∞)上的單調(diào)性。

    解:(1)令y=-1,則f(-x)=f(x)f(-1)

    ∵f(-1)=1 ∴f(-x)=f(x)

    ∴f(x)為偶函數(shù)。

    (2)對任意x≥0,有f(x)=f(■×■)=f(■)f(■)=f2(■)≥0

    設(shè)0≤x1

    ∴f(x1)-f(x2)=f(x2·■)-f(x2)=f(x2)·f(■)-f(x2)

    ∴f(x1)

    函數(shù)單調(diào)性的證明方法有導(dǎo)數(shù)法和定義法。由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式,所以只能用定義法,由已知條件變形出符合單調(diào)性定義的式子,從而得出結(jié)論。

    以上介紹了抽象函數(shù)在函數(shù)問題方面的幾種應(yīng)用,要想解決好抽象函數(shù)問題要注意以下幾點(diǎn):1.加深對函數(shù)概念、性質(zhì)的理解;2.熟練掌握與抽象函數(shù)有關(guān)的解題方法和技巧;3.緊密聯(lián)系與所給題目有關(guān)的知識,掌握綜合題的解題通法和技巧。

    (責(zé)編 趙建榮)

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