高考中的函數(shù)零點問題

陳雯鈺

函數(shù)的零點是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數(shù)y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據(jù)零點的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內有零點.而零點的個數(shù)還需結合函數(shù)的圖像和性質，尤其是函數(shù)的單調性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點的個數(shù)

判斷函數(shù)零點個數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點，方程解的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點問題轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數(shù)學湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點個數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點個數(shù)，再來解決其他問題（如求參數(shù)）.要解決此類問題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點.

例3：（2009高考數(shù)學山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點轉換成兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構造函數(shù).設函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數(shù)轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數(shù).

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數(shù)y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數(shù)有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學高考中函數(shù)零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學的轉化與化歸、數(shù)形結合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數(shù)問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰

函數(shù)的零點是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數(shù)y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據(jù)零點的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內有零點.而零點的個數(shù)還需結合函數(shù)的圖像和性質，尤其是函數(shù)的單調性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點的個數(shù)

判斷函數(shù)零點個數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點，方程解的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點問題轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數(shù)學湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點個數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點個數(shù)，再來解決其他問題（如求參數(shù)）.要解決此類問題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點.

例3：（2009高考數(shù)學山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點轉換成兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構造函數(shù).設函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數(shù)轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數(shù).

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數(shù)y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數(shù)有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學高考中函數(shù)零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學的轉化與化歸、數(shù)形結合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數(shù)問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰

函數(shù)的零點是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數(shù)y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據(jù)零點的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內有零點.而零點的個數(shù)還需結合函數(shù)的圖像和性質，尤其是函數(shù)的單調性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點的個數(shù)

判斷函數(shù)零點個數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點，方程解的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點問題轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數(shù)學湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點個數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點個數(shù)，再來解決其他問題（如求參數(shù)）.要解決此類問題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點.

例3：（2009高考數(shù)學山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點轉換成兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構造函數(shù).設函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數(shù)轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數(shù).

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數(shù)y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數(shù)有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學高考中函數(shù)零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學的轉化與化歸、數(shù)形結合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數(shù)問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰